Theorem indf1ofs 28840

Description: The bijection between finite subsets and the indicator functions with finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf1ofs	|- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )

Distinct variable group:   f, O

Allowed substitution hint:   V( f)

Proof of Theorem indf1ofs

Dummy variables a g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indf1o 28838	. . . 4 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
2		f1of1 5811	. . . 4 |- ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
3	1, 2	syl 17	. . 3 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
4		inss1 3651	. . 3 |- ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O
5		f1ores 5826	. . 3 |- ( ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O ) -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 667	. 2 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) )
7		resres 5116	. . . 4 |- ( ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) |` Fin ) = ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) )
8		f1ofn 5813	. . . . . 6 |- ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) -> (𝟭 ` O ) Fn ~P O )
9		fnresdm 5683	. . . . . 6 |- ( (𝟭 ` O ) Fn ~P O -> ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) = (𝟭 ` O ) )
10	1, 8, 9	3syl 18	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) = (𝟭 ` O ) )
11	10	reseq1d 5103	. . . 4 |- ( O e. V -> ( ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) |` Fin ) = ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) )
12	7, 11	syl5eqr 2498	. . 3 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) = ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) )
13		eqidd 2451	. . 3 |- ( O e. V -> ( ~P O i^i Fin ) = ( ~P O i^i Fin ) )
14		simpll 759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> O e. V )
15		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. ( ~P O i^i Fin ) )
16	4, 15	sseldi 3429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. ~P O )
17	16	elpwid 3960	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a C_ O )
18		indf 28830	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a C_ O ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
19	17, 18	syldan 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
20	19	adantr 467	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
21		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
22	21	feq1d 5712	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
23	20, 22	mpbid 214	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> g : O --> { 0 , 1 } )
24		prex 4641	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } e. _V
25		elmapg 7482	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ O e. V ) -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
26	24, 25	mpan 675	. . . . . . . . . . 11 |- ( O e. V -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
27	26	biimpar 488	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) )
28	14, 23, 27	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) )
29	21	cnveqd 5009	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) = `' g )
30	29	imaeq1d 5166	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = ( `' g " { 1 } ) )
31		indpi1 28836	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a C_ O ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = a )
32	17, 31	syldan 473	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = a )
33		inss2 3652	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P O i^i Fin ) C_ Fin
34	33, 15	sseldi 3429	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. Fin )
35	32, 34	eqeltrd 2528	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) e. Fin )
36	35	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) e. Fin )
37	30, 36	eqeltrrd 2529	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' g " { 1 } ) e. Fin )
38	28, 37	jca 535	. . . . . . . 8 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
39	38	ex 436	. . . . . . 7 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
40	39	rexlimdva 2878	. . . . . 6 |- ( O e. V -> ( E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
41		cnvimass 5187	. . . . . . . . . 10 |- ( `' g " { 1 } ) C_ dom g
42	26	biimpa 487	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> g : O --> { 0 , 1 } )
43		fdm 5731	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : O --> { 0 , 1 } -> dom g = O )
44	42, 43	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> dom g = O )
45	44	adantrr 722	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> dom g = O )
46	41, 45	syl5sseq 3479	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) C_ O )
47		simprr 765	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) e. Fin )
48		elfpw 7873	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) <-> ( ( `' g " { 1 } ) C_ O /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
49	46, 47, 48	sylanbrc 669	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) )
50		indpreima 28839	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> g = ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) )
51	50	eqcomd 2456	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
52	42, 51	syldan 473	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
53	52	adantrr 722	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
54		fveq2 5863	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( `' g " { 1 } ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) = ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) )
55	54	eqeq1d 2452	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( `' g " { 1 } ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g <-> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g ) )
56	55	rspcev 3149	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
57	49, 53, 56	syl2anc 666	. . . . . . 7 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
58	57	ex 436	. . . . . 6 |- ( O e. V -> ( ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
59	40, 58	impbid 194	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
60	1, 8	syl 17	. . . . . 6 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) Fn ~P O )
61		fvelimab 5919	. . . . . 6 |- ( ( (𝟭 ` O ) Fn ~P O /\ ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O ) -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
62	60, 4, 61	sylancl 667	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
63		cnveq 5007	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> `' f = `' g )
64	63	imaeq1d 5166	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( `' f " { 1 } ) = ( `' g " { 1 } ) )
65	64	eleq1d 2512	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( ( `' f " { 1 } ) e. Fin <-> ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
66	65	elrab 3195	. . . . . 6 |- ( g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
67	66	a1i 11	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
68	59, 62, 67	3bitr4d 289	. . . 4 |- ( O e. V -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } ) )
69	68	eqrdv 2448	. . 3 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) = { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )
70	12, 13, 69	f1oeq123d 5809	. 2 |- ( O e. V -> ( ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } ) )
71	6, 70	mpbid 214	1 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   E.wrex 2737   {crab 2740   _Vcvv 3044   i^i cin 3402   C_ wss 3403   ~Pcpw 3950   {csn 3967   {cpr 3969   `'ccnv 4832   dom cdm 4833   |` cres 4835   "cima 4836   Fn wfn 5576   -->wf 5577   -1-1->wf1 5578   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6288   ^m cmap 7469   Fincfn 7566   0cc0 9536   1c1 9537  𝟭cind 28825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-op 3974  df-uni 4198  df-iun 4279  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-id 4748  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-map 7471  df-ind 28826

This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  29198