Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ind0 Structured version   Unicode version

Theorem ind0 26622
Description: Value of the indicator function where it is  0. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
ind0  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  ( O  \  A
) )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  0 )

Proof of Theorem ind0
StepHypRef Expression
1 eldifi 3587 . . 3  |-  ( X  e.  ( O  \  A )  ->  X  e.  O )
2 indfval 26619 . . 3  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  O )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  if ( X  e.  A , 
1 ,  0 ) )
31, 2syl3an3 1254 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  ( O  \  A
) )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  if ( X  e.  A , 
1 ,  0 ) )
4 eldifn 3588 . . . 4  |-  ( X  e.  ( O  \  A )  ->  -.  X  e.  A )
543ad2ant3 1011 . . 3  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  ( O  \  A
) )  ->  -.  X  e.  A )
6 iffalse 3908 . . 3  |-  ( -.  X  e.  A  ->  if ( X  e.  A ,  1 ,  0 )  =  0 )
75, 6syl 16 . 2  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  ( O  \  A
) )  ->  if ( X  e.  A ,  1 ,  0 )  =  0 )
83, 7eqtrd 2495 1  |-  ( ( O  e.  V  /\  A  C_  O  /\  X  e.  ( O  \  A
) )  ->  (
( (𝟭 `  O ) `  A ) `  X
)  =  0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    \ cdif 3434    C_ wss 3437   ifcif 3900   ` cfv 5527   0cc0 9394   1c1 9395  𝟭cind 26613
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-ov 6204  df-ind 26614
This theorem is referenced by:  indsum  26625
  Copyright terms: Public domain W3C validator