Theorem indf1ofs 28842

Description: The bijection between finite subsets and the indicator functions with finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf1ofs	|- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )

Distinct variable group:   f, O

Allowed substitution hint:   V( f)

Proof of Theorem indf1ofs

Dummy variables a g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indf1o 28840	. . . 4 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
2		f1of1 5826	. . . 4 |- ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
4		inss1 3682	. . 3 |- ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O
5		f1ores 5841	. . 3 |- ( ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O ) -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 666	. 2 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) )
7		resres 5132	. . . 4 |- ( ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) |` Fin ) = ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) )
8		f1ofn 5828	. . . . . 6 |- ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) -> (𝟭 ` O ) Fn ~P O )
9		fnresdm 5699	. . . . . 6 |- ( (𝟭 ` O ) Fn ~P O -> ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) = (𝟭 ` O ) )
10	1, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) = (𝟭 ` O ) )
11	10	reseq1d 5119	. . . 4 |- ( O e. V -> ( ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) |` Fin ) = ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) )
12	7, 11	syl5eqr 2477	. . 3 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) = ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) )
13		eqidd 2423	. . 3 |- ( O e. V -> ( ~P O i^i Fin ) = ( ~P O i^i Fin ) )
14		simpll 758	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> O e. V )
15		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. ( ~P O i^i Fin ) )
16	4, 15	sseldi 3462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. ~P O )
17	16	elpwid 3989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a C_ O )
18		indf 28832	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a C_ O ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
19	17, 18	syldan 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
20	19	adantr 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
21		simpr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
22	21	feq1d 5728	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
23	20, 22	mpbid 213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> g : O --> { 0 , 1 } )
24		prex 4659	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } e. _V
25		elmapg 7489	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ O e. V ) -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
26	24, 25	mpan 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( O e. V -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
27	26	biimpar 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) )
28	14, 23, 27	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) )
29	21	cnveqd 5025	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) = `' g )
30	29	imaeq1d 5182	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = ( `' g " { 1 } ) )
31		indpi1 28838	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a C_ O ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = a )
32	17, 31	syldan 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = a )
33		inss2 3683	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P O i^i Fin ) C_ Fin
34	33, 15	sseldi 3462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. Fin )
35	32, 34	eqeltrd 2510	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) e. Fin )
36	35	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) e. Fin )
37	30, 36	eqeltrrd 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' g " { 1 } ) e. Fin )
38	28, 37	jca 534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
39	38	ex 435	. . . . . . 7 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
40	39	rexlimdva 2917	. . . . . 6 |- ( O e. V -> ( E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
41		cnvimass 5203	. . . . . . . . . 10 |- ( `' g " { 1 } ) C_ dom g
42	26	biimpa 486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> g : O --> { 0 , 1 } )
43		fdm 5746	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : O --> { 0 , 1 } -> dom g = O )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> dom g = O )
45	44	adantrr 721	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> dom g = O )
46	41, 45	syl5sseq 3512	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) C_ O )
47		simprr 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) e. Fin )
48		elfpw 7878	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) <-> ( ( `' g " { 1 } ) C_ O /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
49	46, 47, 48	sylanbrc 668	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) )
50		indpreima 28841	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> g = ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) )
51	50	eqcomd 2430	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
52	42, 51	syldan 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
53	52	adantrr 721	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
54		fveq2 5877	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( `' g " { 1 } ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) = ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) )
55	54	eqeq1d 2424	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( `' g " { 1 } ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g <-> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g ) )
56	55	rspcev 3182	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
57	49, 53, 56	syl2anc 665	. . . . . . 7 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
58	57	ex 435	. . . . . 6 |- ( O e. V -> ( ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
59	40, 58	impbid 193	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
60	1, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) Fn ~P O )
61		fvelimab 5933	. . . . . 6 |- ( ( (𝟭 ` O ) Fn ~P O /\ ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O ) -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
62	60, 4, 61	sylancl 666	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
63		cnveq 5023	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> `' f = `' g )
64	63	imaeq1d 5182	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( `' f " { 1 } ) = ( `' g " { 1 } ) )
65	64	eleq1d 2491	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( ( `' f " { 1 } ) e. Fin <-> ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
66	65	elrab 3229	. . . . . 6 |- ( g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
67	66	a1i 11	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
68	59, 62, 67	3bitr4d 288	. . . 4 |- ( O e. V -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } ) )
69	68	eqrdv 2419	. . 3 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) = { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )
70	12, 13, 69	f1oeq123d 5824	. 2 |- ( O e. V -> ( ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } ) )
71	6, 70	mpbid 213	1 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   E.wrex 2776   {crab 2779   _Vcvv 3081   i^i cin 3435   C_ wss 3436   ~Pcpw 3979   {csn 3996   {cpr 3998   `'ccnv 4848   dom cdm 4849   |` cres 4851   "cima 4852   Fn wfn 5592   -->wf 5593   -1-1->wf1 5594   -1-1-onto->wf1o 5596   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   ^m cmap 7476   Fincfn 7573   0cc0 9539   1c1 9540  𝟭cind 28827

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-op 4003  df-uni 4217  df-iun 4298  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-id 4764  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-map 7478  df-ind 28828

This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  29200