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Theorem incsequz2 30485
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) )
Distinct variable groups:    k, F, m, n    A, k, m, n

Proof of Theorem incsequz2
Dummy variables  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 incsequz 30484 . 2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
2 nnssre 10535 . . . . . . . 8  |-  NN  C_  RR
3 ltso 9654 . . . . . . . . 9  |-  <  Or  RR
4 sopo 4806 . . . . . . . . 9  |-  (  < 
Or  RR  ->  <  Po  RR )
53, 4ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  <  Po  RR
6 poss 4791 . . . . . . . 8  |-  ( NN  C_  RR  ->  (  <  Po  RR  ->  <  Po  NN ) )
72, 5, 6mp2 9 . . . . . . 7  |-  <  Po  NN
8 seqpo 30483 . . . . . . 7  |-  ( (  <  Po  NN  /\  F : NN --> NN )  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) )  <->  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
) ) )
97, 8mpan 668 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) )  <->  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) ) )
109biimpd 207 . . . . 5  |-  ( F : NN --> NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) )  ->  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) ) )
1110imdistani 688 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  ( F : NN --> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
) ) )
12 uzp1 11115 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  n
)  ->  ( k  =  n  \/  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ) )
13 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
1413adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
15 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  NN )
1615nnzd 10964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ZZ )
17 uzid 11096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  n )  e.  ZZ  ->  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
1918adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
2014, 19eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
2120adantllr 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  =  n
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
22 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  n  ->  (
p  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
2322fveq2d 5852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  n  ->  ( ZZ>=
`  ( p  + 
1 ) )  =  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )
24 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( p  =  n  ->  ( F `  p )  =  ( F `  n ) )
2524breq1d 4449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( p  =  n  ->  (
( F `  p
)  <  ( F `  q )  <->  ( F `  n )  <  ( F `  q )
) )
2623, 25raleqbidv 3065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  =  n  ->  ( A. q  e.  ( ZZ>=
`  ( p  + 
1 ) ) ( F `  p )  <  ( F `  q )  <->  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( F `  n
)  <  ( F `  q ) ) )
2726rspccva 3206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
)  /\  n  e.  NN )  ->  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) ( F `  n
)  <  ( F `  q ) )
28 fveq2 5848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  =  k  ->  ( F `  q )  =  ( F `  k ) )
2928breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( q  =  k  ->  (
( F `  n
)  <  ( F `  q )  <->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
) )
3029rspccva 3206 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A. q  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ( F `  n )  <  ( F `  q )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
)
3127, 30sylan 469 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
)
3231adantlll 715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  k )
)
3316adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  n )  e.  ZZ )
34 peano2nn 10543 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
35 elnnuz 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  +  1 )  e.  NN  <->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3634, 35sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )
37 uztrn 11098 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) )  /\  (
n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  1
) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
3837ancoms 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
39 elnnuz 11118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  e.  NN  <->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
4038, 39sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
1 )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1 ) ) )  ->  k  e.  NN )
4136, 40sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) )  -> 
k  e.  NN )
42 ffvelrn 6005 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  NN )
4342nnzd 10964 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  ZZ )
4441, 43sylan2 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  e.  NN  /\  k  e.  ( ZZ>= `  ( n  +  1
) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
4544anassrs 646 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  ZZ )
46 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  n )  e.  ZZ  ->  ( F `  n )  e.  RR )
47 zre 10864 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F `  k )  e.  ZZ  ->  ( F `  k )  e.  RR )
48 ltle 9662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  RR  /\  ( F `  k )  e.  RR )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  k )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  k ) ) )
4946, 47, 48syl2an 475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ZZ  /\  ( F `  k )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  k )  ->  ( F `  n
)  <_  ( F `  k ) ) )
50 eluz 11095 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ZZ  /\  ( F `  k )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) )  <->  ( F `  n )  <_  ( F `  k )
) )
5149, 50sylibrd 234 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  ZZ  /\  ( F `  k )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  k )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) ) ) )
5233, 45, 51syl2anc 659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  < 
( F `  k
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) ) )
5352adantllr 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  < 
( F `  k
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) ) )
5432, 53mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  ( n  + 
1 ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
5521, 54jaodan 783 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  ( k  =  n  \/  k  e.  (
ZZ>= `  ( n  + 
1 ) ) ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
5612, 55sylan2 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( F `  n ) ) )
57 uztrn 11098 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n ) )  /\  ( F `
 n )  e.  ( ZZ>= `  A )
)  ->  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
5857ex 432 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  ( F `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
5956, 58syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>=
`  n ) )  ->  ( ( F `
 n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
6059adantllr 716 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1
) ) ( F `
 p )  < 
( F `  q
) )  /\  A  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  /\  k  e.  ( ZZ>= `  n )
)  ->  ( ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  ( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
6160ralrimdva 2872 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F : NN
--> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  A  e.  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `
 n )  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  (
ZZ>= `  n ) ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) )
6261ex 432 . . . 4  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. p  e.  NN  A. q  e.  ( ZZ>= `  ( p  +  1 ) ) ( F `  p
)  <  ( F `  q ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( n  e.  NN  ->  ( ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  ( ZZ>=
`  n ) ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) ) )
6311, 62stoic3 1614 . . 3  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  (
n  e.  NN  ->  ( ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  A )  ->  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) ) )
6463reximdvai 2926 . 2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A
)  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) ) )
651, 64mpd 15 1  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  A. k  e.  ( ZZ>= `  n )
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 971    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805    C_ wss 3461   class class class wbr 4439    Po wpo 4787    Or wor 4788   -->wf 5566   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618   NNcn 10531   ZZcz 10860   ZZ>=cuz 11082
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083
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