Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ind0 Structured version   Unicode version

Theorem ind0 28249
Description: Value of the indicator function where it is  0. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
ind0  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  ( O  \  A
) )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  0 )

Proof of Theorem ind0
StepHypRef Expression
1 eldifi 3612 . . 3  |-  ( X  e.  ( O  \  A )  ->  X  e.  O )
2 indfval 28246 . . 3  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  if ( X  e.  A , 
1 ,  0 ) )
31, 2syl3an3 1261 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  ( O  \  A
) )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  if ( X  e.  A , 
1 ,  0 ) )
4 eldifn 3613 . . . 4  |-  ( X  e.  ( O  \  A )  ->  -.  X  e.  A )
543ad2ant3 1017 . . 3  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  ( O  \  A
) )  ->  -.  X  e.  A )
65iffalsed 3940 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  ( O  \  A
) )  ->  if ( X  e.  A ,  1 ,  0 )  =  0 )
73, 6eqtrd 2495 1  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  ( O  \  A
) )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823    \ cdif 3458    C_ wss 3461   ifcif 3929   ` cfv 5570   0cc0 9481   1c1 9482  𝟭cind 28240
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-ind 28241
This theorem is referenced by:  indsum  28252
  Copyright terms: Public domain W3C validator