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Theorem indexfi 7846
Description: If for every element of a finite indexing set  A there exists a corresponding element of another set  B, then there exists a finite subset of  B consisting only of those elements which are indexed by  A. Proven without the Axiom of Choice, unlike indexdom 30387. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
indexfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
Distinct variable groups:    x, c,
y, A    B, c, x, y    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    M( x, y, c)

Proof of Theorem indexfi
Dummy variables  f  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1708 . . . . . 6  |-  F/ z
ph
2 nfsbc1v 3347 . . . . . 6  |-  F/ y
[. z  /  y ]. ph
3 sbceq1a 3338 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<-> 
[. z  /  y ]. ph ) )
41, 2, 3cbvrex 3081 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  B  [. z  /  y ]. ph )
54ralbii 2888 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [. z  / 
y ]. ph )
6 dfsbcq 3329 . . . . 5  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  ( [. z  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  x )  /  y ]. ph ) )
76ac6sfi 7782 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [. z  /  y ]. ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
85, 7sylan2b 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
9 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A  e.  Fin )
10 ffn 5737 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
1110ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  f  Fn  A )
12 dffn4 5807 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  A  <->  f : A -onto-> ran  f )
1311, 12sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  f : A -onto-> ran  f )
14 fofi 7824 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f : A -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
159, 13, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
16 frn 5743 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
1716ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  ran  f  C_  B )
18 fnfvelrn 6029 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
1910, 18sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
20 rspesbca 3415 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ran  f  /\  [. ( f `  x )  /  y ]. ph )  ->  E. y  e.  ran  f ph )
2120ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  x )  e.  ran  f  -> 
( [. ( f `  x )  /  y ]. ph  ->  E. y  e.  ran  f ph )
)
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph  ->  E. y  e.  ran  f ph )
)
2322ralimdva 2865 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
( A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
)
2423imp 429 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
2524adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
26 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )  /\  w  e.  A
)  ->  w  e.  A )
27 simprr 757 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
28 nfv 1708 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w [. ( f `  x
)  /  y ]. ph
29 nfsbc1v 3347 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. w  /  x ]. [. ( f `  w )  /  y ]. ph
30 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
f `  x )  =  ( f `  w ) )
3130sbceq1d 3332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
32 sbceq1a 3338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( [. ( f `  w
)  /  y ]. ph  <->  [. w  /  x ]. [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
3331, 32bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. w  /  x ]. [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
3428, 29, 33cbvral 3080 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  [. (
f `  x )  /  y ]. ph  <->  A. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
3527, 34sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
3635r19.21bi 2826 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )  /\  w  e.  A
)  ->  [. w  /  x ]. [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
37 rspesbca 3415 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  A  /\  [. w  /  x ]. [. ( f `  w
)  /  y ]. ph )  ->  E. x  e.  A  [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
3826, 36, 37syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )  /\  w  e.  A
)  ->  E. x  e.  A  [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
3938ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. w  e.  A  E. x  e.  A  [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
40 dfsbcq 3329 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( f `  w )  ->  ( [. z  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  w )  /  y ]. ph ) )
4140rexbidv 2968 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( f `  w )  ->  ( E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph  <->  E. x  e.  A  [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
4241ralrn 6035 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  A  ->  ( A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph  <->  A. w  e.  A  E. x  e.  A  [. (
f `  w )  /  y ]. ph )
)
4311, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  ( A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph  <->  A. w  e.  A  E. x  e.  A  [. (
f `  w )  /  y ]. ph )
)
4439, 43mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  / 
y ]. ph )
45 nfv 1708 . . . . . 6  |-  F/ z E. x  e.  A  ph
46 nfcv 2619 . . . . . . 7  |-  F/_ y A
4746, 2nfrex 2920 . . . . . 6  |-  F/ y E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph
483rexbidv 2968 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph )
)
4945, 47, 48cbvral 3080 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph  <->  A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph )
5044, 49sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph )
51 sseq1 3520 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( c  C_  B  <->  ran  f  C_  B )
)
52 rexeq 3055 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( E. y  e.  c  ph  <->  E. y  e.  ran  f ph )
)
5352ralbidv 2896 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
)
54 raleq 3054 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph  <->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )
5551, 53, 543anbi123d 1299 . . . . 5  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ran  f  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) ) )
5655rspcev 3210 . . . 4  |-  ( ( ran  f  e.  Fin  /\  ( ran  f  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e. 
ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )
)
5715, 17, 25, 50, 56syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )
)
588, 57exlimddv 1727 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
59583adant2 1015 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   [.wsbc 3327    C_ wss 3471   ran crn 5009    Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594   Fincfn 7535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-om 6700  df-1o 7148  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-fin 7539
This theorem is referenced by:  filbcmb  30393
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