Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indfval Structured version   Unicode version

Theorem indfval 27670
Description: Value of the indicator function. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indfval  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  if ( X  e.  A , 
1 ,  0 ) )

Proof of Theorem indfval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indval 27667 . . 3  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) ) )
213adant3 1016 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  (
(𝟭 `  O ) `  A )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) ) )
3 simpr 461 . . . 4  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  /\  x  =  X
)  ->  x  =  X )
43eleq1d 2536 . . 3  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  /\  x  =  X
)  ->  ( x  e.  A  <->  X  e.  A
) )
54ifbid 3961 . 2  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  /\  x  =  X
)  ->  if (
x  e.  A , 
1 ,  0 )  =  if ( X  e.  A ,  1 ,  0 ) )
6 simp3 998 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  X  e.  O )
7 1re 9591 . . . 4  |-  1  e.  RR
8 0re 9592 . . . 4  |-  0  e.  RR
97, 8keepel 4007 . . 3  |-  if ( X  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  RR
109a1i 11 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  if ( X  e.  A ,  1 ,  0 )  e.  RR )
112, 5, 6, 10fvmptd 5953 1  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  if ( X  e.  A , 
1 ,  0 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    C_ wss 3476   ifcif 3939    |-> cmpt 4505   ` cfv 5586   RRcr 9487   0cc0 9488   1c1 9489  𝟭cind 27664
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-ind 27665
This theorem is referenced by:  ind1  27672  ind0  27673  ind1a  27674  eulerpartlemgvv  27955
  Copyright terms: Public domain W3C validator