Theorem indispcon 28868

Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
indispcon	|- { (/) , A } e. PCon

Proof of Theorem indispcon

Dummy variables x f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indistop 19588	. 2 |- { (/) , A } e. Top
2		simpl 455	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> x e. U. { (/) , A } )
3		0ex 4497	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
4		n0i 3716	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. U. { (/) , A } -> -. U. { (/) , A } = (/) )
5		prprc2 4055	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. A e. _V -> { (/) , A } = { (/) } )
6	5	unieqd 4173	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A e. _V -> U. { (/) , A } = U. { (/) } )
7	3	unisn 4178	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. { (/) } = (/)
8	6, 7	syl6eq 2439	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A e. _V -> U. { (/) , A } = (/) )
9	4, 8	nsyl2 127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. U. { (/) , A } -> A e. _V )
10	9	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> A e. _V )
11		uniprg 4177	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. _V /\ A e. _V ) -> U. { (/) , A } = ( (/) u. A ) )
12	3, 10, 11	sylancr 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> U. { (/) , A } = ( (/) u. A ) )
13		uncom 3562	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) u. A ) = ( A u. (/) )
14		un0 3737	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A u. (/) ) = A
15	13, 14	eqtri 2411	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) u. A ) = A
16	12, 15	syl6eq 2439	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> U. { (/) , A } = A )
17	2, 16	eleqtrd 2472	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> x e. A )
18		simpr 459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> y e. U. { (/) , A } )
19	18, 16	eleqtrd 2472	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> y e. A )
20	17, 19	ifcld 3900	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> if ( z = 0 , x , y ) e. A )
21	20	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( z = 0 , x , y ) e. A )
22		eqid 2382	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) )
23	21, 22	fmptd 5957	. . . . . 6 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> A )
24		ovex 6224	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] 1 ) e. _V
25		elmapg 7351	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ ( 0 [,] 1 ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) <-> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> A ) )
26	10, 24, 25	sylancl 660	. . . . . 6 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) <-> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> A ) )
27	23, 26	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) )
28		iitopon 21468	. . . . . 6 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
29		cnindis 19879	. . . . . 6 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ A e. _V ) -> ( II Cn { (/) , A } ) = ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) )
30	28, 10, 29	sylancr 661	. . . . 5 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( II Cn { (/) , A } ) = ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) )
31	27, 30	eleqtrrd 2473	. . . 4 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( II Cn { (/) , A } ) )
32		0elunit 11559	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
33		iftrue 3863	. . . . . 6 |- ( z = 0 -> if ( z = 0 , x , y ) = x )
34		vex 3037	. . . . . 6 |- x e. _V
35	33, 22, 34	fvmpt 5857	. . . . 5 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x )
36	32, 35	mp1i 12	. . . 4 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x )
37		1elunit 11560	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
38		ax-1ne0 9472	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
39		neeq1 2663	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( z =/= 0 <-> 1 =/= 0 ) )
40	38, 39	mpbiri 233	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> z =/= 0 )
41		ifnefalse 3869	. . . . . . 7 |- ( z =/= 0 -> if ( z = 0 , x , y ) = y )
42	40, 41	syl 16	. . . . . 6 |- ( z = 1 -> if ( z = 0 , x , y ) = y )
43		vex 3037	. . . . . 6 |- y e. _V
44	42, 22, 43	fvmpt 5857	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y )
45	37, 44	mp1i 12	. . . 4 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y )
46		fveq1 5773	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( f ` 0 ) = ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) )
47	46	eqeq1d 2384	. . . . . 6 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( ( f ` 0 ) = x <-> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x ) )
48		fveq1 5773	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( f ` 1 ) = ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) )
49	48	eqeq1d 2384	. . . . . 6 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( ( f ` 1 ) = y <-> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y ) )
50	47, 49	anbi12d 708	. . . . 5 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) <-> ( ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x /\ ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y ) ) )
51	50	rspcev 3135	. . . 4 |- ( ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( II Cn { (/) , A } ) /\ ( ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x /\ ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y ) ) -> E. f e. ( II Cn { (/) , A } ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) )
52	31, 36, 45, 51	syl12anc 1224	. . 3 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> E. f e. ( II Cn { (/) , A } ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) )
53	52	rgen2a 2809	. 2 |- A. x e. U. { (/) , A } A. y e. U. { (/) , A } E. f e. ( II Cn { (/) , A } ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y )
54		eqid 2382	. . 3 |- U. { (/) , A } = U. { (/) , A }
55	54	ispcon 28857	. 2 |- ( { (/) , A } e. PCon <-> ( { (/) , A } e. Top /\ A. x e. U. { (/) , A } A. y e. U. { (/) , A } E. f e. ( II Cn { (/) , A } ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
56	1, 53, 55	mpbir2an 918	1 |- { (/) , A } e. PCon

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1399   e. wcel 1826   =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   _Vcvv 3034   u. cun 3387   (/)c0 3711   ifcif 3857   {csn 3944   {cpr 3946   U.cuni 4163   |-> cmpt 4425   -->wf 5492   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   ^m cmap 7338   0cc0 9403   1c1 9404   [,]cicc 11453   Topctop 19479  TopOnctopon 19480   Cn ccn 19811   IIcii 21464  PConcpcon 28853

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-sup 7816  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-q 11102  df-rp 11140  df-xneg 11239  df-xadd 11240  df-xmul 11241  df-icc 11457  df-seq 12011  df-exp 12070  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-topgen 14851  df-psmet 18524  df-xmet 18525  df-met 18526  df-bl 18527  df-mopn 18528  df-top 19484  df-bases 19486  df-topon 19487  df-cn 19814  df-ii 21466  df-pcon 28855

This theorem is referenced by: (None)