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Theorem indpi 9068
Description: Principle of Finite Induction on positive integers. (Contributed by NM, 23-Mar-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
indpi.1  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
indpi.2  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
indpi.3  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
indpi.4  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
indpi.5  |-  ps
indpi.6  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
Assertion
Ref Expression
indpi  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Distinct variable groups:    x, y    x, A    ps, x    ch, x    th, x    ta, x    ph, y
Allowed substitution hints:    ph( x)    ps( y)    ch( y)    th( y)    ta( y)    A( y)

Proof of Theorem indpi
StepHypRef Expression
1 1pi 9044 . . . . . . 7  |-  1o  e.  N.
21elexi 2977 . . . . . 6  |-  1o  e.  _V
32eqvinc 3081 . . . . 5  |-  ( 1o  =  A  <->  E. x
( x  =  1o 
/\  x  =  A ) )
4 indpi.4 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  ( ph 
<->  ta ) )
5 indpi.5 . . . . . 6  |-  ps
6 indpi.1 . . . . . 6  |-  ( x  =  1o  ->  ( ph 
<->  ps ) )
75, 6mpbiri 233 . . . . 5  |-  ( x  =  1o  ->  ph )
83, 4, 7gencl 2997 . . . 4  |-  ( 1o  =  A  ->  ta )
98eqcoms 2441 . . 3  |-  ( A  =  1o  ->  ta )
109a1i 11 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  =  1o  ->  ta ) )
11 pinn 9039 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  A  e.  om )
12 elni2 9038 . . . . . 6  |-  ( A  e.  N.  <->  ( A  e.  om  /\  (/)  e.  A
) )
13 nnord 6479 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  om  ->  Ord  A )
14 ordsucss 6424 . . . . . . . . 9  |-  ( Ord 
A  ->  ( (/)  e.  A  ->  suc  (/)  C_  A )
)
1513, 14syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
e.  A  ->  suc  (/)  C_  A ) )
16 df-1o 6912 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  suc  (/)
1716sseq1i 3375 . . . . . . . 8  |-  ( 1o  C_  A  <->  suc  (/)  C_  A )
1815, 17syl6ibr 227 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  om  ->  ( (/) 
e.  A  ->  1o  C_  A ) )
1918imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  om  /\  (/) 
e.  A )  ->  1o  C_  A )
2012, 19sylbi 195 . . . . 5  |-  ( A  e.  N.  ->  1o  C_  A )
21 1onn 7070 . . . . . 6  |-  1o  e.  om
22 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1o  ->  (
x  e.  N.  <->  1o  e.  N. ) )
23 breq2 4291 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1o  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  1o ) )
2422, 23anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1o  ->  (
( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( 1o  e.  N.  /\  1o  <N  1o ) ) )
2524, 6imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1o  ->  (
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( 1o  e.  N.  /\  1o  <N  1o )  ->  ps ) ) )
26 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  N.  <->  y  e.  N. ) )
27 breq2 4291 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  y ) )
2826, 27anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y ) ) )
29 indpi.2 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  ( ph 
<->  ch ) )
3028, 29imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( (
y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch ) ) )
31 pinn 9039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  N.  ->  x  e.  om )
32 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  om  <->  suc  y  e.  om )
)
33 peano2b 6487 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  om  <->  suc  y  e. 
