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Theorem indexdom 28628
Description: If for every element of an indexing set  A there exists a corresponding element of another set  B, then there exists a subset of  B consisting only of those elements which are indexed by  A, and which is dominated by the set  A. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
indexdom  |-  ( ( A  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
Distinct variable groups:    A, c, x, y    B, c, x, y    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    M( x, y, c)

Proof of Theorem indexdom
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfsbc1v 3206 . . 3  |-  F/ y
[. ( f `  x )  /  y ]. ph
2 sbceq1a 3197 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( f `  x )  /  y ]. ph ) )
31, 2ac6gf 28626 . 2  |-  ( ( A  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
4 fdm 5563 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
5 vex 2975 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
65dmex 6511 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
74, 6syl6eqelr 2532 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
8 ffn 5559 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
9 fnrndomg 8702 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  (
f  Fn  A  ->  ran  f  ~<_  A )
)
107, 8, 9sylc 60 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  ~<_  A )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ran  f  ~<_  A )
12 frn 5565 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ran  f  C_  B )
14 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ x  f : A --> B
15 nfra1 2766 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph
1614, 15nfan 1861 . . . . 5  |-  F/ x
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
17 ffun 5561 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A --> B  ->  Fun  f )
1817adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  Fun  f )
194eleq2d 2510 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A --> B  -> 
( x  e.  dom  f 
<->  x  e.  A ) )
2019biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  f
)
21 fvelrn 5839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  f  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
2218, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
2322adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
24 rsp 2776 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  [. (
f `  x )  /  y ]. ph  ->  ( x  e.  A  ->  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
2524imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph 
/\  x  e.  A
)  ->  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
2625adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )  /\  x  e.  A )  ->  [. ( f `  x )  /  y ]. ph )
27 rspesbca 3278 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ran  f  /\  [. ( f `  x )  /  y ]. ph )  ->  E. y  e.  ran  f ph )
2823, 26, 27syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  ran  f ph )
2928ex 434 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  ran  f ph )
)
3016, 29ralrimi 2797 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
31 nfv 1673 . . . . . 6  |-  F/ y  f : A --> B
32 nfcv 2579 . . . . . . 7  |-  F/_ y A
3332, 1nfral 2769 . . . . . 6  |-  F/ y A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph
3431, 33nfan 1861 . . . . 5  |-  F/ y ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
35 fvelrnb 5739 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  A  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  y ) )
368, 35syl 16 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  -> 
( y  e.  ran  f 
<->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  y ) )
3736adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  y ) )
3824adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( x  e.  A  ->  [. (
f `  x )  /  y ]. ph )
)
392eqcoms 2446 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  ( ph 
<-> 
[. ( f `  x )  /  y ]. ph ) )
4039biimprcd 225 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph 
->  ( ( f `  x )  =  y  ->  ph ) )
4138, 40syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( f `  x )  =  y  ->  ph )
) )
4216, 41reximdai 2824 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( E. x  e.  A  (
f `  x )  =  y  ->  E. x  e.  A  ph ) )
4337, 42sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( y  e.  ran  f  ->  E. x  e.  A  ph ) )
4434, 43ralrimi 2797 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph )
455rnex 6512 . . . . 5  |-  ran  f  e.  _V
46 breq1 4295 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( c  ~<_  A  <->  ran  f  ~<_  A ) )
47 sseq1 3377 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( c  C_  B  <->  ran  f  C_  B )
)
4846, 47anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B
)  <->  ( ran  f  ~<_  A  /\  ran  f  C_  B ) ) )
49 rexeq 2918 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( E. y  e.  c  ph  <->  E. y  e.  ran  f ph )
)
5049ralbidv 2735 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
)
51 raleq 2917 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph  <->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )
5250, 51anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) ) )
5348, 52anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )  <-> 
( ( ran  f  ~<_  A  /\  ran  f  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) ) ) )
5445, 53spcev 3064 . . . 4  |-  ( ( ( ran  f  ~<_  A  /\  ran  f  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
5511, 13, 30, 44, 54syl22anc 1219 . . 3  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  E. c
( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B
)  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\ 
A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
5655exlimiv 1688 . 2  |-  ( E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. (
f `  x )  /  y ]. ph )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
573, 56syl 16 1  |-  ( ( A  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   _Vcvv 2972   [.wsbc 3186    C_ wss 3328   class class class wbr 4292   dom cdm 4840   ran crn 4841   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   -->wf 5414   ` cfv 5418    ~<_ cdom 7308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-reg 7807  ax-inf2 7847  ax-ac2 8632
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-se 4680  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-isom 5427  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-r1 7971  df-rank 7972  df-card 8109  df-acn 8112  df-ac 8286
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