Users' Mathboxes Mathbox for Mario Carneiro < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indispcon Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem indispcon 30005
Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
indispcon  |-  { (/) ,  A }  e. PCon

Proof of Theorem indispcon
Dummy variables  x  f  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indistop 20065 . 2  |-  { (/) ,  A }  e.  Top
2 simpl 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  x  e.  U. { (/) ,  A } )
3 0ex 4548 . . . . . . . . . . . 12  |-  (/)  e.  _V
4 n0i 3747 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  U. { (/) ,  A }  ->  -.  U. { (/) ,  A }  =  (/) )
5 prprc2 4095 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  {
(/) ,  A }  =  { (/) } )
65unieqd 4221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. { (/) ,  A }  =  U. { (/) } )
73unisn 4226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  U. { (/)
}  =  (/)
86, 7syl6eq 2511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  U. { (/) ,  A }  =  (/) )
94, 8nsyl2 132 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  U. { (/) ,  A }  ->  A  e.  _V )
109adantr 471 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  A  e.  _V )
11 uniprg 4225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  U. { (/)
,  A }  =  ( (/)  u.  A ) )
123, 10, 11sylancr 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  U. { (/) ,  A }  =  ( (/)  u.  A
) )
13 uncom 3589 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (/)  u.  A )  =  ( A  u.  (/) )
14 un0 3770 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  u.  (/) )  =  A
1513, 14eqtri 2483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (/)  u.  A )  =  A
1612, 15syl6eq 2511 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  U. { (/) ,  A }  =  A )
172, 16eleqtrd 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  x  e.  A )
18 simpr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
y  e.  U. { (/)
,  A } )
1918, 16eleqtrd 2541 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
y  e.  A )
2017, 19ifcld 3935 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  if ( z  =  0 ,  x ,  y )  e.  A )
2120adantr 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  U. { (/) ,  A }  /\  y  e.  U. { (/)
,  A } )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  if (
z  =  0 ,  x ,  y )  e.  A )
22 eqid 2461 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )
2321, 22fmptd 6068 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) : ( 0 [,] 1
) --> A )
24 ovex 6342 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] 1 )  e. 
_V
25 elmapg 7510 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  _V  /\  ( 0 [,] 1
)  e.  _V )  ->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  e.  ( A  ^m  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> A ) )
2610, 24, 25sylancl 673 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  e.  ( A  ^m  ( 0 [,] 1
) )  <->  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> A ) )
2723, 26mpbird 240 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  e.  ( A  ^m  (
0 [,] 1 ) ) )
28 iitopon 21959 . . . . . 6  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
29 cnindis 20356 . . . . . 6  |-  ( ( II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) )  /\  A  e.  _V )  ->  (
II  Cn  { (/) ,  A } )  =  ( A  ^m  ( 0 [,] 1 ) ) )
3028, 10, 29sylancr 674 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( II  Cn  { (/)
,  A } )  =  ( A  ^m  ( 0 [,] 1
) ) )
3127, 30eleqtrrd 2542 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  e.  ( II  Cn  { (/)
,  A } ) )
32 0elunit 11778 . . . . 5  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
33 iftrue 3898 . . . . . 6  |-  ( z  =  0  ->  if ( z  =  0 ,  x ,  y )  =  x )
34 vex 3059 . . . . . 6  |-  x  e. 
_V
3533, 22, 34fvmpt 5970 . . . . 5  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) ` 
0 )  =  x )
3632, 35mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `
 0 )  =  x )
37 1elunit 11779 . . . . 5  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
38 ax-1ne0 9633 . . . . . . . 8  |-  1  =/=  0
39 neeq1 2697 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  1  ->  (
z  =/=  0  <->  1  =/=  0 ) )
4038, 39mpbiri 241 . . . . . . 7  |-  ( z  =  1  ->  z  =/=  0 )
41 ifnefalse 3904 . . . . . . 7  |-  ( z  =/=  0  ->  if ( z  =  0 ,  x ,  y )  =  y )
4240, 41syl 17 . . . . . 6  |-  ( z  =  1  ->  if ( z  =  0 ,  x ,  y )  =  y )
43 vex 3059 . . . . . 6  |-  y  e. 
_V
4442, 22, 43fvmpt 5970 . . . . 5  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) ` 
1 )  =  y )
4537, 44mp1i 13 . . . 4  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  -> 
( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `
 1 )  =  y )
46 fveq1 5886 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  ->  ( f ` 
0 )  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) ` 
0 ) )
4746eqeq1d 2463 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  ->  ( ( f `
 0 )  =  x  <->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `  0 )  =  x ) )
48 fveq1 5886 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  ->  ( f ` 
1 )  =  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) ` 
1 ) )
4948eqeq1d 2463 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  ->  ( ( f `
 1 )  =  y  <->  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `  1 )  =  y ) )
5047, 49anbi12d 722 . . . . 5  |-  ( f  =  ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  ->  ( ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y )  <->  ( (
( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) ` 
0 )  =  x  /\  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `  1 )  =  y ) ) )
5150rspcev 3161 . . . 4  |-  ( ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) )  e.  ( II  Cn  { (/)
,  A } )  /\  ( ( ( z  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `  0
)  =  x  /\  ( ( z  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( z  =  0 ,  x ,  y ) ) `
 1 )  =  y ) )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  { (/) ,  A } ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) )
5231, 36, 45, 51syl12anc 1274 . . 3  |-  ( ( x  e.  U. { (/)
,  A }  /\  y  e.  U. { (/) ,  A } )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  { (/) ,  A } ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y ) )
5352rgen2a 2826 . 2  |-  A. x  e.  U. { (/) ,  A } A. y  e.  U. { (/) ,  A } E. f  e.  (
II  Cn  { (/) ,  A } ) ( ( f `  0 )  =  x  /\  (
f `  1 )  =  y )
54 eqid 2461 . . 3  |-  U. { (/)
,  A }  =  U. { (/) ,  A }
5554ispcon 29994 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  e. PCon  <-> 
( { (/) ,  A }  e.  Top  /\  A. x  e.  U. { (/) ,  A } A. y  e.  U. { (/) ,  A } E. f  e.  ( II  Cn  { (/) ,  A } ) ( ( f `  0
)  =  x  /\  ( f `  1
)  =  y ) ) )
561, 53, 55mpbir2an 936 1  |-  { (/) ,  A }  e. PCon
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 189    /\ wa 375    = wceq 1454    e. wcel 1897    =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056    u. cun 3413   (/)c0 3742   ifcif 3892   {csn 3979   {cpr 3981   U.cuni 4211    |-> cmpt 4474   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314    ^m cmap 7497   0cc0 9564   1c1 9565   [,]cicc 11666   Topctop 19965  TopOnctopon 19966    Cn ccn 20288   IIcii 21955  PConcpcon 29990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-sup 7981  df-inf 7982  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-icc 11670  df-seq 12245  df-exp 12304  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-topgen 15390  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-cn 20291  df-ii 21957  df-pcon 29992
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator