Theorem indf1ofs 26451

Description: The bijection between finite subsets and the indicator functions with finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf1ofs	|- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )

Distinct variable group:   f, O

Allowed substitution hint:   V( f)

Proof of Theorem indf1ofs

Dummy variables a g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indf1o 26449	. . . 4 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
2		f1of1 5635	. . . 4 |- ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
4		inss1 3565	. . 3 |- ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O
5		f1ores 5650	. . 3 |- ( ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O ) -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 662	. 2 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) )
7		resres 5118	. . . 4 |- ( ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) |` Fin ) = ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) )
8		f1ofn 5637	. . . . . 6 |- ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) -> (𝟭 ` O ) Fn ~P O )
9		fnresdm 5515	. . . . . 6 |- ( (𝟭 ` O ) Fn ~P O -> ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) = (𝟭 ` O ) )
10	1, 8, 9	3syl 20	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) = (𝟭 ` O ) )
11	10	reseq1d 5104	. . . 4 |- ( O e. V -> ( ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) |` Fin ) = ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) )
12	7, 11	syl5eqr 2484	. . 3 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) = ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) )
13		eqidd 2439	. . 3 |- ( O e. V -> ( ~P O i^i Fin ) = ( ~P O i^i Fin ) )
14		simpll 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> O e. V )
15		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. ( ~P O i^i Fin ) )
16	4, 15	sseldi 3349	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. ~P O )
17	16	elpwid 3865	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a C_ O )
18		indf 26441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a C_ O ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
19	17, 18	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
21		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
22	21	feq1d 5541	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
23	20, 22	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> g : O --> { 0 , 1 } )
24		prex 4529	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } e. _V
25		elmapg 7219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ O e. V ) -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
26	24, 25	mpan 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( O e. V -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
27	26	biimpar 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) )
28	14, 23, 27	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) )
29	21	cnveqd 5010	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) = `' g )
30	29	imaeq1d 5163	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = ( `' g " { 1 } ) )
31		indpi1 26447	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a C_ O ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = a )
32	17, 31	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = a )
33		inss2 3566	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P O i^i Fin ) C_ Fin
34	33, 15	sseldi 3349	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. Fin )
35	32, 34	eqeltrd 2512	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) e. Fin )
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) e. Fin )
37	30, 36	eqeltrrd 2513	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' g " { 1 } ) e. Fin )
38	28, 37	jca 532	. . . . . . . 8 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
39	38	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
40	39	rexlimdva 2836	. . . . . 6 |- ( O e. V -> ( E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
41		cnvimass 5184	. . . . . . . . . 10 |- ( `' g " { 1 } ) C_ dom g
42	26	biimpa 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> g : O --> { 0 , 1 } )
43		fdm 5558	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : O --> { 0 , 1 } -> dom g = O )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> dom g = O )
45	44	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> dom g = O )
46	41, 45	syl5sseq 3399	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) C_ O )
47		simprr 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) e. Fin )
48		elfpw 7605	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) <-> ( ( `' g " { 1 } ) C_ O /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
49	46, 47, 48	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) )
50		indpreima 26450	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> g = ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) )
51	50	eqcomd 2443	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
52	42, 51	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
53	52	adantrr 716	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
54		fveq2 5686	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( `' g " { 1 } ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) = ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) )
55	54	eqeq1d 2446	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( `' g " { 1 } ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g <-> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g ) )
56	55	rspcev 3068	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
57	49, 53, 56	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
58	57	ex 434	. . . . . 6 |- ( O e. V -> ( ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
59	40, 58	impbid 191	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
60	1, 8	syl 16	. . . . . 6 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) Fn ~P O )
61		fvelimab 5742	. . . . . 6 |- ( ( (𝟭 ` O ) Fn ~P O /\ ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O ) -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
62	60, 4, 61	sylancl 662	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
63		cnveq 5008	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> `' f = `' g )
64	63	imaeq1d 5163	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( `' f " { 1 } ) = ( `' g " { 1 } ) )
65	64	eleq1d 2504	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( ( `' f " { 1 } ) e. Fin <-> ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
66	65	elrab 3112	. . . . . 6 |- ( g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
67	66	a1i 11	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
68	59, 62, 67	3bitr4d 285	. . . 4 |- ( O e. V -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } ) )
69	68	eqrdv 2436	. . 3 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) = { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )
70	12, 13, 69	f1oeq123d 5633	. 2 |- ( O e. V -> ( ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } ) )
71	6, 70	mpbid 210	1 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   E.wrex 2711   {crab 2714   _Vcvv 2967   i^i cin 3322   C_ wss 3323   ~Pcpw 3855   {csn 3872   {cpr 3874   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   |` cres 4837   "cima 4838   Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   ^m cmap 7206   Fincfn 7302   0cc0 9274   1c1 9275  𝟭cind 26436

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-map 7208  df-ind 26437

This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  26724