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Theorem indexdom 30200
Description: If for every element of an indexing set  A there exists a corresponding element of another set  B, then there exists a subset of  B consisting only of those elements which are indexed by  A, and which is dominated by the set  A. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
indexdom  |-  ( ( A  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
Distinct variable groups:    A, c, x, y    B, c, x, y    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    M( x, y, c)

Proof of Theorem indexdom
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfsbc1v 3333 . . 3  |-  F/ y
[. ( f `  x )  /  y ]. ph
2 sbceq1a 3324 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( f `  x )  /  y ]. ph ) )
31, 2ac6gf 30198 . 2  |-  ( ( A  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
4 fdm 5725 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
5 vex 3098 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
65dmex 6718 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
74, 6syl6eqelr 2540 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
8 ffn 5721 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
9 fnrndomg 8916 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  (
f  Fn  A  ->  ran  f  ~<_  A )
)
107, 8, 9sylc 60 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  ~<_  A )
1110adantr 465 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ran  f  ~<_  A )
12 frn 5727 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
1312adantr 465 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ran  f  C_  B )
14 nfv 1694 . . . . . 6  |-  F/ x  f : A --> B
15 nfra1 2824 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph
1614, 15nfan 1914 . . . . 5  |-  F/ x
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
17 ffun 5723 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A --> B  ->  Fun  f )
1817adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  Fun  f )
194eleq2d 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A --> B  -> 
( x  e.  dom  f 
<->  x  e.  A ) )
2019biimpar 485 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  f
)
21 fvelrn 6009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  f  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
2218, 20, 21syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
2322adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
24 rspa 2810 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph 
/\  x  e.  A
)  ->  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
2524adantll 713 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )  /\  x  e.  A )  ->  [. ( f `  x )  /  y ]. ph )
26 rspesbca 3405 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ran  f  /\  [. ( f `  x )  /  y ]. ph )  ->  E. y  e.  ran  f ph )
2723, 25, 26syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  ran  f ph )
2827ex 434 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  ran  f ph )
)
2916, 28ralrimi 2843 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
30 nfv 1694 . . . . . 6  |-  F/ y  f : A --> B
31 nfcv 2605 . . . . . . 7  |-  F/_ y A
3231, 1nfral 2829 . . . . . 6  |-  F/ y A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph
3330, 32nfan 1914 . . . . 5  |-  F/ y ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
34 fvelrnb 5905 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  A  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  y ) )
358, 34syl 16 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  -> 
( y  e.  ran  f 
<->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  y ) )
3635adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  y ) )
37 rsp 2809 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  [. (
f `  x )  /  y ]. ph  ->  ( x  e.  A  ->  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
3837adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( x  e.  A  ->  [. (
f `  x )  /  y ]. ph )
)
392eqcoms 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  ( ph 
<-> 
[. ( f `  x )  /  y ]. ph ) )
4039biimprcd 225 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph 
->  ( ( f `  x )  =  y  ->  ph ) )
4138, 40syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( f `  x )  =  y  ->  ph )
) )
4216, 41reximdai 2912 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( E. x  e.  A  (
f `  x )  =  y  ->  E. x  e.  A  ph ) )
4336, 42sylbid 215 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( y  e.  ran  f  ->  E. x  e.  A  ph ) )
4433, 43ralrimi 2843 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph )
455rnex 6719 . . . . 5  |-  ran  f  e.  _V
46 breq1 4440 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( c  ~<_  A  <->  ran  f  ~<_  A ) )
47 sseq1 3510 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( c  C_  B  <->  ran  f  C_  B )
)
4846, 47anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B
)  <->  ( ran  f  ~<_  A  /\  ran  f  C_  B ) ) )
49 rexeq 3041 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( E. y  e.  c  ph  <->  E. y  e.  ran  f ph )
)
5049ralbidv 2882 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
)
51 raleq 3040 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph  <->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )
5250, 51anbi12d 710 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) ) )
5348, 52anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )  <-> 
( ( ran  f  ~<_  A  /\  ran  f  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) ) ) )
5445, 53spcev 3187 . . . 4  |-  ( ( ( ran  f  ~<_  A  /\  ran  f  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
5511, 13, 29, 44, 54syl22anc 1230 . . 3  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  E. c
( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B
)  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\ 
A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
5655exlimiv 1709 . 2  |-  ( E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. (
f `  x )  /  y ]. ph )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
573, 56syl 16 1  |-  ( ( A  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1383   E.wex 1599    e. wcel 1804   A.wral 2793   E.wrex 2794   _Vcvv 3095   [.wsbc 3313    C_ wss 3461   class class class wbr 4437   dom cdm 4989   ran crn 4990   Fun wfun 5572    Fn wfn 5573   -->wf 5574   ` cfv 5578    ~<_ cdom 7516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-reg 8021  ax-inf2 8061  ax-ac2 8846
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-se 4829  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-isom 5587  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-r1 8185  df-rank 8186  df-card 8323  df-acn 8326  df-ac 8500
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