MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indiscon Structured version   Unicode version

Theorem indiscon 18981
Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is connected. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
indiscon  |-  { (/) ,  A }  e.  Con

Proof of Theorem indiscon
StepHypRef Expression
1 indistop 18565 . 2  |-  { (/) ,  A }  e.  Top
2 inss1 3567 . . 3  |-  ( {
(/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  A }
3 indislem 18563 . . 3  |-  { (/) ,  (  _I  `  A
) }  =  { (/)
,  A }
42, 3sseqtr4i 3386 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  (  _I  `  A ) }
5 indisuni 18566 . . 3  |-  (  _I 
`  A )  = 
U. { (/) ,  A }
65iscon2 18977 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  e.  Con  <->  ( { (/) ,  A }  e.  Top  /\  ( { (/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  (  _I  `  A ) } ) )
71, 4, 6mpbir2an 906 1  |-  { (/) ,  A }  e.  Con
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1761    i^i cin 3324    C_ wss 3325   (/)c0 3634   {cpr 3876    _I cid 4627   ` cfv 5415   Topctop 18457   Clsdccld 18579   Conccon 18974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fv 5423  df-top 18462  df-topon 18465  df-cld 18582  df-con 18975
This theorem is referenced by:  concompid  18994  cvmlift2lem9  27130
  Copyright terms: Public domain W3C validator