MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indistpsALT Structured version   Unicode version

Theorem indistpsALT 19273
Description: The indiscrete topology on a set  A expressed as a topological space. Here we show how to derive the structural version indistps 19271 from the direct component assignment version indistps2 19272. (Contributed by NM, 24-Oct-2012.) (Proof modification is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
indistpsALT.a  |-  A  e. 
_V
indistpsALT.k  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  A >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  { (/) ,  A } >. }
Assertion
Ref Expression
indistpsALT  |-  K  e. 
TopSp

Proof of Theorem indistpsALT
StepHypRef Expression
1 indistpsALT.a . 2  |-  A  e. 
_V
2 indistopon 19261 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  { (/) ,  A }  e.  (TopOn `  A ) )
3 indistpsALT.k . . . . 5  |-  K  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  A >. , 
<. (TopSet `  ndx ) ,  { (/) ,  A } >. }
4 df-tset 14563 . . . . 5  |- TopSet  = Slot  9
5 1lt9 10726 . . . . 5  |-  1  <  9
6 9nn 10689 . . . . 5  |-  9  e.  NN
73, 4, 5, 62strbas 14581 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  A  =  ( Base `  K
) )
81, 7ax-mp 5 . . 3  |-  A  =  ( Base `  K
)
9 prex 4682 . . . 4  |-  { (/) ,  A }  e.  _V
103, 4, 5, 62strop 14582 . . . 4  |-  ( {
(/) ,  A }  e.  _V  ->  { (/) ,  A }  =  (TopSet `  K
) )
119, 10ax-mp 5 . . 3  |-  { (/) ,  A }  =  (TopSet `  K )
128, 11tsettps 19204 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  e.  (TopOn `  A )  ->  K  e.  TopSp )
131, 2, 12mp2b 10 1  |-  K  e. 
TopSp
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3106   (/)c0 3778   {cpr 4022   <.cop 4026   ` cfv 5579   9c9 10581   ndxcnx 14476   Basecbs 14479  TopSetcts 14550  TopOnctopon 19155   TopSpctps 19157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-tset 14563  df-rest 14667  df-topn 14668  df-top 19159  df-topon 19162  df-topsp 19163
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator