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Theorem incsequz 28784
Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
incsequz  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
Distinct variable groups:    m, F, n    A, m, n

Proof of Theorem incsequz
Dummy variables  k  p  q are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5791 . . . . . . 7  |-  ( p  =  1  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  1 )
)
21eleq2d 2521 . . . . . 6  |-  ( p  =  1  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) ) )
32rexbidv 2848 . . . . 5  |-  ( p  =  1  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1
) ) )
43imbi2d 316 . . . 4  |-  ( p  =  1  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) ) ) )
5 fveq2 5791 . . . . . . 7  |-  ( p  =  q  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  q )
)
65eleq2d 2521 . . . . . 6  |-  ( p  =  q  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q ) ) )
76rexbidv 2848 . . . . 5  |-  ( p  =  q  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  q
) ) )
87imbi2d 316 . . . 4  |-  ( p  =  q  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q ) ) ) )
9 fveq2 5791 . . . . . . 7  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) )
109eleq2d 2521 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
1110rexbidv 2848 . . . . 5  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
1211imbi2d 316 . . . 4  |-  ( p  =  ( q  +  1 )  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
13 fveq2 5791 . . . . . . 7  |-  ( p  =  A  ->  ( ZZ>=
`  p )  =  ( ZZ>= `  A )
)
1413eleq2d 2521 . . . . . 6  |-  ( p  =  A  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  p )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) ) )
1514rexbidv 2848 . . . . 5  |-  ( p  =  A  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  p
)  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A
) ) )
1615imbi2d 316 . . . 4  |-  ( p  =  A  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  p ) )  <-> 
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) ) ) )
17 1nn 10436 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
18 ne0i 3743 . . . . . . 7  |-  ( 1  e.  NN  ->  NN  =/=  (/) )
1917, 18ax-mp 5 . . . . . 6  |-  NN  =/=  (/)
20 ffvelrn 5942 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  NN )
21 elnnuz 11000 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  n )  e.  NN  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
2220, 21sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
2322ralrimiva 2822 . . . . . 6  |-  ( F : NN --> NN  ->  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
24 r19.2z 3869 . . . . . 6  |-  ( ( NN  =/=  (/)  /\  A. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
2519, 23, 24sylancr 663 . . . . 5  |-  ( F : NN --> NN  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
2625adantr 465 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  1 ) )
27 peano2nn 10437 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
2827adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
n  +  1 )  e.  NN )
29 nnre 10432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  NN  ->  q  e.  RR )
3029ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  q  e.  RR )
3120nnred 10440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  RR )
3231adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
3332adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  RR )
34 1re 9488 . . . . . . . . . . . . 13  |-  1  e.  RR
3534a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  1  e.  RR )
3630, 33, 35leadd1d 10036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
q  <_  ( F `  n )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( ( F `  n )  +  1 ) ) )
37 fveq2 5791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  m )  =  ( F `  n ) )
38 oveq1 6199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( m  =  n  ->  (
m  +  1 )  =  ( n  + 
1 ) )
3938fveq2d 5795 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( m  =  n  ->  ( F `  ( m  +  1 ) )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
4037, 39breq12d 4405 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  =  n  ->  (
( F `  m
)  <  ( F `  ( m  +  1 ) )  <->  ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4140rspcv 3167 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  NN  ->  ( A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) )  ->  ( F `  n )  <  ( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
4241imdistani 690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  (
n  e.  NN  /\  ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
43 ffvelrn 5942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  NN )
4427, 43sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  e.  NN )
45 nnltp1le 10803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( F `  n
)  e.  NN  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4620, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) )  <-> 
( ( F `  n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
4746biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  /\  ( F `  n )  <  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) )
4847anasss 647 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  e.  NN  /\  ( F `  n
)  <  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
4942, 48sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  e.  NN  /\ 
A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1
) ) ) )  ->  ( ( F `
 n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )
5049anass1rs 805 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) )
5150adantll 713 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) )
52 peano2re 9645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( q  e.  RR  ->  (
q  +  1 )  e.  RR )
5329, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q  +  1 )  e.  RR )
5453ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( q  +  1 )  e.  RR )
55 peano2nn 10437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  n )  e.  NN  ->  (
( F `  n
)  +  1 )  e.  NN )
