Theorem incsequz2 15816

Description: An increasing sequence of natural numbers takes on indefinitely large values.

Assertion

Ref	Expression
incsequz2	|- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) /\ A e. NN) -> E.n e. NN A.k e. (ZZ>=` n)(F` k) e. (ZZ>=` A))

Distinct variable groups:   k,F,m,n   A,k,m,n

Proof of Theorem incsequz2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		incsequz 15815	. 2 |- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) /\ A e. NN) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A))
2		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (k = n -> (F` k) = (F` n))
3	2	adantl 424	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F:NN-->NN /\ n e. NN) /\ k = n) -> (F` k) = (F` n))
4		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` n) e. NN)
5		nnz 7362	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` n) e. NN -> (F` n) e. ZZ)
6		uzid 7596	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` n) e. ZZ -> (F` n) e. (ZZ>=` (F` n)))
7	4, 5, 6	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` n) e. (ZZ>=` (F` n)))
8	7	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F:NN-->NN /\ n e. NN) /\ k = n) -> (F` n) e. (ZZ>=` (F` n)))
9	3, 8	eqeltrd 1971	. . . . . . . . . . . 12 |- (((F:NN-->NN /\ n e. NN) /\ k = n) -> (F` k) e. (ZZ>=` (F` n)))
10	9	adantllr 433	. . . . . . . . . . 11 |- ((((F:NN-->NN /\ A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)) /\ n e. NN) /\ k = n) -> (F` k) e. (ZZ>=` (F` n)))
11		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (q = k -> (F` q) = (F` k))
12	11	breq2d 3350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (q = k -> ((F` n) < (F` q) <-> (F` n) < (F` k)))
13	12	rcla4cva 2379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A.q e. (ZZ>=` (n + 1))(F` n) < (F` q) /\ k e. (ZZ>=` (n + 1))) -> (F` n) < (F` k))
14		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (p = n -> (p + 1) = (n + 1))
15	14	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (p = n -> (ZZ>=` (p + 1)) = (ZZ>=` (n + 1)))
16		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (p = n -> (F` p) = (F` n))
17	16	breq1d 3348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (p = n -> ((F` p) < (F` q) <-> (F` n) < (F` q)))
18	15, 17	raleqbidv 2274	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (p = n -> (A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q) <-> A.q e. (ZZ>=` (n + 1))(F` n) < (F` q)))
19	18	rcla4cva 2379	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q) /\ n e. NN) -> A.q e. (ZZ>=` (n + 1))(F` n) < (F` q))
20	13, 19	sylan 497	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q) /\ n e. NN) /\ k e. (ZZ>=` (n + 1))) -> (F` n) < (F` k))
21	20	adantlll 432	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((F:NN-->NN /\ A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)) /\ n e. NN) /\ k e. (ZZ>=` (n + 1))) -> (F` n) < (F` k))
22	4, 5	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` n) e. ZZ)
23	22	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F:NN-->NN /\ n e. NN) /\ k e. (ZZ>=` (n + 1))) -> (F` n) e. ZZ)
24		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F:NN-->NN /\ k e. NN) -> (F` k) e. NN)
25		nnz 7362	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F` k) e. NN -> (F` k) e. ZZ)
26	24, 25	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F:NN-->NN /\ k e. NN) -> (F` k) e. ZZ)
27		uztrn 7597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((k e. (ZZ>=` (n + 1)) /\ (n + 1) e. (ZZ>=` 1)) -> k e. (ZZ>=` 1))
28	27	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((n + 1) e. (ZZ>=` 1) /\ k e. (ZZ>=` (n + 1))) -> k e. (ZZ>=` 1))
29		elnnuz 7609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (k e. NN <-> k e. (ZZ>=` 1))
30	28, 29	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((n + 1) e. (ZZ>=` 1) /\ k e. (ZZ>=` (n + 1))) -> k e. NN)
31		peano2nn 7118	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n e. NN -> (n + 1) e. NN)
32		elnnuz 7609	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((n + 1) e. NN <-> (n + 1) e. (ZZ>=` 1))
33	31, 32	sylib 215	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (n e. NN -> (n + 1) e. (ZZ>=` 1))
34	30, 33	sylan 497	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((n e. NN /\ k e. (ZZ>=` (n + 1))) -> k e. NN)
35	26, 34	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:NN-->NN /\ (n e. NN /\ k e. (ZZ>=` (n + 1)))) -> (F` k) e. ZZ)
36	35	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F:NN-->NN /\ n e. NN) /\ k e. (ZZ>=` (n + 1))) -> (F` k) e. ZZ)
37		ltle 6690	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (((F` n) e. RR /\ (F` k) e. RR) -> ((F` n) < (F` k) -> (F` n) <_ (F` k)))
