Theorem indispcon 30005

Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
indispcon	|- { (/) , A } e. PCon

Proof of Theorem indispcon

Dummy variables x f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indistop 20065	. 2 |- { (/) , A } e. Top
2		simpl 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> x e. U. { (/) , A } )
3		0ex 4548	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
4		n0i 3747	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. U. { (/) , A } -> -. U. { (/) , A } = (/) )
5		prprc2 4095	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. A e. _V -> { (/) , A } = { (/) } )
6	5	unieqd 4221	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A e. _V -> U. { (/) , A } = U. { (/) } )
7	3	unisn 4226	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. { (/) } = (/)
8	6, 7	syl6eq 2511	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A e. _V -> U. { (/) , A } = (/) )
9	4, 8	nsyl2 132	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. U. { (/) , A } -> A e. _V )
10	9	adantr 471	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> A e. _V )
11		uniprg 4225	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. _V /\ A e. _V ) -> U. { (/) , A } = ( (/) u. A ) )
12	3, 10, 11	sylancr 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> U. { (/) , A } = ( (/) u. A ) )
13		uncom 3589	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) u. A ) = ( A u. (/) )
14		un0 3770	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A u. (/) ) = A
15	13, 14	eqtri 2483	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) u. A ) = A
16	12, 15	syl6eq 2511	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> U. { (/) , A } = A )
17	2, 16	eleqtrd 2541	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> x e. A )
18		simpr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> y e. U. { (/) , A } )
19	18, 16	eleqtrd 2541	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> y e. A )
20	17, 19	ifcld 3935	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> if ( z = 0 , x , y ) e. A )
21	20	adantr 471	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( z = 0 , x , y ) e. A )
22		eqid 2461	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) )
23	21, 22	fmptd 6068	. . . . . 6 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> A )
24		ovex 6342	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] 1 ) e. _V
25		elmapg 7510	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ ( 0 [,] 1 ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) <-> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> A ) )
26	10, 24, 25	sylancl 673	. . . . . 6 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) <-> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> A ) )
27	23, 26	mpbird 240	. . . . 5 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) )
28		iitopon 21959	. . . . . 6 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
29		cnindis 20356	. . . . . 6 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ A e. _V ) -> ( II Cn { (/) , A } ) = ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) )
30	28, 10, 29	sylancr 674	. . . . 5 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( II Cn { (/) , A } ) = ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) )
31	27, 30	eleqtrrd 2542	. . . 4 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( II Cn { (/) , A } ) )
32		0elunit 11778	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
33		iftrue 3898	. . . . . 6 |- ( z = 0 -> if ( z = 0 , x , y ) = x )
34		vex 3059	. . . . . 6 |- x e. _V
35	33, 22, 34	fvmpt 5970	. . . . 5 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x )
36	32, 35	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x )
37		1elunit 11779	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
38		ax-1ne0 9633	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
39		neeq1 2697	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( z =/= 0 <-> 1 =/= 0 ) )
40	38, 39	mpbiri 241	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> z =/= 0 )
41		ifnefalse 3904	. . . . . . 7 |- ( z =/= 0 -> if ( z = 0 , x , y ) = y )
42	40, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( z = 1 -> if ( z = 0 , x , y ) = y )
43		vex 3059	. . . . . 6 |- y e. _V
44	42, 22, 43	fvmpt 5970	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y )
45	37, 44	mp1i 13	. . . 4 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y )
46		fveq1 5886	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( f ` 0 ) = ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) )
47	46	eqeq1d 2463	. . . . . 6 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( ( f ` 0 ) = x <-> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x ) )
48		fveq1 5886	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( f ` 1 ) = ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) )
49	48	eqeq1d 2463	. . . . . 6 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( ( f ` 1 ) = y <-> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y ) )
50	47, 49	anbi12d 722	. . . . 5 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) <-> ( ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x /\ ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y ) ) )
51	50	rspcev 3161	. . . 4 |- ( ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( II Cn { (/) , A } ) /\ ( ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x /\ ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y ) ) -> E. f e. ( II Cn { (/) , A } ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) )
52	31, 36, 45, 51	syl12anc 1274	. . 3 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> E. f e. ( II Cn { (/) , A } ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) )
53	52	rgen2a 2826	. 2 |- A. x e. U. { (/) , A } A. y e. U. { (/) , A } E. f e. ( II Cn { (/) , A } ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y )
54		eqid 2461	. . 3 |- U. { (/) , A } = U. { (/) , A }
55	54	ispcon 29994	. 2 |- ( { (/) , A } e. PCon <-> ( { (/) , A } e. Top /\ A. x e. U. { (/) , A } A. y e. U. { (/) , A } E. f e. ( II Cn { (/) , A } ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
56	1, 53, 55	mpbir2an 936	1 |- { (/) , A } e. PCon

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 189   /\ wa 375   = wceq 1454   e. wcel 1897   =/= wne 2632   A.wral 2748   E.wrex 2749   _Vcvv 3056   u. cun 3413   (/)c0 3742   ifcif 3892   {csn 3979   {cpr 3981   U.cuni 4211   |-> cmpt 4474   -->wf 5596   ` cfv 5600  (class class class)co 6314   ^m cmap 7497   0cc0 9564   1c1 9565   [,]cicc 11666   Topctop 19965  TopOnctopon 19966   Cn ccn 20288   IIcii 21955  PConcpcon 29990

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620  ax-resscn 9621  ax-1cn 9622  ax-icn 9623  ax-addcl 9624  ax-addrcl 9625  ax-mulcl 9626  ax-mulrcl 9627  ax-mulcom 9628  ax-addass 9629  ax-mulass 9630  ax-distr 9631  ax-i2m1 9632  ax-1ne0 9633  ax-1rid 9634  ax-rnegex 9635  ax-rrecex 9636  ax-cnre 9637  ax-pre-lttri 9638  ax-pre-lttrn 9639  ax-pre-ltadd 9640  ax-pre-mulgt0 9641  ax-pre-sup 9642

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-nel 2635  df-ral 2753  df-rex 2754  df-reu 2755  df-rmo 2756  df-rab 2757  df-v 3058  df-sbc 3279  df-csb 3375  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-pss 3431  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-tp 3984  df-op 3986  df-uni 4212  df-iun 4293  df-br 4416  df-opab 4475  df-mpt 4476  df-tr 4511  df-eprel 4763  df-id 4767  df-po 4773  df-so 4774  df-fr 4811  df-we 4813  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-pred 5398  df-ord 5444  df-on 5445  df-lim 5446  df-suc 5447  df-iota 5564  df-fun 5602  df-fn 5603  df-f 5604  df-f1 5605  df-fo 5606  df-f1o 5607  df-fv 5608  df-riota 6276  df-ov 6317  df-oprab 6318  df-mpt2 6319  df-om 6719  df-1st 6819  df-2nd 6820  df-wrecs 7053  df-recs 7115  df-rdg 7153  df-er 7388  df-map 7499  df-en 7595  df-dom 7596  df-sdom 7597  df-sup 7981  df-inf 7982  df-pnf 9702  df-mnf 9703  df-xr 9704  df-ltxr 9705  df-le 9706  df-sub 9887  df-neg 9888  df-div 10297  df-nn 10637  df-2 10695  df-3 10696  df-n0 10898  df-z 10966  df-uz 11188  df-q 11293  df-rp 11331  df-xneg 11437  df-xadd 11438  df-xmul 11439  df-icc 11670  df-seq 12245  df-exp 12304  df-cj 13210  df-re 13211  df-im 13212  df-sqrt 13346  df-abs 13347  df-topgen 15390  df-psmet 19010  df-xmet 19011  df-met 19012  df-bl 19013  df-mopn 19014  df-top 19969  df-bases 19970  df-topon 19971  df-cn 20291  df-ii 21957  df-pcon 29992

This theorem is referenced by: (None)