5620, 55syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  NN )
5756nnred 10440 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  RR )
5857adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( F `
 n )  +  1 )  e.  RR )
5943nnred 10440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  RR )
6027, 59sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  e.  RR )
6160adantll 713 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  RR )
62 letr 9571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( q  +  1 )  e.  RR  /\  ( ( F `  n )  +  1 )  e.  RR  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )  -> 
( ( ( q  +  1 )  <_ 
( ( F `  n )  +  1 )  /\  ( ( F `  n )  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) )  ->  (
q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
6354, 58, 61, 62syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  F : NN --> NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( q  +  1 )  <_  ( ( F `
 n )  +  1 )  /\  (
( F `  n
)  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) )  -> 
( q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6463adantlrr 720 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( q  +  1 )  <_  (
( F `  n
)  +  1 )  /\  ( ( F `
 n )  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) )  ->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
6551, 64mpan2d 674 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( q  +  1 )  <_  ( ( F `  n )  +  1 )  -> 
( q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
6636, 65sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
q  <_  ( F `  n )  ->  (
q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1
) ) ) )
67 nnz 10771 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  NN  ->  q  e.  ZZ )
6820nnzd 10849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n
)  e.  ZZ )
69 eluz 10977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( q  e.  ZZ  /\  ( F `  n )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7067, 68, 69syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )
)  ->  ( ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7170adantrlr 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7271anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  q )  <->  q  <_  ( F `  n ) ) )
7367peano2zd 10853 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( q  e.  NN  ->  (
q  +  1 )  e.  ZZ )
7443nnzd 10849 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( n  +  1
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( n  +  1
) )  e.  ZZ )
7527, 74sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  (
n  +  1 ) )  e.  ZZ )
76 eluz 10977 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( q  +  1 )  e.  ZZ  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )  -> 
( ( F `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
7773, 75, 76syl2an 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  n  e.  NN )
)  ->  ( ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_  ( F `  ( n  +  1 ) ) ) )
7877adantrlr 722 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN ) )  -> 
( ( F `  ( n  +  1
) )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
7978anassrs 648 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  (
n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( q  +  1 )  <_ 
( F `  (
n  +  1 ) ) ) )
8066, 72, 793imtr4d 268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  q )  ->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
81 fveq2 5791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( F `  k )  =  ( F `  ( n  +  1
) ) )
8281eleq1d 2520 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
8382rspcev 3171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( n  +  1 )  e.  NN  /\  ( F `  ( n  +  1 ) )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) )
8428, 80, 83syl6an 545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( F `  n
)  e.  ( ZZ>= `  q )  ->  E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
8584rexlimdva 2939 . . . . . . 7  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  ->  E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
86 fveq2 5791 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  n  ->  ( F `  k )  =  ( F `  n ) )
8786eleq1d 2520 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  n  ->  (
( F `  k
)  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) )
8887cbvrexv 3046 . . . . . . 7  |-  ( E. k  e.  NN  ( F `  k )  e.  ( ZZ>= `  ( q  +  1 ) )  <->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) )
8985, 88syl6ib 226 . . . . . 6  |-  ( ( q  e.  NN  /\  ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) ) )  -> 
( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) )
9089ex 434 . . . . 5  |-  ( q  e.  NN  ->  (
( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  ( E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  q )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  (
q  +  1 ) ) ) ) )
9190a2d 26 . . . 4  |-  ( q  e.  NN  ->  (
( ( F : NN
--> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  q ) )  ->  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  ( q  +  1 ) ) ) ) )
924, 8, 12, 16, 26, 91nnind 10443 . . 3  |-  ( A  e.  NN  ->  (
( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  ( m  +  1 ) ) )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) ) )
9392com12 31 . 2  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) ) )  ->  ( A  e.  NN  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  ( ZZ>= `  A )
) )
94933impia 1185 1  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  A. m  e.  NN  ( F `  m )  <  ( F `  (
m  +  1 ) )  /\  A  e.  NN )  ->  E. n  e.  NN  ( F `  n )  e.  (
ZZ>= `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   (/)c0 3737   class class class wbr 4392   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   1c1 9386    + caddc 9388    < clt 9521    <_ cle 9522   NNcn 10425   ZZcz 10749   ZZ>=cuz 10964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965
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