Theorem incsequz 30425

Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
incsequz	|- ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) /\ A e. NN ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) )

Distinct variable groups:   m, F, n   A, m, n

Proof of Theorem incsequz

Dummy variables k p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( p = 1 -> ( ZZ>= ` p ) = ( ZZ>= ` 1 ) )
2	1	eleq2d 2527	. . . . . 6 |- ( p = 1 -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
3	2	rexbidv 2968	. . . . 5 |- ( p = 1 -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
4	3	imbi2d 316	. . . 4 |- ( p = 1 -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) ) <-> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) ) )
5		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( p = q -> ( ZZ>= ` p ) = ( ZZ>= ` q ) )
6	5	eleq2d 2527	. . . . . 6 |- ( p = q -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) ) )
7	6	rexbidv 2968	. . . . 5 |- ( p = q -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) ) )
8	7	imbi2d 316	. . . 4 |- ( p = q -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) ) <-> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) ) ) )
9		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( ZZ>= ` p ) = ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) )
10	9	eleq2d 2527	. . . . . 6 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
11	10	rexbidv 2968	. . . . 5 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
12	11	imbi2d 316	. . . 4 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) ) <-> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) ) )
13		fveq2 5872	. . . . . . 7 |- ( p = A -> ( ZZ>= ` p ) = ( ZZ>= ` A ) )
14	13	eleq2d 2527	. . . . . 6 |- ( p = A -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
15	14	rexbidv 2968	. . . . 5 |- ( p = A -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
16	15	imbi2d 316	. . . 4 |- ( p = A -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) ) <-> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) ) )
17		1nn 10567	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
18	17	ne0ii 3800	. . . . . 6 |- NN =/= (/)
19		ffvelrn 6030	. . . . . . . 8 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. NN )
20		elnnuz 11142	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` n ) e. NN <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
21	19, 20	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
22	21	ralrimiva 2871	. . . . . 6 |- ( F : NN --> NN -> A. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23		r19.2z 3921	. . . . . 6 |- ( ( NN =/= (/) /\ A. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24	18, 22, 23	sylancr 663	. . . . 5 |- ( F : NN --> NN -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25	24	adantr 465	. . . 4 |- ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26		peano2nn 10568	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
27	26	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. NN )
28		nnre 10563	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. NN -> q e. RR )
29	28	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> q e. RR )
30	19	nnred 10571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
31	30	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
32	31	adantll 713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
33		1red 9628	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> 1 e. RR )
34	29, 32, 33	leadd1d 10167	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( q <_ ( F ` n ) <-> ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) ) )
35		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
36		oveq1 6303	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = n -> ( m + 1 ) = ( n + 1 ) )
37	36	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = n -> ( F ` ( m + 1 ) ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
38	35, 37	breq12d 4469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) <-> ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
39	38	rspcv 3206	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> ( A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) -> ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
40	39	imdistani 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> ( n e. NN /\ ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
41		ffvelrn 6030	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. NN )
42	26, 41	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. NN )
43		nnltp1le 10940	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` n ) e. NN /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
44	19, 42, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
45	44	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) /\ ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
46	45	anasss 647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n e. NN /\ ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
47	40, 46	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n e. NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
48	47	anass1rs 807	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
49	48	adantll 713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
50		peano2re 9770	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q e. RR -> ( q + 1 ) e. RR )
51	28, 50	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q e. NN -> ( q + 1 ) e. RR )
52	51	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ n e. NN ) -> ( q + 1 ) e. RR )
53		peano2nn 10568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` n ) e. NN -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. NN )
54	19, 53	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. NN )
55	54	nnred 10571	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
56	55	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
57	41	nnred 10571	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
58	26, 57	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
59	58	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ n e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
60		letr 9695	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q + 1 ) e. RR /\ ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) /\ ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
61	52, 56, 59, 60	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( q e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) /\ ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
62	61	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) /\ ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
63	49, 62	mpan2d 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
64	34, 63	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( q <_ ( F ` n ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
65		nnz 10907	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. NN -> q e. ZZ )
66	19	nnzd 10989	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ZZ )
67		eluz 11119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ZZ /\ ( F ` n ) e. ZZ ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) <-> q <_ ( F ` n ) ) )
68	65, 66, 67	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) <-> q <_ ( F ` n ) ) )
69	68	adantrlr 722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. NN /\ ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) <-> q <_ ( F ` n ) ) )
70	69	anassrs 648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) <-> q <_ ( F ` n ) ) )
71	65	peano2zd 10993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. NN -> ( q + 1 ) e. ZZ )
72	41	nnzd 10989	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. ZZ )
73	26, 72	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. ZZ )
74		eluz 11119	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( q + 1 ) e. ZZ /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
75	71, 73, 74	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
76	75	adantrlr 722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. NN /\ ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
77	76	anassrs 648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
78	64, 70, 77	3imtr4d 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
79		fveq2 5872	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
80	79	eleq1d 2526	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
81	80	rspcev 3210	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) -> E. k e. NN ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) )
82	27, 78, 81	syl6an 545	. . . . . . . 8 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> E. k e. NN ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
83	82	rexlimdva 2949	. . . . . . 7 |- ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> E. k e. NN ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
84		fveq2 5872	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
85	84	eleq1d 2526	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
86	85	cbvrexv 3085	. . . . . . 7 |- ( E. k e. NN ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) )
87	83, 86	syl6ib 226	. . . . . 6 |- ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
88	87	ex 434	. . . . 5 |- ( q e. NN -> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) ) )
89	88	a2d 26	. . . 4 |- ( q e. NN -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) ) -> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) ) )
90	4, 8, 12, 16, 25, 89	nnind 10574	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
91	90	com12 31	. 2 |- ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> ( A e. NN -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
92	91	3impia 1193	1 |- ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) /\ A e. NN ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   (/)c0 3793   class class class wbr 4456   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   1c1 9510   + caddc 9512   < clt 9645   <_ cle 9646   NNcn 10556   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107

This theorem is referenced by:  incsequz2  30426