Theorem indf1ofs 28200

Description: The bijection between finite subsets and the indicator functions with finite support. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Aug-2017.)

Assertion

Ref	Expression
indf1ofs	|- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )

Distinct variable group:   f, O

Allowed substitution hint:   V( f)

Proof of Theorem indf1ofs

Dummy variables a g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		indf1o 28198	. . . 4 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
2		f1of1 5821	. . . 4 |- ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
3	1, 2	syl 16	. . 3 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) )
4		inss1 3714	. . 3 |- ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O
5		f1ores 5836	. . 3 |- ( ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-> ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O ) -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) )
6	3, 4, 5	sylancl 662	. 2 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) )
7		resres 5296	. . . 4 |- ( ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) |` Fin ) = ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) )
8		f1ofn 5823	. . . . . 6 |- ( (𝟭 ` O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 , 1 } ^m O ) -> (𝟭 ` O ) Fn ~P O )
9		fnresdm 5696	. . . . . 6 |- ( (𝟭 ` O ) Fn ~P O -> ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) = (𝟭 ` O ) )
10	1, 8, 9	3syl 20	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) = (𝟭 ` O ) )
11	10	reseq1d 5282	. . . 4 |- ( O e. V -> ( ( (𝟭 ` O ) |` ~P O ) |` Fin ) = ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) )
12	7, 11	syl5eqr 2512	. . 3 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) = ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) )
13		eqidd 2458	. . 3 |- ( O e. V -> ( ~P O i^i Fin ) = ( ~P O i^i Fin ) )
14		simpll 753	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> O e. V )
15		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. ( ~P O i^i Fin ) )
16	4, 15	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. ~P O )
17	16	elpwid 4025	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a C_ O )
18		indf 28190	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a C_ O ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
19	17, 18	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
20	19	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } )
21		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
22	21	feq1d 5723	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) : O --> { 0 , 1 } <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
23	20, 22	mpbid 210	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> g : O --> { 0 , 1 } )
24		prex 4698	. . . . . . . . . . . 12 |- { 0 , 1 } e. _V
25		elmapg 7451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( { 0 , 1 } e. _V /\ O e. V ) -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
26	24, 25	mpan 670	. . . . . . . . . . 11 |- ( O e. V -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) <-> g : O --> { 0 , 1 } ) )
27	26	biimpar 485	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) )
28	14, 23, 27	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) )
29	21	cnveqd 5188	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) = `' g )
30	29	imaeq1d 5346	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = ( `' g " { 1 } ) )
31		indpi1 28196	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( O e. V /\ a C_ O ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = a )
32	17, 31	syldan 470	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) = a )
33		inss2 3715	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ~P O i^i Fin ) C_ Fin
34	33, 15	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> a e. Fin )
35	32, 34	eqeltrd 2545	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) e. Fin )
36	35	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' ( (𝟭 ` O ) ` a ) " { 1 } ) e. Fin )
37	30, 36	eqeltrrd 2546	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( `' g " { 1 } ) e. Fin )
38	28, 37	jca 532	. . . . . . . 8 |- ( ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
39	38	ex 434	. . . . . . 7 |- ( ( O e. V /\ a e. ( ~P O i^i Fin ) ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
40	39	rexlimdva 2949	. . . . . 6 |- ( O e. V -> ( E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g -> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
41		cnvimass 5367	. . . . . . . . . 10 |- ( `' g " { 1 } ) C_ dom g
42	26	biimpa 484	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> g : O --> { 0 , 1 } )
43		fdm 5741	. . . . . . . . . . . 12 |- ( g : O --> { 0 , 1 } -> dom g = O )
44	42, 43	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> dom g = O )
45	44	adantrr 716	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> dom g = O )
46	41, 45	syl5sseq 3547	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) C_ O )
47		simprr 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) e. Fin )
48		elfpw 7840	. . . . . . . . 9 |- ( ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) <-> ( ( `' g " { 1 } ) C_ O /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
49	46, 47, 48	sylanbrc 664	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) )
50		indpreima 28199	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> g = ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) )
51	50	eqcomd 2465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( O e. V /\ g : O --> { 0 , 1 } ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
52	42, 51	syldan 470	. . . . . . . . 9 |- ( ( O e. V /\ g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
53	52	adantrr 716	. . . . . . . 8 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g )
54		fveq2 5872	. . . . . . . . . 10 |- ( a = ( `' g " { 1 } ) -> ( (𝟭 ` O ) ` a ) = ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) )
55	54	eqeq1d 2459	. . . . . . . . 9 |- ( a = ( `' g " { 1 } ) -> ( ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g <-> ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g ) )
56	55	rspcev 3210	. . . . . . . 8 |- ( ( ( `' g " { 1 } ) e. ( ~P O i^i Fin ) /\ ( (𝟭 ` O ) ` ( `' g " { 1 } ) ) = g ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
57	49, 53, 56	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( O e. V /\ ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g )
58	57	ex 434	. . . . . 6 |- ( O e. V -> ( ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) -> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
59	40, 58	impbid 191	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
60	1, 8	syl 16	. . . . . 6 |- ( O e. V -> (𝟭 ` O ) Fn ~P O )
61		fvelimab 5929	. . . . . 6 |- ( ( (𝟭 ` O ) Fn ~P O /\ ( ~P O i^i Fin ) C_ ~P O ) -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
62	60, 4, 61	sylancl 662	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> E. a e. ( ~P O i^i Fin ) ( (𝟭 ` O ) ` a ) = g ) )
63		cnveq 5186	. . . . . . . . 9 |- ( f = g -> `' f = `' g )
64	63	imaeq1d 5346	. . . . . . . 8 |- ( f = g -> ( `' f " { 1 } ) = ( `' g " { 1 } ) )
65	64	eleq1d 2526	. . . . . . 7 |- ( f = g -> ( ( `' f " { 1 } ) e. Fin <-> ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
66	65	elrab 3257	. . . . . 6 |- ( g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) )
67	66	a1i 11	. . . . 5 |- ( O e. V -> ( g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } <-> ( g e. ( { 0 , 1 } ^m O ) /\ ( `' g " { 1 } ) e. Fin ) ) )
68	59, 62, 67	3bitr4d 285	. . . 4 |- ( O e. V -> ( g e. ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> g e. { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } ) )
69	68	eqrdv 2454	. . 3 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) = { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )
70	12, 13, 69	f1oeq123d 5819	. 2 |- ( O e. V -> ( ( (𝟭 ` O ) |` ( ~P O i^i Fin ) ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> ( (𝟭 ` O ) " ( ~P O i^i Fin ) ) <-> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } ) )
71	6, 70	mpbid 210	1 |- ( O e. V -> ( (𝟭 ` O ) |` Fin ) : ( ~P O i^i Fin ) -1-1-onto-> { f e. ( { 0 , 1 } ^m O ) | ( `' f " { 1 } ) e. Fin } )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   i^i cin 3470   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   {csn 4032   {cpr 4034   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   |` cres 5010   "cima 5011   Fn wfn 5589   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   ^m cmap 7438   Fincfn 7535   0cc0 9509   1c1 9510  𝟭cind 28185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7440  df-ind 28186

This theorem is referenced by:  eulerpartgbij  28508