Users' Mathboxes Mathbox for Jeff Madsen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  incsequz Structured version   Unicode version

Theorem incsequz 30425
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
Distinct variable groups:    m, F, n    A, m, n

Proof of Theorem incsequz
Dummy variables  k  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( p  =  1  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  1 )
)
21eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( p  =  1  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) ) )
32rexbidv 2968 . . . . 5  |-  ( p  =  1  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1
) ) )
43imbi2d 316 . . . 4  |-  ( p  =  1  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) ) ) )
5 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( p  =  q  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  q )
)
65eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( p  =  q  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q ) ) )
76rexbidv 2968 . . . . 5  |-  ( p  =  q  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  q
) ) )
87imbi2d 316 . . . 4  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q ) ) ) )
9 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) )
109eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
1110rexbidv 2968 . . . . 5  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
1211imbi2d 316 . . . 4  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
13 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( p  =  A  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  A )
)
1413eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( p  =  A  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) ) )
1514rexbidv 2968 . . . . 5  |-  ( p  =  A  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) )
1615imbi2d 316 . . . 4  |-  ( p  =  A  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) ) ) )
17 1nn 10567 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
1817ne0ii 3800 . . . . . 6  |-  NN  =/=  (/)
19 ffvelrn 6030 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  NN )
20 elnnuz 11142 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  e.  NN  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
2119, 20sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
2221ralrimiva 2871 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> NN  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
23 r19.2z 3921 . . . . . 6  |-  ( ( NN  =/=  (/)  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
2418, 22, 23sylancr 663 . . . . 5  |-  ( F : NN --> NN  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2524adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
26 peano2nn 10568 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
2726adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
28 nnre 10563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  NN  ->  q  e.  RR )
2928ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  q  e.  RR )
3019nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  RR )
3130adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
3231adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
33 1red 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
3429, 32, 33leadd1d 10167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
q  <_  ( F `  n )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( ( F `  n )  +  1 ) ) )
35 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  m )  =  ( F `  n ) )
36 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
3736fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  ( m  +  1 ) )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
3835, 37breq12d 4469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  m
)  <  ( F `  ( m  +  1 ) )  <->  ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
3938rspcv 3206 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
4039imdistani 690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  (
n  e.  NN  /\  ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
41 ffvelrn 6030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  NN )
4226, 41sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  e.  NN )
43 nnltp1le 10940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  NN  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4419, 42, 43syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4544biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) )
4645anasss 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  n
)  <  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
4740, 46sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  e.  NN  /\ 
A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
4847anass1rs 807 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) )
4948adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) )
50 peano2re 9770 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  e.  RR  ->  (
q  +  1 )  e.  RR )
5128, 50syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q  +  1 )  e.  RR )
5251ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( q  +  1 )  e.  RR )
53 peano2nn 10568 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  n )  e.  NN  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  e.  NN )
5419, 53syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  NN )
5554nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  RR )
5655adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `
 n )  +  1 )  e.  RR )
5741nnred 10571 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  RR )
5826, 57sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  e.  RR )
5958adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  RR )
60 letr 9695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  RR  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( q  +  1 )  <_ 
( ( F `  n )  +  1 )  /\  ( ( F `  n )  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) )  ->  (
q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
6152, 56, 59, 60syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( q  +  1 )  <_  ( ( F `
 n )  +  1 )  /\  (
( F `  n
)  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6261adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( q  +  1 )  <_  (
( F `  n
)  +  1 )  /\  ( ( F `
 n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
6349, 62mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( q  +  1 )  <_  ( ( F `  n )  +  1 )  -> 
( q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6434, 63sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
q  <_  ( F `  n )  ->  (
q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
65 nnz 10907 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  NN  ->  q  e.  ZZ )
6619nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ZZ )
67 eluz 11119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  ( F `  n )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
6865, 66, 67syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )
)  ->  ( ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
6968adantrlr 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7069anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7165peano2zd 10993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q  +  1 )  e.  ZZ )
7241nnzd 10989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  ZZ )
7326, 72sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  e.  ZZ )
74 eluz 11119 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( q  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
7571, 73, 74syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )
)  ->  ( ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
7675adantrlr 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
7776anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  (
n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
7864, 70, 773imtr4d 268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  q )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
79 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
8079eleq1d 2526 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
8180rspcev 3210 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) )
8227, 78, 81syl6an 545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  q )  ->  E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
8382rexlimdva 2949 . . . . . . 7  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  ->  E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
84 fveq2 5872 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
8584eleq1d 2526 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
8685cbvrexv 3085 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) )
8783, 86syl6ib 226 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
8887ex 434 . . . . 5  |-  ( q  e.  NN  ->  (
( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  q )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) ) )
8988a2d 26 . . . 4  |-  ( q  e.  NN  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q ) )  ->  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
904, 8, 12, 16, 25, 89nnind 10574 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) ) )
9190com12 31 . 2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  ( A  e.  NN  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A )
) )
92913impia 1193 1  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   1c1 9510    + caddc 9512    < clt 9645    <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107
This theorem is referenced by:  incsequz2  30426
  Copyright terms: Public domain W3C validator