Theorem indstr 6521

Description: Strong Mathematical Induction for positive integers (inference schema).

Hypotheses

Ref	Expression
indstr.1	|- (x = y -> (ph <-> ps))
indstr.2	|- (x e. NN -> (A.y e. NN (y < x -> ps) -> ph))

Assertion

Ref	Expression
indstr	|- (x e. NN -> ph)

Distinct variable groups:   x,y   ph,y   ps,x

Proof of Theorem indstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm3.24 660	. . . . . 6 |- -. (ph /\ -. ph)
2		lenlt 5599	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x e. RR /\ y e. RR) -> (x <_ y <-> -. y < x))
3		nnre 6016	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. NN -> x e. RR)
4		nnre 6016	. . . . . . . . . . . . 13 |- (y e. NN -> y e. RR)
5	2, 3, 4	syl2an 456	. . . . . . . . . . . 12 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> (x <_ y <-> -. y < x))
6	5	imbi2d 614	. . . . . . . . . . 11 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> ((-. ps -> x <_ y) <-> (-. ps -> -. y < x)))
7		con34b 164	. . . . . . . . . . 11 |- ((y < x -> ps) <-> (-. ps -> -. y < x))
8	6, 7	syl6bbr 540	. . . . . . . . . 10 |- ((x e. NN /\ y e. NN) -> ((-. ps -> x <_ y) <-> (y < x -> ps)))
9	8	ralbidva 1697	. . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> (A.y e. NN (-. ps -> x <_ y) <-> A.y e. NN (y < x -> ps)))
10		indstr.2	. . . . . . . . 9 |- (x e. NN -> (A.y e. NN (y < x -> ps) -> ph))
11	9, 10	sylbid 201	. . . . . . . 8 |- (x e. NN -> (A.y e. NN (-. ps -> x <_ y) -> ph))
12	11	anim2d 563	. . . . . . 7 |- (x e. NN -> ((-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y)) -> (-. ph /\ ph)))
13		ancom 437	. . . . . . 7 |- ((-. ph /\ ph) <-> (ph /\ -. ph))
14	12, 13	syl6ib 210	. . . . . 6 |- (x e. NN -> ((-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y)) -> (ph /\ -. ph)))
15	1, 14	mtoi 106	. . . . 5 |- (x e. NN -> -. (-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y)))
16	15	nrex 1767	. . . 4 |- -. E.x e. NN (-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y))
17		indstr.1	. . . . . 6 |- (x = y -> (ph <-> ps))
18	17	notbid 613	. . . . 5 |- (x = y -> (-. ph <-> -. ps))
19	18	nnwos 6520	. . . 4 |- (E.x e. NN -. ph -> E.x e. NN (-. ph /\ A.y e. NN (-. ps -> x <_ y)))
20	16, 19	mto 105	. . 3 |- -. E.x e. NN -. ph
21		dfral2 1693	. . 3 |- (A.x e. NN ph <-> -. E.x e. NN -. ph)
22	20, 21	mpbir 188	. 2 |- A.x e. NN ph
23	22	rspec 1735	1 |- (x e. NN -> ph)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 144   /\ wa 221   = wceq 988   e. wcel 990  A.wral 1683  E.wrex 1684   class class class wbr 2669  RRcr 5322   <_ cle 5384  NNcn 5385   < clt 5575

This theorem is referenced by:  sqr2irrlem3 6849

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 994  ax-gen 995  ax-8 996  ax-9 997  ax-10 998  ax-11 999  ax-12 1000  ax-13 1001  ax-14 1002  ax-17 1003  ax-4 1005  ax-5o 1007  ax-6o 1010  ax-9o 1155  ax-10o 1173  ax-16 1243  ax-11o 1251  ax-ext 1494  ax-rep 2744  ax-sep 2754  ax-nul 2761  ax-pow 2794  ax-pr 2832  ax-un 2920  ax-inf2 4711

This theorem depends on definitions:  df-bi 145  df-or 222  df-an 223  df-3or 779  df-3an 780  df-ex 1013  df-sb 1205  df-eu 1415  df-mo 1416  df-clab 1500  df-cleq 1505  df-clel 1508  df-ne 1624  df-nel 1625  df-ral 1687  df-rex 1688  df-reu 1689  df-rab 1690  df-v 1850  df-sbc 1979  df-csb 2044  df-dif 2093  df-un 2094  df-in 2095  df-ss 2097  df-pss 2099  df-nul 2325  df-if 2407  df-pw 2447  df-sn 2457  df-pr 2458  df-tp 2460  df-op 2461  df-uni 2552  df-int 2582  df-iun 2616  df-br 2670  df-opab 2718  df-tr 2732  df-eprel 2886  df-id 2889  df-po 2894  df-so 2904  df-fr 2972  df-we 2989  df-ord 3006  df-on 3007  df-lim 3008  df-suc 3009  df-om 3193  df-xp 3239  df-rel 3240  df-cnv 3241  df-co 3242  df-dm 3243  df-rn 3244  df-res 3245  df-ima 3246  df-fun 3247  df-fn 3248  df-f 3249  df-f1 3250  df-fo 3251  df-f1o 3252  df-fv 3253  df-rdg 4008  df-opr 4041  df-oprab 4042  df-1st 4157  df-2nd 4158  df-1o 4217  df-oadd 4219  df-omul 4220  df-er 4345  df-ec 4347  df-qs 4350  df-en 4455  df-dom 4456  df-sdom 4457  df-ni 5089  df-pli 5090  df-mi 5091  df-lti 5092  df-plpq 5124  df-mpq 5125  df-enq 5126  df-nq 5127  df-plq 5128  df-mq 5129  df-rq 5130  df-ltq 5131  df-1q 5132  df-np 5175  df-1p 5176  df-plp 5177  df-mp 5178  df-ltp 5179  df-plpr 5253  df-mpr 5254  df-enr 5255  df-nr 5256  df-plr 5257  df-mr 5258  df-ltr 5259  df-0r 5260  df-1r 5261  df-m1r 5262  df-c 5329  df-0 5330  df-1 5331  df-i 5332  df-r 5333  df-plus 5334  df-mul 5335  df-lt 5336  df-sub 5445  df-neg 5447  df-pnf 5576  df-mnf 5577  df-xr 5578  df-ltxr 5579  df-le 5580  df-n 6012  df-n0 6210  df-z 6246  df-uz 6478

Copyright terms: Public domain