Theorem indexa 15753

Description: If for every element of an indexing set A there exists a corresponding element of another set B, then there exists a subset of B consisting only of those elements which are indexed by A. Used to avoid the Axiom of Choice in situations where only the range of the choice function is needed.

Assertion

Ref	Expression
indexa	|- ((B e. M /\ A.x e. A E.y e. B ph) -> E.c(c C_ B /\ A.x e. A E.y e. c ph /\ A.y e. c E.x e. A ph))

Distinct variable groups:   x,A,y,c   x,B,y,c   ph,c

Proof of Theorem indexa

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 2637	. . . . 5 |- (c = {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} -> (c C_ B <-> {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} C_ B))
2		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (q e. c -> A.x q e. c)
3		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (w e. A -> A.x w e. A)
4		ax-17 1317	. . . . . . . . . 10 |- ([z / y]ph -> A.w[z / y]ph)
5	4	hbsb3 1575	. . . . . . . . 9 |- ([w / x][z / y]ph -> A.x[w / x][z / y]ph)
6	3, 5	hbrex 2149	. . . . . . . 8 |- (E.w e. A [w / x][z / y]ph -> A.xE.w e. A [w / x][z / y]ph)
7		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- (q e. B -> A.x q e. B)
8	6, 7	hbrab 2258	. . . . . . 7 |- (q e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} -> A.x q e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph})
9	2, 8	hbeq 1995	. . . . . 6 |- (c = {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} -> A.x c = {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph})
10		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (q e. c -> A.y q e. c)
11		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (w e. A -> A.y w e. A)
12		ax-17 1317	. . . . . . . . . . 11 |- (ph -> A.zph)
13	12	hbsb3 1575	. . . . . . . . . 10 |- ([z / y]ph -> A.y[z / y]ph)
14	13	hbsb 1723	. . . . . . . . 9 |- ([w / x][z / y]ph -> A.y[w / x][z / y]ph)
15	11, 14	hbrex 2149	. . . . . . . 8 |- (E.w e. A [w / x][z / y]ph -> A.yE.w e. A [w / x][z / y]ph)
16		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- (q e. B -> A.y q e. B)
17	15, 16	hbrab 2258	. . . . . . 7 |- (q e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} -> A.y q e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph})
18	10, 17	rexeqf 2264	. . . . . 6 |- (c = {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} -> (E.y e. c ph <-> E.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}ph))
19	9, 18	ralbid 2121	. . . . 5 |- (c = {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} -> (A.x e. A E.y e. c ph <-> A.x e. A E.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}ph))
20	10, 17	raleqf 2263	. . . . 5 |- (c = {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} -> (A.y e. c E.x e. A ph <-> A.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}E.x e. A ph))
21	1, 19, 20	3anbi123d 1168	. . . 4 |- (c = {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} -> ((c C_ B /\ A.x e. A E.y e. c ph /\ A.y e. c E.x e. A ph) <-> ({z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} C_ B /\ A.x e. A E.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}ph /\ A.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}E.x e. A ph)))
22	21	cla4egv 2365	. . 3 |- ({z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} e. _V -> (({z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} C_ B /\ A.x e. A E.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}ph /\ A.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}E.x e. A ph) -> E.c(c C_ B /\ A.x e. A E.y e. c ph /\ A.y e. c E.x e. A ph)))
23	22	imp 377	. 2 |- (({z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} e. _V /\ ({z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} C_ B /\ A.x e. A E.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}ph /\ A.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}E.x e. A ph)) -> E.c(c C_ B /\ A.x e. A E.y e. c ph /\ A.y e. c E.x e. A ph))
24		rabexg 3460	. 2 |- (B e. M -> {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} e. _V)
25		ssrab2 2692	. . . 4 |- {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} C_ B
26	25	a1i 8	. . 3 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} C_ B)
27		ax-17 1317	. . . . 5 |- (x e. A -> A.y x e. A)
28		hbre1 2150	. . . . 5 |- (E.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}ph -> A.yE.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}ph)
29		sbceq1a 2456	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (x = w -> (ph <-> [w / x]ph))
30	29	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (w = x -> (ph <-> [w / x]ph))
31	30	bicomd 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (w = x -> ([w / x]ph <-> ph))
