MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indstr Structured version   Unicode version

Theorem indstr 11154
Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema). (Contributed by NM, 17-Aug-2001.)
Hypotheses
Ref Expression
indstr.1  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indstr.2  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
Assertion
Ref Expression
indstr  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Distinct variable groups:    x, y    ph, y    ps, x
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)

Proof of Theorem indstr
StepHypRef Expression
1 pm3.24 880 . . . . . 6  |-  -.  ( ph  /\  -.  ph )
2 nnre 10544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
3 nnre 10544 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  NN  ->  y  e.  RR )
4 lenlt 9661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
52, 3, 4syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( x  <_  y  <->  -.  y  <  x ) )
65imbi2d 316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -.  ps  ->  x  <_  y )  <->  ( -.  ps  ->  -.  y  <  x ) ) )
7 con34b 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  <  x  ->  ps )  <->  ( -.  ps  ->  -.  y  <  x
) )
86, 7syl6bbr 263 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  NN  /\  y  e.  NN )  ->  ( ( -.  ps  ->  x  <_  y )  <->  ( y  <  x  ->  ps ) ) )
98ralbidva 2877 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y )  <->  A. y  e.  NN  ( y  < 
x  ->  ps )
) )
10 indstr.2 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( y  <  x  ->  ps )  ->  ph )
)
119, 10sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  NN  ->  ( A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y )  ->  ph ) )
1211anim2d 565 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y ) )  ->  ( -.  ph  /\  ph )
) )
13 ancom 450 . . . . . . 7  |-  ( ( -.  ph  /\  ph )  <->  (
ph  /\  -.  ph )
)
1412, 13syl6ib 226 . . . . . 6  |-  ( x  e.  NN  ->  (
( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y ) )  ->  ( ph  /\  -.  ph )
) )
151, 14mtoi 178 . . . . 5  |-  ( x  e.  NN  ->  -.  ( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y ) ) )
1615nrex 2896 . . . 4  |-  -.  E. x  e.  NN  ( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y )
)
17 indstr.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ps ) )
1817notbid 294 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  ph  <->  -.  ps )
)
1918nnwos 11153 . . . 4  |-  ( E. x  e.  NN  -.  ph 
->  E. x  e.  NN  ( -.  ph  /\  A. y  e.  NN  ( -.  ps  ->  x  <_  y ) ) )
2016, 19mto 176 . . 3  |-  -.  E. x  e.  NN  -.  ph
21 dfral2 2888 . . 3  |-  ( A. x  e.  NN  ph  <->  -.  E. x  e.  NN  -.  ph )
2220, 21mpbir 209 . 2  |-  A. x  e.  NN  ph
2322rspec 2809 1  |-  ( x  e.  NN  ->  ph )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1802   A.wral 2791   E.wrex 2792   class class class wbr 4433   RRcr 9489    < clt 9626    <_ cle 9627   NNcn 10537
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1603  ax-4 1616  ax-5 1689  ax-6 1732  ax-7 1774  ax-8 1804  ax-9 1806  ax-10 1821  ax-11 1826  ax-12 1838  ax-13 1983  ax-ext 2419  ax-sep 4554  ax-nul 4562  ax-pow 4611  ax-pr 4672  ax-un 6573  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1384  df-ex 1598  df-nf 1602  df-sb 1725  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2427  df-cleq 2433  df-clel 2436  df-nfc 2591  df-ne 2638  df-nel 2639  df-ral 2796  df-rex 2797  df-reu 2798  df-rab 2800  df-v 3095  df-sbc 3312  df-csb 3418  df-dif 3461  df-un 3463  df-in 3465  df-ss 3472  df-pss 3474  df-nul 3768  df-if 3923  df-pw 3995  df-sn 4011  df-pr 4013  df-tp 4015  df-op 4017  df-uni 4231  df-iun 4313  df-br 4434  df-opab 4492  df-mpt 4493  df-tr 4527  df-eprel 4777  df-id 4781  df-po 4786  df-so 4787  df-fr 4824  df-we 4826  df-ord 4867  df-on 4868  df-lim 4869  df-suc 4870  df-xp 4991  df-rel 4992  df-cnv 4993  df-co 4994  df-dm 4995  df-rn 4996  df-res 4997  df-ima 4998  df-iota 5537  df-fun 5576  df-fn 5577  df-f 5578  df-f1 5579  df-fo 5580  df-f1o 5581  df-fv 5582  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6682  df-recs 7040  df-rdg 7074  df-er 7309  df-en 7515  df-dom 7516  df-sdom 7517  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10538  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11086
This theorem is referenced by:  indstr2  11164
  Copyright terms: Public domain W3C validator