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Theorem indexdom 32125
Description: If for every element of an indexing set  A there exists a corresponding element of another set  B, then there exists a subset of  B consisting only of those elements which are indexed by  A, and which is dominated by the set  A. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
indexdom  |-  ( ( A  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
Distinct variable groups:    A, c, x, y    B, c, x, y    ph, c
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    M( x, y, c)

Proof of Theorem indexdom
Dummy variable  f is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfsbc1v 3275 . . 3  |-  F/ y
[. ( f `  x )  /  y ]. ph
2 sbceq1a 3266 . . 3  |-  ( y  =  ( f `  x )  ->  ( ph 
<-> 
[. ( f `  x )  /  y ]. ph ) )
31, 2ac6gf 32123 . 2  |-  ( ( A  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
4 fdm 5745 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  ->  dom  f  =  A
)
5 vex 3034 . . . . . . . 8  |-  f  e. 
_V
65dmex 6745 . . . . . . 7  |-  dom  f  e.  _V
74, 6syl6eqelr 2558 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  ->  A  e.  _V )
8 ffn 5739 . . . . . 6  |-  ( f : A --> B  -> 
f  Fn  A )
9 fnrndomg 8981 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  (
f  Fn  A  ->  ran  f  ~<_  A )
)
107, 8, 9sylc 61 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  ~<_  A )
1110adantr 472 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ran  f  ~<_  A )
12 frn 5747 . . . . 5  |-  ( f : A --> B  ->  ran  f  C_  B )
1312adantr 472 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ran  f  C_  B )
14 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ x  f : A --> B
15 nfra1 2785 . . . . . 6  |-  F/ x A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph
1614, 15nfan 2031 . . . . 5  |-  F/ x
( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
17 ffun 5742 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A --> B  ->  Fun  f )
1817adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  Fun  f )
194eleq2d 2534 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : A --> B  -> 
( x  e.  dom  f 
<->  x  e.  A ) )
2019biimpar 493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  x  e.  dom  f
)
21 fvelrn 6030 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  f  /\  x  e.  dom  f )  -> 
( f `  x
)  e.  ran  f
)
2218, 20, 21syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
2322adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )  /\  x  e.  A )  ->  ( f `  x
)  e.  ran  f
)
24 rspa 2774 . . . . . . . 8  |-  ( ( A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph 
/\  x  e.  A
)  ->  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
2524adantll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )  /\  x  e.  A )  ->  [. ( f `  x )  /  y ]. ph )
26 rspesbca 3336 . . . . . . 7  |-  ( ( ( f `  x
)  e.  ran  f  /\  [. ( f `  x )  /  y ]. ph )  ->  E. y  e.  ran  f ph )
2723, 25, 26syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )  /\  x  e.  A )  ->  E. y  e.  ran  f ph )
2827ex 441 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( x  e.  A  ->  E. y  e.  ran  f ph )
)
2916, 28ralrimi 2800 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
30 nfv 1769 . . . . . 6  |-  F/ y  f : A --> B
31 nfcv 2612 . . . . . . 7  |-  F/_ y A
3231, 1nfral 2789 . . . . . 6  |-  F/ y A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph
3330, 32nfan 2031 . . . . 5  |-  F/ y ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `
 x )  / 
y ]. ph )
34 fvelrnb 5926 . . . . . . . 8  |-  ( f  Fn  A  ->  (
y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  y ) )
358, 34syl 17 . . . . . . 7  |-  ( f : A --> B  -> 
( y  e.  ran  f 
<->  E. x  e.  A  ( f `  x
)  =  y ) )
3635adantr 472 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( y  e.  ran  f  <->  E. x  e.  A  ( f `  x )  =  y ) )
37 rsp 2773 . . . . . . . . 9  |-  ( A. x  e.  A  [. (
f `  x )  /  y ]. ph  ->  ( x  e.  A  ->  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph ) )
3837adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( x  e.  A  ->  [. (
f `  x )  /  y ]. ph )
)
392eqcoms 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f `  x )  =  y  ->  ( ph 
<-> 
[. ( f `  x )  /  y ]. ph ) )
4039biimprcd 233 . . . . . . . 8  |-  ( [. ( f `  x
)  /  y ]. ph 
->  ( ( f `  x )  =  y  ->  ph ) )
4138, 40syl6 33 . . . . . . 7  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( x  e.  A  ->  ( ( f `  x )  =  y  ->  ph )
) )
4216, 41reximdai 2853 . . . . . 6  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( E. x  e.  A  (
f `  x )  =  y  ->  E. x  e.  A  ph ) )
4336, 42sylbid 223 . . . . 5  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  ( y  e.  ran  f  ->  E. x  e.  A  ph ) )
4433, 43ralrimi 2800 . . . 4  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph )
455rnex 6746 . . . . 5  |-  ran  f  e.  _V
46 breq1 4398 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( c  ~<_  A  <->  ran  f  ~<_  A ) )
47 sseq1 3439 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( c  C_  B  <->  ran  f  C_  B )
)
4846, 47anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B
)  <->  ( ran  f  ~<_  A  /\  ran  f  C_  B ) ) )
49 rexeq 2974 . . . . . . . 8  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( E. y  e.  c  ph  <->  E. y  e.  ran  f ph )
)
5049ralbidv 2829 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  <->  A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph )
)
51 raleq 2973 . . . . . . 7  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph  <->  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )
5250, 51anbi12d 725 . . . . . 6  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph )  <->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) ) )
5348, 52anbi12d 725 . . . . 5  |-  ( c  =  ran  f  -> 
( ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) )  <-> 
( ( ran  f  ~<_  A  /\  ran  f  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) ) ) )
5445, 53spcev 3127 . . . 4  |-  ( ( ( ran  f  ~<_  A  /\  ran  f  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  ran  f ph  /\  A. y  e.  ran  f E. x  e.  A  ph ) )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
5511, 13, 29, 44, 54syl22anc 1293 . . 3  |-  ( ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. ( f `  x
)  /  y ]. ph )  ->  E. c
( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B
)  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\ 
A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
5655exlimiv 1784 . 2  |-  ( E. f ( f : A --> B  /\  A. x  e.  A  [. (
f `  x )  /  y ]. ph )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
573, 56syl 17 1  |-  ( ( A  e.  M  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  ph )  ->  E. c ( ( c  ~<_  A  /\  c  C_  B )  /\  ( A. x  e.  A  E. y  e.  c  ph  /\  A. y  e.  c  E. x  e.  A  ph ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   [.wsbc 3255    C_ wss 3390   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   ran crn 4840   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589    ~<_ cdom 7585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-reg 8125  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-r1 8253  df-rank 8254  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565
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