Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indfval Structured version   Unicode version

Theorem indfval 28477
Description: Value of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indfval  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  if ( X  e.  A , 
1 ,  0 ) )

Proof of Theorem indfval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indval 28474 . . 3  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) ) )
213adant3 1019 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  (
(𝟭 `  O ) `  A )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) ) )
3 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  /\  x  =  X
)  ->  x  =  X )
43eleq1d 2473 . . 3  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  /\  x  =  X
)  ->  ( x  e.  A  <->  X  e.  A
) )
54ifbid 3909 . 2  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  /\  x  =  X
)  ->  if (
x  e.  A , 
1 ,  0 )  =  if ( X  e.  A ,  1 ,  0 ) )
6 simp3 1001 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  X  e.  O )
7 1re 9627 . . . 4  |-  1  e.  RR
8 0re 9628 . . . 4  |-  0  e.  RR
97, 8keepel 3954 . . 3  |-  if ( X  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  RR
109a1i 11 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  if ( X  e.  A ,  1 ,  0 )  e.  RR )
112, 5, 6, 10fvmptd 5940 1  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  if ( X  e.  A , 
1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844    C_ wss 3416   ifcif 3887    |-> cmpt 4455   ` cfv 5571   RRcr 9523   0cc0 9524   1c1 9525  𝟭cind 28471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-ind 28472
This theorem is referenced by:  ind1  28479  ind0  28480  ind1a  28481  eulerpartlemgvv  28834
  Copyright terms: Public domain W3C validator