Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indf1o Structured version   Unicode version

Theorem indf1o 26492
Description: The bijection between a power set and the set of indicator functions. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indf1o  |-  ( O  e.  V  ->  (𝟭 `  O ) : ~P O
-1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) )

Proof of Theorem indf1o
Dummy variables  x  a are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 id 22 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  O  e.  V )
2 0re 9398 . . . 4  |-  0  e.  RR
32a1i 11 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  0  e.  RR )
4 1re 9397 . . . 4  |-  1  e.  RR
54a1i 11 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  1  e.  RR )
6 0ne1 10401 . . . 4  |-  0  =/=  1
76a1i 11 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  0  =/=  1 )
8 eqid 2443 . . 3  |-  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )  =  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )
91, 3, 5, 7, 8pw2f1o 7428 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  (
a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) )
10 indv 26481 . . 3  |-  ( O  e.  V  ->  (𝟭 `  O )  =  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) )
11 f1oeq1 5644 . . 3  |-  ( (𝟭 `  O )  =  ( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) )  ->  ( (𝟭 `  O
) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O )  <-> 
( a  e.  ~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) ) )
1210, 11syl 16 . 2  |-  ( O  e.  V  ->  (
(𝟭 `  O ) : ~P O -1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O
)  <->  ( a  e. 
~P O  |->  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  a ,  1 ,  0 ) ) ) : ~P O
-1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) ) )
139, 12mpbird 232 1  |-  ( O  e.  V  ->  (𝟭 `  O ) : ~P O
-1-1-onto-> ( { 0 ,  1 }  ^m  O ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2618   ifcif 3803   ~Pcpw 3872   {cpr 3891    e. cmpt 4362   -1-1-onto->wf1o 5429   ` cfv 5430  (class class class)co 6103    ^m cmap 7226   RRcr 9293   0cc0 9294   1c1 9295  𝟭cind 26479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4415  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-map 7228  df-ind 26480
This theorem is referenced by:  indf1ofs  26494  eulerpartgbij  26767
  Copyright terms: Public domain W3C validator