Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indf1o Structured version   Unicode version

Theorem indf1o 27869
Description: The bijection between a power set and the set of indicator functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indf1o  |-  ( O  e.  V  ->  (𝟭 `  O ) : ~P O
-1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) )

Proof of Theorem indf1o
Dummy variables  x  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  V )
2 0red 9609 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  0  e.  RR )
3 1red 9623 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  1  e.  RR )
4 0ne1 10615 . . . 4  |-  0  =/=  1
54a1i 11 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  0  =/=  1 )
6 eqid 2467 . . 3  |-  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )
71, 2, 3, 5, 6pw2f1o 7634 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  (
a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) )
8 indv 27858 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  (𝟭 `  O )  =  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) )
9 f1oeq1 5813 . . 3  |-  ( (𝟭 `  O )  =  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )  ->  ( (𝟭 `  O
) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  <-> 
( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) ) )
108, 9syl 16 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  (
(𝟭 `  O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O
)  <->  ( a  e. 
~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) : ~P O
-1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) ) )
117, 10mpbird 232 1  |-  ( O  e.  V  ->  (𝟭 `  O ) : ~P O
-1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   ifcif 3945   ~Pcpw 4016   {cpr 4035    |-> cmpt 4511   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    ^m cmap 7432   RRcr 9503   0cc0 9504   1c1 9505  𝟭cind 27856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-op 4040  df-uni 4252  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-id 4801  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-map 7434  df-ind 27857
This theorem is referenced by:  indf1ofs  27871  eulerpartgbij  28143
  Copyright terms: Public domain W3C validator