om )
3432, 33syl6bbr 263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  om  <->  y  e.  om ) )
3531, 34syl5ib 219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  N.  ->  y  e.  om )
)
3635adantrd 468 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  y  e.  om ) )
37 ltpiord 9048 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  x  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  e.  x ) )
381, 37mpan 670 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  N.  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  e.  x ) )
3938biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  1o  e.  x )
40 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  e.  x  <->  1o  e.  suc  y ) )
41 elsuci 4780 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 1o  e.  suc  y  -> 
( 1o  e.  y  \/  1o  =  y ) )
42 ne0i 3638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1o  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
43 0lt1o 6936 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  (/)  e.  1o
44 eleq2 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 1o  =  y  ->  ( (/) 
e.  1o  <->  (/)  e.  y ) )
4543, 44mpbii 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1o  =  y  ->  (/)  e.  y )
46 ne0i 3638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (/)  e.  y  ->  y  =/=  (/) )
4745, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 1o  =  y  ->  y  =/=  (/) )
4842, 47jaoi 379 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( 1o  e.  y  \/  1o  =  y )  ->  y  =/=  (/) )
4941, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1o  e.  suc  y  -> 
y  =/=  (/) )
5040, 49syl6bi 228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  e.  x  ->  y  =/=  (/) ) )
5139, 50syl5 32 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  y  =/=  (/) ) )
5236, 51jcad 533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) ) )
53 elni 9037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  <->  ( y  e.  om  /\  y  =/=  (/) ) )
5452, 53syl6ibr 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  y  e.  N. ) )
55 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  1o  <N  x )
56 breq2 4291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  <N  x  <->  1o 
<N  suc  y ) )
5755, 56syl5ib 219 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  1o  <N  suc  y ) )
5854, 57jcad 533 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y ) ) )
59 addclpi 9053 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  e.  N. )
601, 59mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  e.  N. )
61 addpiord 9045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
621, 61mpan2 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  ( y  +o  1o ) )
63 pion 9040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  N.  ->  y  e.  On )
64 oa1suc 6963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( y  e.  On  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +o  1o )  =  suc  y )
6662, 65eqtrd 2470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  N.  ->  (
y  +N  1o )  =  suc  y )
6766eqeq2d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  N.  ->  (
x  =  ( y  +N  1o )  <->  x  =  suc  y ) )
6867biimparc 487 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  y  e.  N. )  ->  x  =  ( y  +N  1o ) )
6968eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  y  e.  N. )  ->  ( x  e. 
N. 
<->  ( y  +N  1o )  e.  N. )
)
7060, 69syl5ibr 221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  suc  y  /\  y  e.  N. )  ->  ( y  e. 
N.  ->  x  e.  N. ) )
7170ex 434 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( y  e.  N.  ->  ( y  e.  N.  ->  x  e.  N. )
) )
7271pm2.43d 48 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( y  e.  N.  ->  x  e.  N. )
)
7356biimprd 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( 1o  <N  suc  y  ->  1o  <N  x )
)
7472, 73anim12d 563 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  (
x  e.  N.  /\  1o  <N  x ) ) )
7558, 74impbid 191 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  suc  y ) ) )
7675imbi1d 317 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ph ) ) )
77 indpi.3 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( y  +N  1o )  ->  ( ph 
<->  th ) )
7867, 77syl6bir 229 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  (
x  =  suc  y  ->  ( ph  <->  th )
) )
7978adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ( x  =  suc  y  ->  ( ph  <->  th )
) )
8079com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ( ph 
<->  th ) ) )
8180pm5.74d 247 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
8276, 81bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( ( ( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
83 eleq1 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  N.  <->  A  e.  N. ) )
84 breq2 4291 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  A  ->  ( 1o  <N  x  <->  1o  <N  A ) )
8583, 84anbi12d 710 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  (
( x  e.  N.  /\  1o  <N  x )  <->  ( A  e.  N.  /\  1o  <N  A ) ) )
8685, 4imbi12d 320 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( x  e. 
N.  /\  1o  <N  x )  ->  ph )  <->  ( ( A  e.  N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta ) ) )
875a1ii 27 . . . . . . 7  |-  ( 1o  e.  om  ->  (
( 1o  e.  N.  /\  1o  <N  1o )  ->  ps ) )
88 ltpiord 9048 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  y  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  y  <->  1o  e.  y ) )
891, 88mpan 670 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  N.  ->  ( 1o  <N  y  <->  1o  e.  y ) )
9089pm5.32i 637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  <->  ( y  e.  N.  /\  1o  e.  y ) )
9190simplbi2 625 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  N.  ->  ( 1o  e.  y  ->  (
y  e.  N.  /\  1o  <N  y ) ) )
9291imim1d 75 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  (
( ( y  e. 