38		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F` n) e. ZZ -> (F` n) e. RR)
39		zre 7348	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F` k) e. ZZ -> (F` k) e. RR)
40	37, 38, 39	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F` n) e. ZZ /\ (F` k) e. ZZ) -> ((F` n) < (F` k) -> (F` n) <_ (F` k)))
41		eluz 7595	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((F` n) e. ZZ /\ (F` k) e. ZZ) -> ((F` k) e. (ZZ>=` (F` n)) <-> (F` n) <_ (F` k)))
42	40, 41	sylibrd 221	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F` n) e. ZZ /\ (F` k) e. ZZ) -> ((F` n) < (F` k) -> (F` k) e. (ZZ>=` (F` n))))
43	23, 36, 42	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((F:NN-->NN /\ n e. NN) /\ k e. (ZZ>=` (n + 1))) -> ((F` n) < (F` k) -> (F` k) e. (ZZ>=` (F` n))))
44	43	adantllr 433	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((F:NN-->NN /\ A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)) /\ n e. NN) /\ k e. (ZZ>=` (n + 1))) -> ((F` n) < (F` k) -> (F` k) e. (ZZ>=` (F` n))))
45	21, 44	mpd 29	. . . . . . . . . . 11 |- ((((F:NN-->NN /\ A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)) /\ n e. NN) /\ k e. (ZZ>=` (n + 1))) -> (F` k) e. (ZZ>=` (F` n)))
46	10, 45	jaodan 471	. . . . . . . . . 10 |- ((((F:NN-->NN /\ A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)) /\ n e. NN) /\ (k = n \/ k e. (ZZ>=` (n + 1)))) -> (F` k) e. (ZZ>=` (F` n)))
47		uzp1 15785	. . . . . . . . . 10 |- (k e. (ZZ>=` n) -> (k = n \/ k e. (ZZ>=` (n + 1))))
48	46, 47	sylan2 500	. . . . . . . . 9 |- ((((F:NN-->NN /\ A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)) /\ n e. NN) /\ k e. (ZZ>=` n)) -> (F` k) e. (ZZ>=` (F` n)))
49		uztrn 7597	. . . . . . . . . 10 |- (((F` k) e. (ZZ>=` (F` n)) /\ (F` n) e. (ZZ>=` A)) -> (F` k) e. (ZZ>=` A))
50	49	ex 402	. . . . . . . . 9 |- ((F` k) e. (ZZ>=` (F` n)) -> ((F` n) e. (ZZ>=` A) -> (F` k) e. (ZZ>=` A)))
51	48, 50	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((((F:NN-->NN /\ A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)) /\ n e. NN) /\ k e. (ZZ>=` n)) -> ((F` n) e. (ZZ>=` A) -> (F` k) e. (ZZ>=` A)))
52	51	adantllr 433	. . . . . . 7 |- (((((F:NN-->NN /\ A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)) /\ A e. NN) /\ n e. NN) /\ k e. (ZZ>=` n)) -> ((F` n) e. (ZZ>=` A) -> (F` k) e. (ZZ>=` A)))
53	52	r19.21adva 2182	. . . . . 6 |- ((((F:NN-->NN /\ A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)) /\ A e. NN) /\ n e. NN) -> ((F` n) e. (ZZ>=` A) -> A.k e. (ZZ>=` n)(F` k) e. (ZZ>=` A)))
54	53	ex 402	. . . . 5 |- (((F:NN-->NN /\ A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)) /\ A e. NN) -> (n e. NN -> ((F` n) e. (ZZ>=` A) -> A.k e. (ZZ>=` n)(F` k) e. (ZZ>=` A))))
55		nnssre 7110	. . . . . . . . 9 |- NN C_ RR
56		ltso 6681	. . . . . . . . . 10 |- < Or RR
57		sopo 3605	. . . . . . . . . 10 |- ( < Or RR -> < Po RR)
58	56, 57	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- < Po RR
59		poss 3592	. . . . . . . . 9 |- (NN C_ RR -> ( < Po RR -> < Po NN))
60	55, 58, 59	mp2 54	. . . . . . . 8 |- < Po NN
61		seqpo 15814	. . . . . . . 8 |- (( < Po NN /\ F:NN-->NN) -> (A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) <-> A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)))
62	60, 61	mpan 759	. . . . . . 7 |- (F:NN-->NN -> (A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) <-> A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)))
63	62	biimpd 170	. . . . . 6 |- (F:NN-->NN -> (A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) -> A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)))
64	63	imdistani 491	. . . . 5 |- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> (F:NN-->NN /\ A.p e. NN A.q e. (ZZ>=` (p + 1))(F` p) < (F` q)))
65	54, 64	sylan 497	. . . 4 |- (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) /\ A e. NN) -> (n e. NN -> ((F` n) e. (ZZ>=` A) -> A.k e. (ZZ>=` n)(F` k) e. (ZZ>=` A))))
66	65	3impa 1062	. . 3 |- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) /\ A e. NN) -> (n e. NN -> ((F` n) e. (ZZ>=` A) -> A.k e. (ZZ>=` n)(F` k) e. (ZZ>=` A))))
67	66	reximdvai 2201	. 2 |- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) /\ A e. NN) -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A) -> E.n e. NN A.k e. (ZZ>=` n)(F` k) e. (ZZ>=` A)))
68	1, 67	mpd 29	1 |- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) /\ A e. NN) -> E.n e. NN A.k e. (ZZ>=` n)(F` k) e. (ZZ>=` A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  E.wrex 2106   C_ wss 2593   class class class wbr 3338   Po wpo 3589   Or wor 3590  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587

Copyright terms: Public domain