Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indishmph Structured version   Unicode version

Theorem indishmph 20425
 Description: Equinumerous sets equipped with their indiscrete topologies are homeomorphic (which means in that particular case that a segment is homeomorphic to a circle contrary to what Wikipedia claims). (Contributed by FL, 17-Aug-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
indishmph

Proof of Theorem indishmph
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 7544 . 2
2 f1of 5822 . . . . . . 7
3 f1odm 5826 . . . . . . . . . 10
4 vex 3112 . . . . . . . . . . 11
54dmex 6732 . . . . . . . . . 10
63, 5syl6eqelr 2554 . . . . . . . . 9
7 f1ofo 5829 . . . . . . . . 9
8 fornex 6768 . . . . . . . . 9
96, 7, 8sylc 60 . . . . . . . 8
109, 6elmapd 7452 . . . . . . 7
112, 10mpbird 232 . . . . . 6
12 indistopon 19629 . . . . . . . 8 TopOn
136, 12syl 16 . . . . . . 7 TopOn
14 cnindis 19920 . . . . . . 7 TopOn
1513, 9, 14syl2anc 661 . . . . . 6
1611, 15eleqtrrd 2548 . . . . 5
17 f1ocnv 5834 . . . . . . . 8
18 f1of 5822 . . . . . . . 8
1917, 18syl 16 . . . . . . 7
206, 9elmapd 7452 . . . . . . 7
2119, 20mpbird 232 . . . . . 6
22 indistopon 19629 . . . . . . . 8 TopOn
239, 22syl 16 . . . . . . 7 TopOn
24 cnindis 19920 . . . . . . 7 TopOn
2523, 6, 24syl2anc 661 . . . . . 6
2621, 25eleqtrrd 2548 . . . . 5
27 ishmeo 20386 . . . . 5
2816, 26, 27sylanbrc 664 . . . 4
29 hmphi 20404 . . . 4
3028, 29syl 16 . . 3
3130exlimiv 1723 . 2
321, 31sylbi 195 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1395  wex 1613   wcel 1819  cvv 3109  c0 3793  cpr 4034   class class class wbr 4456  ccnv 5007   cdm 5008  wf 5590  wfo 5592  wf1o 5593  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmap 7438   cen 7532  TopOnctopon 19522   ccn 19852  chmeo 20380   chmph 20381 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-1o 7148  df-map 7440  df-en 7536  df-top 19526  df-topon 19529  df-cn 19855  df-hmeo 20382  df-hmph 20383 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator