Theorem indistps 8923

Description: The indiscrete topology on a set A expressed as a topological space. (Contributed by FL, 19-Jul-2006.)

Hypothesis

Ref	Expression
indistop.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
indistps	|- <.A, {(/), A}>. e. TopSp

Proof of Theorem indistps

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 3446	. . . . 5 |- (/) e. _V
2		indistop.1	. . . . 5 |- A e. _V
3	1, 2	unipr 3191	. . . 4 |- U.{(/), A} = ((/) u. A)
4		uncom 2744	. . . 4 |- ((/) u. A) = (A u. (/))
5		un0 2896	. . . 4 |- (A u. (/)) = A
6	3, 4, 5	3eqtri 1912	. . 3 |- U.{(/), A} = A
7	6	opeq1i 3161	. 2 |- <.U.{(/), A}, {(/), A}>. = <.A, {(/), A}>.
8		indistop 8918	. . 3 |- {(/), A} e. Top
9		eltopsp 8873	. . 3 |- (<.U.{(/), A}, {(/), A}>. e. TopSp <-> {(/), A} e. Top)
10	8, 9	mpbir 207	. 2 |- <.U.{(/), A}, {(/), A}>. e. TopSp
11	7, 10	eqeltrri 1968	1 |- <.A, {(/), A}>. e. TopSp

Syntax hints:   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   u. cun 2591  (/)c0 2875  {cpr 3045  <.cop 3046  U.cuni 3177  Topctop 8857  TopSpctps 8858

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-xp 4000  df-rel 4001  df-top 8861  df-topsp 8862

Copyright terms: Public domain