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Theorem indpi 8740
Description: Principle of Finite Induction on positive integers. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
indpi.1  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indpi.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
indpi.3  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
indpi.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
indpi.5  |-  ps
indpi.6  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
indpi  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem indpi
StepHypRef Expression
1 1pi 8716 . . . . . . 7  |-  1o  e.  N.
21elexi 2925 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
32eqvinc 3023 . . . . 5  |-  ( 1o  =  A  <->  E. x
( x  =  1o 
/\  x  =  A ) )
4 indpi.4 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
5 indpi.5 . . . . . 6  |-  ps
6 indpi.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
75, 6mpbiri 225 . . . . 5  |-  ( x  =  1o  ->  ph )
83, 4, 7gencl 2944 . . . 4  |-  ( 1o  =  A  ->  ta )
98eqcoms 2407 . . 3  |-  ( A  =  1o  ->  ta )
109a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  =  1o  ->  ta ) )
11 pinn 8711 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
12 elni2 8710 . . . . . 6  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )
13 nnord 4812 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
14 ordsucss 4757 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  ( (/)  e.  A  ->  suc  (/)  C_  A )
)
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
e.  A  ->  suc  (/)  C_  A ) )
16 df-1o 6683 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  suc  (/)
1716sseq1i 3332 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  C_  A  <->  suc  (/)  C_  A )
1815, 17syl6ibr 219 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
e.  A  ->  1o  C_  A ) )
1918imp 419 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  A )  ->  1o  C_  A )
2012, 19sylbi 188 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  1o  C_  A )
21 1onn 6841 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
22 eleq1 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1o  ->  (
x  e.  N.  <->  1o  e.  N. ) )
23 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1o  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  1o ) )
2422, 23anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1o  ->  (
( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( 1o  e.  N.  /\  1o  <N  1o ) ) )
2524, 6imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1o  ->  (
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  <N  1o )  ->  ps ) ) )
26 eleq1 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  N.  <->  y  e.  N. ) )
27 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  y ) )
2826, 27anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y ) ) )
29 indpi.2 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3028, 29imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( (
y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch ) ) )
31 pinn 8711 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  N.  ->  x  e.  om )
32 eleq1 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  om  <->  suc  y  e.  om )
)
33 peano2b 4820 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  om  <->  suc  y  e. 
om )
3432, 33syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  om  <->  y  e.  om ) )
3531, 34syl5ib 211 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  N.  ->  y  e.  om )
)
3635adantrd 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  y  e.  om ) )
37 ltpiord 8720 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  e.  x ) )
381, 37mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  N.  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  e.  x ) )
3938biimpa 471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  1o  e.  x )
40 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  e.  x  <->  1o  e.  suc  y ) )
41 elsuci 4607 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1o  e.  suc  y  -> 
( 1o  e.  y  \/  1o  =  y ) )
42 ne0i 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1o  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
43 0lt1o 6707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  e.  1o
44 eleq2 2465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1o  =  y  ->  ( (/) 
e.  1o  <->  (/)  e.  y ) )
4543, 44mpbii 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1o  =  y  ->  (/)  e.  y )
46 ne0i 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1o  =  y  ->  y  =/=  (/) )
4842, 47jaoi 369 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  e.  y  \/  1o  =  y )  ->  y  =/=  (/) )
4941, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1o  e.  suc  y  -> 
y  =/=  (/) )
5040, 49syl6bi 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  e.  x  ->  y  =/=  (/) ) )
5139, 50syl5 30 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  y  =/=  (/) ) )
5236, 51jcad 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) ) )
53 elni 8709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  <->  ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) )
5452, 53syl6ibr 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  y  e.  N. ) )
55 simpr 448 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  1o  <N  x )
56 breq2 4176 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  <N  x  <->  1o 
<N  suc  y ) )
5755, 56syl5ib 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  1o  <N  suc  y ) )
5854, 57jcad 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y ) ) )
59 addclpi 8725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  e.  N. )
601, 59mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  e.  N. )
61 addpiord 8717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
621, 61mpan2 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
63 pion 8712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  On )
64 oa1suc 6734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
6662, 65eqtrd 2436 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  suc  y )
6766eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  N.  ->  (
x  =  ( y  +N  1o )  <->  x  =  suc  y ) )
6867biimparc 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  y  e.  N. )  ->  x  =  ( y  +N  1o ) )
6968eleq1d 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  e. 
N. 
<->  ( y  +N  1o )  e.  N. )
)
7060, 69syl5ibr 213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  e. 
N.  ->  x  e.  N. ) )
7170ex 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( y  e.  N.  ->  ( y  e.  N.  ->  x  e.  N. )
) )
7271pm2.43d 46 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( y  e.  N.  ->  x  e.  N. )
)
7356biimprd 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  <N  suc  y  ->  1o  <N  x )
)
7472, 73anim12d 547 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  (
x  e.  N.  /\  1o  <N  x ) ) )
7558, 74impbid 184 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  suc  y ) ) )
7675imbi1d 309 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ph ) ) )
77 indpi.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
7867, 77syl6bir 221 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  (
x  =  suc  y  ->  ( ph  <->  th )
) )
7978adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ( x  =  suc  y  ->  ( ph  <->  th )
) )
8079com12 29 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ( ph 
<->  th ) ) )
8180pm5.74d 239 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
8276, 81bitrd 245 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
83 eleq1 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  N.  <->  A  e.  N. ) )
84 breq2 4176 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  A ) )
8583, 84anbi12d 692 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( A  e.  N.  /\  1o  <N  A ) ) )
8685, 4imbi12d 312 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( A  e.  N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta ) ) )
875a1ii 25 . . . . . . 7  |-  ( 1o  e.  om  ->  (
( 1o  e.  N.  /\  1o  <N  1o )  ->  ps ) )
88 ltpiord 8720 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  y  <->  1o  e.  y ) )
891, 88mpan 652 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  ( 1o  <N  y  <->  1o  e.  y ) )
9089pm5.32i 619 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  <->  ( y  e.  N.  /\  1o  e.  y ) )
9190simplbi2 609 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  ->  ( 1o  e.  y  ->  (
y  e.  N.  /\  1o  <N  y ) ) )
9291imim1d 71 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  (
( ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  ( 1o  e.  y  ->  ch ) ) )
93 ltrelpi 8722 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
9493brel 4885 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o 
<N  suc  y  ->  ( 1o  e.  N.  /\  suc  y  e.  N. )
)
95 ltpiord 8720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  suc  y  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  suc  y  <->  1o  e.  suc  y ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1o 
<N  suc  y  ->  ( 1o  <N  suc  y  <->  1o  e.  suc  y ) )
9796ibi 233 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o 
<N  suc  y  ->  1o  e.  suc  y )
982eqvinc 3023 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1o  =  y  <->  E. x
( x  =  1o 
/\  x  =  y ) )
9998, 29, 7gencl 2944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o  =  y  ->  ch )
100 jao 499 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( ( 1o  =  y  ->  ch )  ->  ( ( 1o  e.  y  \/  1o  =  y )  ->  ch ) ) )
10199, 100mpi 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( ( 1o  e.  y  \/  1o  =  y )  ->  ch ) )
10241, 101syl5 30 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( 1o  e.  suc  y  ->  ch ) )
10397, 102syl5 30 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( 1o 
<N  suc  y  ->  ch ) )
10492, 103syl6com 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  (
y  e.  N.  ->  ( 1o  <N  suc  y  ->  ch ) ) )
105104imp3a 421 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  (
( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ch ) )
10616sseq1i 3332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1o  C_  y  <->  suc  (/)  C_  y )
107 0ex 4299 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
108 sucssel 4633 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( suc  (/)  C_  y  ->  (/)  e.  y ) )
109107, 108ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  (/)  C_  y  ->  (/)  e.  y )
110106, 109sylbi 188 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  C_  y  ->  (/)  e.  y )
111 elni2 8710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  <->  ( y  e.  om  /\  (/)  e.  y ) )
112 indpi.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
113111, 112sylbir 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  (/) 
e.  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
114110, 113sylan2 461 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  C_  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
115105, 114syl9r 69 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  C_  y )  -> 
( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
116115adantlr 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  om )  /\  1o  C_  y )  ->  ( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
11725, 30, 82, 86, 87, 116findsg 4831 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  1o  e.  om )  /\  1o  C_  A )  ->  ( ( A  e. 
N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta )
)
11821, 117mpanl2 663 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  1o  C_  A )  -> 
( ( A  e. 
N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta )
)
11911, 20, 118syl2anc 643 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  (
( A  e.  N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta ) )
120119exp3a 426 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  ->  ( 1o  <N  A  ->  ta ) ) )
121120pm2.43i 45 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( 1o  <N  A  ->  ta ) )
122 nlt1pi 8739 . . . 4  |-  -.  A  <N  1o
123 ltsopi 8721 . . . . . 6  |-  <N  Or  N.
124 sotric 4489 . . . . . 6  |-  ( ( 
<N  Or  N.  /\  ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. ) )  -> 
( A  <N  1o  <->  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) ) )
125123, 124mpan 652 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( A  <N  1o  <->  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) ) )
1261, 125mpan2 653 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  <N  1o  <->  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) ) )
127122, 126mtbii 294 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) )
128127notnotrd 107 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) )
12910, 121, 128mpjaod 371 1  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   _Vcvv 2916    C_ wss 3280   (/)c0 3588   class class class wbr 4172    Or wor 4462   Ord word 4540   Oncon0 4541   suc csuc 4543   omcom 4804  (class class class)co 6040   1oc1o 6676    +o coa 6680   N.cnpi 8675    +N cpli 8676    <N clti 8678
This theorem is referenced by:  prlem934  8866
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-ni 8705  df-pli 8706  df-lti 8708
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