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Theorem incsequz2 32142
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) )
Distinct variable groups:    k, F, m, n    A, k, m, n

Proof of Theorem incsequz2
Dummy variables  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incsequz 32141 . 2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
2 nnssre 10635 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  RR
3 ltso 9732 . . . . . . . . 9  |-  <  Or  RR
4 sopo 4777 . . . . . . . . 9  |-  (  < 
Or  RR  ->  <  Po  RR )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  <  Po  RR
6 poss 4762 . . . . . . . 8  |-  ( NN  C_  RR  ->  (  <  Po  RR  ->  <  Po  NN ) )
72, 5, 6mp2 9 . . . . . . 7  |-  <  Po  NN
8 seqpo 32140 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Po  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) )  <->  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
) ) )
97, 8mpan 684 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) )  <->  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) ) )
109biimpd 212 . . . . 5  |-  ( F : NN --> NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) )  ->  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) ) )
1110imdistani 704 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  ( F : NN --> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
) ) )
12 uzp1 11216 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( k  =  n  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
1413adantl 473 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
15 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  NN )
1615nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ZZ )
17 uzid 11197 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  n )  e.  ZZ  ->  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
1918adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
2014, 19eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
2120adantllr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
22 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  n  ->  (
p  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
2322fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  n  ->  ( ZZ>=
`  ( p  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
24 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  n  ->  ( F `  p )  =  ( F `  n ) )
2524breq1d 4405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  n  ->  (
( F `  p
)  <  ( F `  q )  <->  ( F `  n )  <  ( F `  q )
) )
2623, 25raleqbidv 2987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  n  ->  ( A. q  e.  ( ZZ>=
`  ( p  + 
1 ) ) ( F `  p )  <  ( F `  q )  <->  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( F `  n
)  <  ( F `  q ) ) )
2726rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
)  /\  n  e.  NN )  ->  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( F `  n
)  <  ( F `  q ) )
28 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  k  ->  ( F `  q )  =  ( F `  k ) )
2928breq2d 4407 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  k  ->  (
( F `  n
)  <  ( F `  q )  <->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
) )
3029rspccva 3135 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. q  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( F `  n )  <  ( F `  q )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
)
3127, 30sylan 479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
)
3231adantlll 732 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
)
3316adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  ZZ )
34 peano2nn 10643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
35 elnnuz 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3634, 35sylib 201 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
37 uztrn 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3837ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
39 elnnuz 11219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4038, 39sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
4136, 40sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
42 ffvelrn 6035 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  NN )
4342nnzd 11062 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  ZZ )
4441, 43sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
4544anassrs 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
46 zre 10965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  n )  e.  ZZ  ->  ( F `  n )  e.  RR )
47 zre 10965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  e.  ZZ  ->  ( F `  k )  e.  RR )
48 ltle 9740 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  k )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  k ) ) )
4946, 47, 48syl2an 485 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ZZ  /\  ( F `  k )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  k )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  k ) ) )
50 eluz 11196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ZZ  /\  ( F `  k )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) )  <->  ( F `  n )  <_  ( F `  k )
) )
5149, 50sylibrd 242 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ZZ  /\  ( F `  k )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  k )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) ) ) )
5233, 45, 51syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  < 
( F `  k
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) ) )
5352adantllr 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  < 
( F `  k
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) ) )
5432, 53mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
5521, 54jaodan 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( k  =  n  \/  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
5612, 55sylan2 482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
57 uztrn 11199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) )  /\  ( F `
 n )  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
5857ex 441 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
5956, 58syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( F `
 n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
6059adantllr 733 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
) )  /\  A  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
6160ralrimdva 2812 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  A  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `
 n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) )
6261ex 441 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  ->  ( ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) ) )
6311, 62stoic3 1668 . . 3  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) ) )
6463reximdvai 2856 . 2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
651, 64mpd 15 1  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757    C_ wss 3390   class class class wbr 4395    Po wpo 4758    Or wor 4759   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   RRcr 9556   1c1 9558    + caddc 9560    < clt 9693    <_ cle 9694   NNcn 10631   ZZcz 10961   ZZ>=cuz 11182
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183
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