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Theorem indexfi 7824
Description: If for every element of a finite indexing set  A there exists a corresponding element of another set  B, then there exists a finite subset of  B consisting only of those elements which are indexed by  A. Proven without the Axiom of Choice, unlike indexdom 29826. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 12-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
indexfi  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
Distinct variable groups:    x, c,
y, A    B, c, x, y    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    M( x, y, c)

Proof of Theorem indexfi
Dummy variables  f  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ z
ph
2 nfsbc1v 3351 . . . . . 6  |-  F/ y
[. z  /  y ]. ph
3 sbceq1a 3342 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( ph 
<-> 
[. z  /  y ]. ph ) )
41, 2, 3cbvrex 3085 . . . . 5  |-  ( E. y  e.  B  ph  <->  E. z  e.  B  [. z  /  y ]. ph )
54ralbii 2895 . . . 4  |-  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [. z  / 
y ]. ph )
6 dfsbcq 3333 . . . . 5  |-  ( z  =  ( f `  x )  ->  ( [. z  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  x )  /  y ]. ph ) )
76ac6sfi 7760 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  B  [. z  /  y ]. ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
85, 7sylan2b 475 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
9 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A  e.  Fin )
10 ffn 5729 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
1110ad2antrl 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  f  Fn  A )
12 dffn4 5799 . . . . . 6  |-  ( f  Fn  A  <->  f : A -onto-> ran  f )
1311, 12sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  f : A -onto-> ran  f )
14 fofi 7802 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  f : A -onto-> ran  f
)  ->  ran  f  e. 
Fin )
159, 13, 14syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  ran  f  e.  Fin )
16 frn 5735 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
1716ad2antrl 727 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  ran  f  C_  B )
18 fnfvelrn 6016 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f  Fn  A  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
1910, 18sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
20 rspesbca 3423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ran  f  /\  [. ( f `  x )  /  y ]. ph )  ->  E. y  e.  ran  f ph )
2120ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ( f `  x )  e.  ran  f  -> 
( [. ( f `  x )  /  y ]. ph  ->  E. y  e.  ran  f ph )
)
2219, 21syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph  ->  E. y  e.  ran  f ph )
)
2322ralimdva 2872 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
( A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
)
2423imp 429 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
2524adantl 466 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
26 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )  /\  w  e.  A
)  ->  w  e.  A )
27 simprr 756 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
28 nfv 1683 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ w [. ( f `  x
)  /  y ]. ph
29 nfsbc1v 3351 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ x [. w  /  x ]. [. ( f `  w )  /  y ]. ph
30 fveq2 5864 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  w  ->  (
f `  x )  =  ( f `  w ) )
31 dfsbcq 3333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f `  x )  =  ( f `  w )  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
33 sbceq1a 3342 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  w  ->  ( [. ( f `  w
)  /  y ]. ph  <->  [. w  /  x ]. [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
3432, 33bitrd 253 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  w  ->  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph  <->  [. w  /  x ]. [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
3528, 29, 34cbvral 3084 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. x  e.  A  [. (
f `  x )  /  y ]. ph  <->  A. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
3627, 35sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. w  e.  A  [. w  /  x ]. [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
3736r19.21bi 2833 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )  /\  w  e.  A
)  ->  [. w  /  x ]. [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
38 rspesbca 3423 . . . . . . . 8  |-  ( ( w  e.  A  /\  [. w  /  x ]. [. ( f `  w
)  /  y ]. ph )  ->  E. x  e.  A  [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
3926, 37, 38syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph ) )  /\  w  e.  A
)  ->  E. x  e.  A  [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
4039ralrimiva 2878 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. w  e.  A  E. x  e.  A  [. ( f `
 w )  / 
y ]. ph )
41 dfsbcq 3333 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( f `  w )  ->  ( [. z  /  y ]. ph  <->  [. ( f `  w )  /  y ]. ph ) )
4241rexbidv 2973 . . . . . . . 8  |-  ( z  =  ( f `  w )  ->  ( E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph  <->  E. x  e.  A  [. ( f `  w
)  /  y ]. ph ) )
4342ralrn 6022 . . . . . . 7  |-  ( f  Fn  A  ->  ( A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph  <->  A. w  e.  A  E. x  e.  A  [. (
f `  w )  /  y ]. ph )
)
4411, 43syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  ( A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph  <->  A. w  e.  A  E. x  e.  A  [. (
f `  w )  /  y ]. ph )
)
4540, 44mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  / 
y ]. ph )
46 nfv 1683 . . . . . 6  |-  F/ z E. x  e.  A  ph
47 nfcv 2629 . . . . . . 7  |-  F/_ y A
4847, 2nfrex 2927 . . . . . 6  |-  F/ y E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph
493rexbidv 2973 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  ( E. x  e.  A  ph  <->  E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph )
)
5046, 48, 49cbvral 3084 . . . . 5  |-  ( A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph  <->  A. z  e.  ran  f E. x  e.  A  [. z  /  y ]. ph )
5145, 50sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph )
52 sseq1 3525 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( c  C_  B  <->  ran  f  C_  B )
)
53 rexeq 3059 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( E. y  e.  c  ph  <->  E. y  e.  ran  f ph )
)
5453ralbidv 2903 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
)
55 raleq 3058 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph  <->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )
5652, 54, 553anbi123d 1299 . . . . 5  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )  <->  ( ran  f  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) ) )
5756rspcev 3214 . . . 4  |-  ( ( ran  f  e.  Fin  /\  ( ran  f  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e. 
ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )
)
5815, 17, 25, 51, 57syl13anc 1230 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\ 
A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  /\  ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )
)
598, 58exlimddv 1702 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
60593adant2 1015 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c  e.  Fin  ( c  C_  B  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   [.wsbc 3331    C_ wss 3476   ran crn 5000    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586   Fincfn 7513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-om 6679  df-1o 7127  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-fin 7517
This theorem is referenced by:  filbcmb  29832
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