MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  indiscon Structured version   Unicode version

Theorem indiscon 19022
Description: The indiscrete topology (or trivial topology) on any set is connected. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
indiscon  |-  { (/) ,  A }  e.  Con

Proof of Theorem indiscon
StepHypRef Expression
1 indistop 18606 . 2  |-  { (/) ,  A }  e.  Top
2 inss1 3570 . . 3  |-  ( {
(/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  A }
3 indislem 18604 . . 3  |-  { (/) ,  (  _I  `  A
) }  =  { (/)
,  A }
42, 3sseqtr4i 3389 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  (  _I  `  A ) }
5 indisuni 18607 . . 3  |-  (  _I 
`  A )  = 
U. { (/) ,  A }
65iscon2 19018 . 2  |-  ( {
(/) ,  A }  e.  Con  <->  ( { (/) ,  A }  e.  Top  /\  ( { (/) ,  A }  i^i  ( Clsd `  { (/)
,  A } ) )  C_  { (/) ,  (  _I  `  A ) } ) )
71, 4, 6mpbir2an 911 1  |-  { (/) ,  A }  e.  Con
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1756    i^i cin 3327    C_ wss 3328   (/)c0 3637   {cpr 3879    _I cid 4631   ` cfv 5418   Topctop 18498   Clsdccld 18620   Conccon 19015
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fv 5426  df-top 18503  df-topon 18506  df-cld 18623  df-con 19016
This theorem is referenced by:  concompid  19035  cvmlift2lem9  27200
  Copyright terms: Public domain W3C validator