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Theorem indpi 9302
Description: Principle of Finite Induction on positive integers. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
indpi.1  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indpi.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
indpi.3  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
indpi.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
indpi.5  |-  ps
indpi.6  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
indpi  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem indpi
StepHypRef Expression
1 1pi 9278 . . . . . . 7  |-  1o  e.  N.
21elexi 3119 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
32eqvinc 3226 . . . . 5  |-  ( 1o  =  A  <->  E. x
( x  =  1o 
/\  x  =  A ) )
4 indpi.4 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
5 indpi.5 . . . . . 6  |-  ps
6 indpi.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
75, 6mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( x  =  1o  ->  ph )
83, 4, 7gencl 3139 . . . 4  |-  ( 1o  =  A  ->  ta )
98eqcoms 2469 . . 3  |-  ( A  =  1o  ->  ta )
109a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  =  1o  ->  ta ) )
11 pinn 9273 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
12 elni2 9272 . . . . . 6  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )
13 nnord 6707 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
14 ordsucss 6652 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  ( (/)  e.  A  ->  suc  (/)  C_  A )
)
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
e.  A  ->  suc  (/)  C_  A ) )
16 df-1o 7148 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  suc  (/)
1716sseq1i 3523 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  C_  A  <->  suc  (/)  C_  A )
1815, 17syl6ibr 227 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
e.  A  ->  1o  C_  A ) )
1918imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  A )  ->  1o  C_  A )
2012, 19sylbi 195 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  1o  C_  A )
21 1onn 7306 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
22 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1o  ->  (
x  e.  N.  <->  1o  e.  N. ) )
23 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1o  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  1o ) )
2422, 23anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1o  ->  (
( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( 1o  e.  N.  /\  1o  <N  1o ) ) )
2524, 6imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1o  ->  (
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  <N  1o )  ->  ps ) ) )
26 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  N.  <->  y  e.  N. ) )
27 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  y ) )
2826, 27anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y ) ) )
29 indpi.2 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3028, 29imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( (
y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch ) ) )
31 pinn 9273 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  N.  ->  x  e.  om )
32 eleq1 2529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  om  <->  suc  y  e.  om )
)
33 peano2b 6715 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  om  <->  suc  y  e. 
om )
3432, 33syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  om  <->  y  e.  om ) )
3531, 34syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  N.  ->  y  e.  om )
)
3635adantrd 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  y  e.  om ) )
37 ltpiord 9282 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  e.  x ) )
381, 37mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  N.  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  e.  x ) )
3938biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  1o  e.  x )
40 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  e.  x  <->  1o  e.  suc  y ) )
41 elsuci 4953 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1o  e.  suc  y  -> 
( 1o  e.  y  \/  1o  =  y ) )
42 ne0i 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1o  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
43 0lt1o 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  e.  1o
44 eleq2 2530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1o  =  y  ->  ( (/) 
e.  1o  <->  (/)  e.  y ) )
4543, 44mpbii 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1o  =  y  ->  (/)  e.  y )
46 ne0i 3799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1o  =  y  ->  y  =/=  (/) )
4842, 47jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  e.  y  \/  1o  =  y )  ->  y  =/=  (/) )
4941, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1o  e.  suc  y  -> 
y  =/=  (/) )
5040, 49syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  e.  x  ->  y  =/=  (/) ) )
5139, 50syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  y  =/=  (/) ) )
5236, 51jcad 533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) ) )
53 elni 9271 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  <->  ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) )
5452, 53syl6ibr 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  y  e.  N. ) )
55 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  1o  <N  x )
56 breq2 4460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  <N  x  <->  1o 
<N  suc  y ) )
5755, 56syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  1o  <N  suc  y ) )
5854, 57jcad 533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y ) ) )
59 addclpi 9287 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  e.  N. )
601, 59mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  e.  N. )
61 addpiord 9279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
621, 61mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
63 pion 9274 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  On )
64 oa1suc 7199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
6662, 65eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  suc  y )
6766eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  N.  ->  (
x  =  ( y  +N  1o )  <->  x  =  suc  y ) )
6867biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  y  e.  N. )  ->  x  =  ( y  +N  1o ) )
6968eleq1d 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  e. 
N. 
<->  ( y  +N  1o )  e.  N. )
)
7060, 69syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  e. 
N.  ->  x  e.  N. ) )
7170ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( y  e.  N.  ->  ( y  e.  N.  ->  x  e.  N. )
) )
7271pm2.43d 48 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( y  e.  N.  ->  x  e.  N. )
)
7356biimprd 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  <N  suc  y  ->  1o  <N  x )
)
7472, 73anim12d 563 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  (
x  e.  N.  /\  1o  <N  x ) ) )
7558, 74impbid 191 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  suc  y ) ) )
7675imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ph ) ) )
77 indpi.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
7867, 77syl6bir 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  (
x  =  suc  y  ->  ( ph  <->  th )
) )
7978adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ( x  =  suc  y  ->  ( ph  <->  th )
) )
8079com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ( ph 
<->  th ) ) )
8180pm5.74d 247 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
8276, 81bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
83 eleq1 2529 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  N.  <->  A  e.  N. ) )
84 breq2 4460 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  A ) )
8583, 84anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( A  e.  N.  /\  1o  <N  A ) ) )
8685, 4imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( A  e.  N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta ) ) )
875a1ii 27 . . . . . . 7  |-  ( 1o  e.  om  ->  (
( 1o  e.  N.  /\  1o  <N  1o )  ->  ps ) )
88 ltpiord 9282 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  y  <->  1o  e.  y ) )
891, 88mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  ( 1o  <N  y  <->  1o  e.  y ) )
9089pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  <->  ( y  e.  N.  /\  1o  e.  y ) )
9190simplbi2 625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  ->  ( 1o  e.  y  ->  (
y  e.  N.  /\  1o  <N  y ) ) )
9291imim1d 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  (
( ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  ( 1o  e.  y  ->  ch ) ) )
93 ltrelpi 9284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
9493brel 5057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o 
<N  suc  y  ->  ( 1o  e.  N.  /\  suc  y  e.  N. )
)
95 ltpiord 9282 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  suc  y  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  suc  y  <->  1o  e.  suc  y ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1o 
<N  suc  y  ->  ( 1o  <N  suc  y  <->  1o  e.  suc  y ) )
9796ibi 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o 
<N  suc  y  ->  1o  e.  suc  y )
982eqvinc 3226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1o  =  y  <->  E. x
( x  =  1o 
/\  x  =  y ) )
9998, 29, 7gencl 3139 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o  =  y  ->  ch )
100 jao 512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( ( 1o  =  y  ->  ch )  ->  ( ( 1o  e.  y  \/  1o  =  y )  ->  ch ) ) )
10199, 100mpi 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( ( 1o  e.  y  \/  1o  =  y )  ->  ch ) )
10241, 101syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( 1o  e.  suc  y  ->  ch ) )
10397, 102syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( 1o 
<N  suc  y  ->  ch ) )
10492, 103syl6com 35 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  (
y  e.  N.  ->  ( 1o  <N  suc  y  ->  ch ) ) )
105104impd 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  (
( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ch ) )
10616sseq1i 3523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1o  C_  y  <->  suc  (/)  C_  y )
107 0ex 4587 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
108 sucssel 4979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( suc  (/)  C_  y  ->  (/)  e.  y ) )
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  (/)  C_  y  ->  (/)  e.  y )
110106, 109sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  C_  y  ->  (/)  e.  y )
111 elni2 9272 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  <->  ( y  e.  om  /\  (/)  e.  y ) )
112 indpi.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
113111, 112sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  (/) 
e.  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
114110, 113sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  C_  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
115105, 114syl9r 72 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  C_  y )  -> 
( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
116115adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  om )  /\  1o  C_  y )  ->  ( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
11725, 30, 82, 86, 87, 116findsg 6726 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  1o  e.  om )  /\  1o  C_  A )  ->  ( ( A  e. 
N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta )
)
11821, 117mpanl2 681 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  1o  C_  A )  -> 
( ( A  e. 
N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta )
)
11911, 20, 118syl2anc 661 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  (
( A  e.  N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta ) )
120119expd 436 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  ->  ( 1o  <N  A  ->  ta ) ) )
121120pm2.43i 47 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( 1o  <N  A  ->  ta ) )
122 nlt1pi 9301 . . . 4  |-  -.  A  <N  1o
123 ltsopi 9283 . . . . . 6  |-  <N  Or  N.
124 sotric 4835 . . . . . 6  |-  ( ( 
<N  Or  N.  /\  ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. ) )  -> 
( A  <N  1o  <->  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) ) )
125123, 124mpan 670 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( A  <N  1o  <->  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) ) )
1261, 125mpan2 671 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  <N  1o  <->  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) ) )
127122, 126mtbii 302 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) )
128127notnotrd 113 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) )
12910, 121, 128mpjaod 381 1  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   class class class wbr 4456    Or wor 4808   Ord word 4886   Oncon0 4887   suc csuc 4889  (class class class)co 6296   omcom 6699   1oc1o 7141    +o coa 7145   N.cnpi 9239    +N cpli 9240    <N clti 9242
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-ni 9267  df-pli 9268  df-lti 9270
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