Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indf Structured version   Unicode version

Theorem indf 28007
Description: An indicator function as a function with domain and codomain. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
indf  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A ) : O --> { 0 ,  1 } )

Proof of Theorem indf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 indval 28005 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A )  =  ( x  e.  O  |->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 ) ) )
2 1re 9598 . . . . 5  |-  1  e.  RR
3 0re 9599 . . . . 5  |-  0  e.  RR
4 ifpr 4062 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  if ( x  e.  A ,  1 ,  0 )  e.  {
1 ,  0 } )
52, 3, 4mp2an 672 . . . 4  |-  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  { 1 ,  0 }
6 prcom 4093 . . . 4  |-  { 1 ,  0 }  =  { 0 ,  1 }
75, 6eleqtri 2529 . . 3  |-  if ( x  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 }
87a1i 11 . 2  |-  ( ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  /\  x  e.  O
)  ->  if (
x  e.  A , 
1 ,  0 )  e.  { 0 ,  1 } )
91, 8fmpt3d 27474 1  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O )  -> 
( (𝟭 `  O ) `  A ) : O --> { 0 ,  1 } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    e. wcel 1804    C_ wss 3461   ifcif 3926   {cpr 4016   -->wf 5574   ` cfv 5578   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496  𝟭cind 28002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-ov 6284  df-ind 28003
This theorem is referenced by:  indpi1  28013  indsum  28014  indpreima  28016  indf1ofs  28017
  Copyright terms: Public domain W3C validator