N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  ( 1o  e.  y  ->  ch ) ) )
93 ltrelpi 9050 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  <N  C_  ( N.  X.  N. )
9493brel 4882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o 
<N  suc  y  ->  ( 1o  e.  N.  /\  suc  y  e.  N. )
)
95 ltpiord 9048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1o  e.  N.  /\  suc  y  e.  N. )  ->  ( 1o  <N  suc  y  <->  1o  e.  suc  y ) )
9694, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1o 
<N  suc  y  ->  ( 1o  <N  suc  y  <->  1o  e.  suc  y ) )
9796ibi 241 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1o 
<N  suc  y  ->  1o  e.  suc  y )
982eqvinc 3081 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 1o  =  y  <->  E. x
( x  =  1o 
/\  x  =  y ) )
9998, 29, 7gencl 2997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1o  =  y  ->  ch )
100 jao 512 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( ( 1o  =  y  ->  ch )  ->  ( ( 1o  e.  y  \/  1o  =  y )  ->  ch ) ) )
10199, 100mpi 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( ( 1o  e.  y  \/  1o  =  y )  ->  ch ) )
10241, 101syl5 32 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( 1o  e.  suc  y  ->  ch ) )
10397, 102syl5 32 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1o  e.  y  ->  ch )  ->  ( 1o 
<N  suc  y  ->  ch ) )
10492, 103syl6com 35 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  (
y  e.  N.  ->  ( 1o  <N  suc  y  ->  ch ) ) )
105104impd 431 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  (
( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  ch ) )
10616sseq1i 3375 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 1o  C_  y  <->  suc  (/)  C_  y )
107 0ex 4417 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
108 sucssel 4806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  e.  _V  ->  ( suc  (/)  C_  y  ->  (/)  e.  y ) )
109107, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc  (/)  C_  y  ->  (/)  e.  y )
110106, 109sylbi 195 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  C_  y  ->  (/)  e.  y )
111 elni2 9038 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  <->  ( y  e.  om  /\  (/)  e.  y ) )
112 indpi.6 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  N.  ->  ( ch  ->  th ) )
113111, 112sylbir 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  om  /\  (/) 
e.  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
114110, 113sylan2 474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  C_  y )  -> 
( ch  ->  th )
)
115105, 114syl9r 72 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  om  /\  1o  C_  y )  -> 
( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
116115adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( y  e.  om  /\  1o  e.  om )  /\  1o  C_  y )  ->  ( ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  y )  ->  ch )  ->  ( ( y  e.  N.  /\  1o  <N  suc  y )  ->  th ) ) )
11725, 30, 82, 86, 87, 116findsg 6498 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  om  /\  1o  e.  om )  /\  1o  C_  A )  ->  ( ( A  e. 
N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta )
)
11821, 117mpanl2 681 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  om  /\  1o  C_  A )  -> 
( ( A  e. 
N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta )
)
11911, 20, 118syl2anc 661 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  (
( A  e.  N.  /\  1o  <N  A )  ->  ta ) )
120119expd 436 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  e.  N.  ->  ( 1o  <N  A  ->  ta ) ) )
121120pm2.43i 47 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( 1o  <N  A  ->  ta ) )
122 nlt1pi 9067 . . . 4  |-  -.  A  <N  1o
123 ltsopi 9049 . . . . . 6  |-  <N  Or  N.
124 sotric 4662 . . . . . 6  |-  ( ( 
<N  Or  N.  /\  ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. ) )  -> 
( A  <N  1o  <->  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) ) )
125123, 124mpan 670 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  N.  /\  1o  e.  N. )  -> 
( A  <N  1o  <->  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) ) )
1261, 125mpan2 671 . . . 4  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  <N  1o  <->  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) ) )
127122, 126mtbii 302 . . 3  |-  ( A  e.  N.  ->  -.  -.  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) )
128127notnotrd 113 . 2  |-  ( A  e.  N.  ->  ( A  =  1o  \/  1o  <N  A ) )
12910, 121, 128mpjaod 381 1  |-  ( A  e.  N.  ->  ta )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2601   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   (/)c0 3632   class class class wbr 4287    Or wor 4635   Ord word 4713   Oncon0 4714   suc csuc 4716  (class class class)co 6086   omcom 6471   1oc1o 6905    +o coa 6909   N.cnpi 9003    +N cpli 9004    <N clti 9006
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-ni 9033  df-pli 9034  df-lti 9036
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