MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indiscon Structured version   Unicode version

Theorem indiscon 20044
Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is connected. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
indiscon  |-  { (/) ,  A }  e.  Con

Proof of Theorem indiscon
StepHypRef Expression
1 indistop 19629 . 2  |-  { (/) ,  A }  e.  Top
2 inss1 3714 . . 3  |-  ( {
(/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  A }
3 indislem 19627 . . 3  |-  { (/) ,  (  _I  `  A
) }  =  { (/)
,  A }
42, 3sseqtr4i 3532 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  (  _I  `  A ) }
5 indisuni 19630 . . 3  |-  (  _I 
`  A )  = 
U. { (/) ,  A }
65iscon2 20040 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  e.  Con  <->  ( { (/) ,  A }  e.  Top  /\  ( { (/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  (  _I  `  A ) } ) )
71, 4, 6mpbir2an 920 1  |-  { (/) ,  A }  e.  Con
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1819    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   {cpr 4034    _I cid 4799   ` cfv 5594   Topctop 19520   Clsdccld 19643   Conccon 20037
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fv 5602  df-top 19525  df-topon 19528  df-cld 19646  df-con 20038
This theorem is referenced by:  concompid  20057  cvmlift2lem9  28931
  Copyright terms: Public domain W3C validator