Theorem indispcon 27053

Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is path-connected. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Jul-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)

Assertion

Ref	Expression
indispcon	|- { (/) , A } e. PCon

Proof of Theorem indispcon

Dummy variables x f y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indistop 18565	. 2 |- { (/) , A } e. Top
2		simpl 454	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> x e. U. { (/) , A } )
3		0ex 4419	. . . . . . . . . . . 12 |- (/) e. _V
4		n0i 3639	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( x e. U. { (/) , A } -> -. U. { (/) , A } = (/) )
5		prprc2 3983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( -. A e. _V -> { (/) , A } = { (/) } )
6	5	unieqd 4098	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( -. A e. _V -> U. { (/) , A } = U. { (/) } )
7	3	unisn 4103	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- U. { (/) } = (/)
8	6, 7	syl6eq 2489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -. A e. _V -> U. { (/) , A } = (/) )
9	4, 8	nsyl2 127	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x e. U. { (/) , A } -> A e. _V )
10	9	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> A e. _V )
11		uniprg 4102	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( (/) e. _V /\ A e. _V ) -> U. { (/) , A } = ( (/) u. A ) )
12	3, 10, 11	sylancr 658	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> U. { (/) , A } = ( (/) u. A ) )
13		uncom 3497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( (/) u. A ) = ( A u. (/) )
14		un0 3659	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A u. (/) ) = A
15	13, 14	eqtri 2461	. . . . . . . . . . 11 |- ( (/) u. A ) = A
16	12, 15	syl6eq 2489	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> U. { (/) , A } = A )
17	2, 16	eleqtrd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> x e. A )
18		simpr 458	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> y e. U. { (/) , A } )
19	18, 16	eleqtrd 2517	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> y e. A )
20		ifcl 3828	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. A /\ y e. A ) -> if ( z = 0 , x , y ) e. A )
21	17, 19, 20	syl2anc 656	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> if ( z = 0 , x , y ) e. A )
22	21	adantr 462	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) /\ z e. ( 0 [,] 1 ) ) -> if ( z = 0 , x , y ) e. A )
23		eqid 2441	. . . . . . 7 |- ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) )
24	22, 23	fmptd 5864	. . . . . 6 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> A )
25		ovex 6115	. . . . . . 7 |- ( 0 [,] 1 ) e. _V
26		elmapg 7223	. . . . . . 7 |- ( ( A e. _V /\ ( 0 [,] 1 ) e. _V ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) <-> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> A ) )
27	10, 25, 26	sylancl 657	. . . . . 6 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) <-> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) : ( 0 [,] 1 ) --> A ) )
28	24, 27	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) )
29		iitopon 20414	. . . . . 6 |- II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) )
30		cnindis 18855	. . . . . 6 |- ( ( II e. (TopOn ` ( 0 [,] 1 ) ) /\ A e. _V ) -> ( II Cn { (/) , A } ) = ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) )
31	29, 10, 30	sylancr 658	. . . . 5 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( II Cn { (/) , A } ) = ( A ^m ( 0 [,] 1 ) ) )
32	28, 31	eleqtrrd 2518	. . . 4 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( II Cn { (/) , A } ) )
33		0elunit 11399	. . . . 5 |- 0 e. ( 0 [,] 1 )
34		iftrue 3794	. . . . . 6 |- ( z = 0 -> if ( z = 0 , x , y ) = x )
35		vex 2973	. . . . . 6 |- x e. _V
36	34, 23, 35	fvmpt 5771	. . . . 5 |- ( 0 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x )
37	33, 36	mp1i 12	. . . 4 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x )
38		1elunit 11400	. . . . 5 |- 1 e. ( 0 [,] 1 )
39		ax-1ne0 9347	. . . . . . . 8 |- 1 =/= 0
40		neeq1 2614	. . . . . . . 8 |- ( z = 1 -> ( z =/= 0 <-> 1 =/= 0 ) )
41	39, 40	mpbiri 233	. . . . . . 7 |- ( z = 1 -> z =/= 0 )
42		ifnefalse 3798	. . . . . . 7 |- ( z =/= 0 -> if ( z = 0 , x , y ) = y )
43	41, 42	syl 16	. . . . . 6 |- ( z = 1 -> if ( z = 0 , x , y ) = y )
44		vex 2973	. . . . . 6 |- y e. _V
45	43, 23, 44	fvmpt 5771	. . . . 5 |- ( 1 e. ( 0 [,] 1 ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y )
46	38, 45	mp1i 12	. . . 4 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y )
47		fveq1 5687	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( f ` 0 ) = ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) )
48	47	eqeq1d 2449	. . . . . 6 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( ( f ` 0 ) = x <-> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x ) )
49		fveq1 5687	. . . . . . 7 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( f ` 1 ) = ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) )
50	49	eqeq1d 2449	. . . . . 6 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( ( f ` 1 ) = y <-> ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y ) )
51	48, 50	anbi12d 705	. . . . 5 |- ( f = ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) -> ( ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) <-> ( ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x /\ ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y ) ) )
52	51	rspcev 3070	. . . 4 |- ( ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) e. ( II Cn { (/) , A } ) /\ ( ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 0 ) = x /\ ( ( z e. ( 0 [,] 1 ) |-> if ( z = 0 , x , y ) ) ` 1 ) = y ) ) -> E. f e. ( II Cn { (/) , A } ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) )
53	32, 37, 46, 52	syl12anc 1211	. . 3 |- ( ( x e. U. { (/) , A } /\ y e. U. { (/) , A } ) -> E. f e. ( II Cn { (/) , A } ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) )
54	53	rgen2a 2780	. 2 |- A. x e. U. { (/) , A } A. y e. U. { (/) , A } E. f e. ( II Cn { (/) , A } ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y )
55		eqid 2441	. . 3 |- U. { (/) , A } = U. { (/) , A }
56	55	ispcon 27042	. 2 |- ( { (/) , A } e. PCon <-> ( { (/) , A } e. Top /\ A. x e. U. { (/) , A } A. y e. U. { (/) , A } E. f e. ( II Cn { (/) , A } ) ( ( f ` 0 ) = x /\ ( f ` 1 ) = y ) ) )
57	1, 54, 56	mpbir2an 906	1 |- { (/) , A } e. PCon

Syntax hints:   -. wn 3   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   _Vcvv 2970   u. cun 3323   (/)c0 3634   ifcif 3788   {csn 3874   {cpr 3876   U.cuni 4088   e. cmpt 4347   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   ^m cmap 7210   0cc0 9278   1c1 9279   [,]cicc 11299   Topctop 18457  TopOnctopon 18458   Cn ccn 18787   IIcii 20410  PConcpcon 27038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-er 7097  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-sup 7687  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-icc 11303  df-seq 11803  df-exp 11862  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-topgen 14378  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-cn 18790  df-ii 20412  df-pcon 27040

This theorem is referenced by: (None)