Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indfval Structured version   Unicode version

Theorem indfval 26593
Description: Value of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indfval  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  if ( X  e.  A , 
1 ,  0 ) )

Proof of Theorem indfval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indval 26590 . . 3  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) ) )
213adant3 1008 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  (
(𝟭 `  O ) `  A )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) ) )
3 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  /\  x  =  X
)  ->  x  =  X )
43eleq1d 2518 . . 3  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  /\  x  =  X
)  ->  ( x  e.  A  <->  X  e.  A
) )
54ifbid 3895 . 2  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  /\  x  =  X
)  ->  if (
x  e.  A , 
1 ,  0 )  =  if ( X  e.  A ,  1 ,  0 ) )
6 simp3 990 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  X  e.  O )
7 1re 9472 . . . 4  |-  1  e.  RR
8 0re 9473 . . . 4  |-  0  e.  RR
97, 8keepel 3941 . . 3  |-  if ( X  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  RR
109a1i 11 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  if ( X  e.  A ,  1 ,  0 )  e.  RR )
112, 5, 6, 10fvmptd 5864 1  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  if ( X  e.  A , 
1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757    C_ wss 3412   ifcif 3875    |-> cmpt 4434   ` cfv 5502   RRcr 9368   0cc0 9369   1c1 9370  𝟭cind 26587
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-ov 6179  df-ind 26588
This theorem is referenced by:  ind1  26595  ind0  26596  ind1a  26597  eulerpartlemgvv  26879
  Copyright terms: Public domain W3C validator