32	31	rcla4ev 2381	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. A /\ ph) -> E.w e. A [w / x]ph)
33	32	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((ph /\ x e. A) -> E.w e. A [w / x]ph)
34	33	anim2i 362	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. B /\ (ph /\ x e. A)) -> (y e. B /\ E.w e. A [w / x]ph))
35	34	ancoms 484	. . . . . . . . . . 11 |- (((ph /\ x e. A) /\ y e. B) -> (y e. B /\ E.w e. A [w / x]ph))
36	35	anasss 488	. . . . . . . . . 10 |- ((ph /\ (x e. A /\ y e. B)) -> (y e. B /\ E.w e. A [w / x]ph))
37	36	ancoms 484	. . . . . . . . 9 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ ph) -> (y e. B /\ E.w e. A [w / x]ph))
38		ax-17 1317	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = y -> A.x z = y)
39		sbceq1a 2456	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (y = z -> (ph <-> [z / y]ph))
40	39	eqcoms 1887	. . . . . . . . . . . . 13 |- (z = y -> (ph <-> [z / y]ph))
41	40	bicomd 580	. . . . . . . . . . . 12 |- (z = y -> ([z / y]ph <-> ph))
42	38, 41	sbbid 1617	. . . . . . . . . . 11 |- (z = y -> ([w / x][z / y]ph <-> [w / x]ph))
43	42	rexbidv 2124	. . . . . . . . . 10 |- (z = y -> (E.w e. A [w / x][z / y]ph <-> E.w e. A [w / x]ph))
44	43	elrab 2414	. . . . . . . . 9 |- (y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} <-> (y e. B /\ E.w e. A [w / x]ph))
45	37, 44	sylibr 217	. . . . . . . 8 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ ph) -> y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph})
46		sbceq1a 2456	. . . . . . . . . . 11 |- (y = v -> (ph <-> [v / y]ph))
47	46	eqcoms 1887	. . . . . . . . . 10 |- (v = y -> (ph <-> [v / y]ph))
48	47	bicomd 580	. . . . . . . . 9 |- (v = y -> ([v / y]ph <-> ph))
49	48	rcla4ev 2381	. . . . . . . 8 |- ((y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} /\ ph) -> E.v e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}[v / y]ph)
50	45, 49	sylancom 531	. . . . . . 7 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ ph) -> E.v e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}[v / y]ph)
51		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- (q e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} -> A.v q e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph})
52		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (ph -> A.vph)
53	52	hbsb3 1575	. . . . . . . 8 |- ([v / y]ph -> A.y[v / y]ph)
54	51, 17, 53, 52, 48	cbvrexf 2277	. . . . . . 7 |- (E.v e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}[v / y]ph <-> E.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}ph)
55	50, 54	sylib 215	. . . . . 6 |- (((x e. A /\ y e. B) /\ ph) -> E.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}ph)
56	55	exp31 407	. . . . 5 |- (x e. A -> (y e. B -> (ph -> E.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}ph)))
57	27, 28, 56	r19.23ad 2213	. . . 4 |- (x e. A -> (E.y e. B ph -> E.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}ph))
58	57	ralimia 2166	. . 3 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> A.x e. A E.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}ph)
59		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (q e. y -> A.z q e. y)
60		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (q e. B -> A.z q e. B)
61		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (E.x e. A ph -> A.zE.x e. A ph)
62		ax-17 1317	. . . . . . . . . 10 |- (ph -> A.wph)
63	62	hbsb3 1575	. . . . . . . . 9 |- ([w / x]ph -> A.x[w / x]ph)
64	63, 62, 31	cbvrex 2279	. . . . . . . 8 |- (E.w e. A [w / x]ph <-> E.x e. A ph)
65	43, 64	syl6bb 595	. . . . . . 7 |- (z = y -> (E.w e. A [w / x][z / y]ph <-> E.x e. A ph))
66	59, 60, 61, 65	elrabf 2413	. . . . . 6 |- (y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} <-> (y e. B /\ E.x e. A ph))
67	66	simprbi 353	. . . . 5 |- (y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} -> E.x e. A ph)
68	67	rgen 2159	. . . 4 |- A.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}E.x e. A ph
69	68	a1i 8	. . 3 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> A.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}E.x e. A ph)
70	26, 58, 69	3jca 1050	. 2 |- (A.x e. A E.y e. B ph -> ({z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph} C_ B /\ A.x e. A E.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}ph /\ A.y e. {z e. B | E.w e. A [w / x][z / y]ph}E.x e. A ph))
71	23, 24, 70	syl2an 503	1 |- ((B e. M /\ A.x e. A E.y e. B ph) -> E.c(c C_ B /\ A.x e. A E.y e. c ph /\ A.y e. c E.x e. A ph))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  [wsbc 1534  A.wral 2105  E.wrex 2106  {crab 2108  _Vcvv 2292   C_ wss 2593

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-in 2603  df-ss 2605

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