Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  indexdom Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem indexdom 32125
 Description: If for every element of an indexing set there exists a corresponding element of another set , then there exists a subset of consisting only of those elements which are indexed by , and which is dominated by the set . (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
indexdom
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)

Proof of Theorem indexdom
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfsbc1v 3275 . . 3
2 sbceq1a 3266 . . 3
31, 2ac6gf 32123 . 2
4 fdm 5745 . . . . . . 7
5 vex 3034 . . . . . . . 8
65dmex 6745 . . . . . . 7
74, 6syl6eqelr 2558 . . . . . 6
8 ffn 5739 . . . . . 6
9 fnrndomg 8981 . . . . . 6
107, 8, 9sylc 61 . . . . 5
1110adantr 472 . . . 4
12 frn 5747 . . . . 5
1312adantr 472 . . . 4
14 nfv 1769 . . . . . 6
15 nfra1 2785 . . . . . 6
1614, 15nfan 2031 . . . . 5
17 ffun 5742 . . . . . . . . . 10
1817adantr 472 . . . . . . . . 9
194eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10
2019biimpar 493 . . . . . . . . 9
21 fvelrn 6030 . . . . . . . . 9
2218, 20, 21syl2anc 673 . . . . . . . 8
2322adantlr 729 . . . . . . 7
24 rspa 2774 . . . . . . . 8
2524adantll 728 . . . . . . 7
26 rspesbca 3336 . . . . . . 7
2723, 25, 26syl2anc 673 . . . . . 6
2827ex 441 . . . . 5
2916, 28ralrimi 2800 . . . 4
30 nfv 1769 . . . . . 6
31 nfcv 2612 . . . . . . 7
3231, 1nfral 2789 . . . . . 6
3330, 32nfan 2031 . . . . 5
34 fvelrnb 5926 . . . . . . . 8
358, 34syl 17 . . . . . . 7
3635adantr 472 . . . . . 6
37 rsp 2773 . . . . . . . . 9
3837adantl 473 . . . . . . . 8
392eqcoms 2479 . . . . . . . . 9
4039biimprcd 233 . . . . . . . 8
4138, 40syl6 33 . . . . . . 7
4216, 41reximdai 2853 . . . . . 6
4336, 42sylbid 223 . . . . 5
4433, 43ralrimi 2800 . . . 4
455rnex 6746 . . . . 5
46 breq1 4398 . . . . . . 7
47 sseq1 3439 . . . . . . 7
4846, 47anbi12d 725 . . . . . 6
49 rexeq 2974 . . . . . . . 8
5049ralbidv 2829 . . . . . . 7
51 raleq 2973 . . . . . . 7
5250, 51anbi12d 725 . . . . . 6
5348, 52anbi12d 725 . . . . 5
5445, 53spcev 3127 . . . 4
5511, 13, 29, 44, 54syl22anc 1293 . . 3
5655exlimiv 1784 . 2
573, 56syl 17 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  cvv 3031  wsbc 3255   wss 3390   class class class wbr 4395   cdm 4839   crn 4840   wfun 5583   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589   cdom 7585 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-r1 8253  df-rank 8254  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator