Theorem incsequz 28784

Description: An increasing sequence of positive integers takes on indefinitely large values. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
incsequz	|- ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) /\ A e. NN ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) )

Distinct variable groups:   m, F, n   A, m, n

Proof of Theorem incsequz

Dummy variables k p q are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 5791	. . . . . . 7 |- ( p = 1 -> ( ZZ>= ` p ) = ( ZZ>= ` 1 ) )
2	1	eleq2d 2521	. . . . . 6 |- ( p = 1 -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
3	2	rexbidv 2848	. . . . 5 |- ( p = 1 -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) )
4	3	imbi2d 316	. . . 4 |- ( p = 1 -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) ) <-> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) ) )
5		fveq2 5791	. . . . . . 7 |- ( p = q -> ( ZZ>= ` p ) = ( ZZ>= ` q ) )
6	5	eleq2d 2521	. . . . . 6 |- ( p = q -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) ) )
7	6	rexbidv 2848	. . . . 5 |- ( p = q -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) ) )
8	7	imbi2d 316	. . . 4 |- ( p = q -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) ) <-> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) ) ) )
9		fveq2 5791	. . . . . . 7 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( ZZ>= ` p ) = ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) )
10	9	eleq2d 2521	. . . . . 6 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
11	10	rexbidv 2848	. . . . 5 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
12	11	imbi2d 316	. . . 4 |- ( p = ( q + 1 ) -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) ) <-> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) ) )
13		fveq2 5791	. . . . . . 7 |- ( p = A -> ( ZZ>= ` p ) = ( ZZ>= ` A ) )
14	13	eleq2d 2521	. . . . . 6 |- ( p = A -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
15	14	rexbidv 2848	. . . . 5 |- ( p = A -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
16	15	imbi2d 316	. . . 4 |- ( p = A -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` p ) ) <-> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) ) )
17		1nn 10436	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
18		ne0i 3743	. . . . . . 7 |- ( 1 e. NN -> NN =/= (/) )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . . 6 |- NN =/= (/)
20		ffvelrn 5942	. . . . . . . 8 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. NN )
21		elnnuz 11000	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` n ) e. NN <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
22	20, 21	sylib 196	. . . . . . 7 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
23	22	ralrimiva 2822	. . . . . 6 |- ( F : NN --> NN -> A. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
24		r19.2z 3869	. . . . . 6 |- ( ( NN =/= (/) /\ A. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
25	19, 23, 24	sylancr 663	. . . . 5 |- ( F : NN --> NN -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
26	25	adantr 465	. . . 4 |- ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` 1 ) )
27		peano2nn 10437	. . . . . . . . . 10 |- ( n e. NN -> ( n + 1 ) e. NN )
28	27	adantl 466	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( n + 1 ) e. NN )
29		nnre 10432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. NN -> q e. RR )
30	29	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> q e. RR )
31	20	nnred 10440	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
32	31	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
33	32	adantll 713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. RR )
34		1re 9488	. . . . . . . . . . . . 13 |- 1 e. RR
35	34	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> 1 e. RR )
36	30, 33, 35	leadd1d 10036	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( q <_ ( F ` n ) <-> ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) ) )
37		fveq2 5791	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = n -> ( F ` m ) = ( F ` n ) )
38		oveq1 6199	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( m = n -> ( m + 1 ) = ( n + 1 ) )
39	38	fveq2d 5795	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( m = n -> ( F ` ( m + 1 ) ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
40	37, 39	breq12d 4405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( m = n -> ( ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) <-> ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
41	40	rspcv 3167	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( n e. NN -> ( A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) -> ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
42	41	imdistani 690	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( n e. NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> ( n e. NN /\ ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
43		ffvelrn 5942	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. NN )
44	27, 43	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. NN )
45		nnltp1le 10803	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( F ` n ) e. NN /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
46	20, 44, 45	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) <-> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
47	46	biimpa 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) /\ ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
48	47	anasss 647	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n e. NN /\ ( F ` n ) < ( F ` ( n + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
49	42, 48	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n e. NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
50	49	anass1rs 805	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
51	50	adantll 713	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) )
52		peano2re 9645	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( q e. RR -> ( q + 1 ) e. RR )
53	29, 52	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( q e. NN -> ( q + 1 ) e. RR )
54	53	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ n e. NN ) -> ( q + 1 ) e. RR )
55		peano2nn 10437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( F ` n ) e. NN -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. NN )
56	20, 55	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. NN )
57	56	nnred 10440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
58	57	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR )
59	43	nnred 10440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
60	27, 59	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
61	60	adantll 713	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ n e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR )
62		letr 9571	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( q + 1 ) e. RR /\ ( ( F ` n ) + 1 ) e. RR /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. RR ) -> ( ( ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) /\ ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
63	54, 58, 61, 62	syl3anc 1219	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( q e. NN /\ F : NN --> NN ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) /\ ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
64	63	adantlrr 720	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) /\ ( ( F ` n ) + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
65	51, 64	mpan2d 674	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( q + 1 ) <_ ( ( F ` n ) + 1 ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
66	36, 65	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( q <_ ( F ` n ) -> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
67		nnz 10771	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. NN -> q e. ZZ )
68	20	nnzd 10849	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` n ) e. ZZ )
69		eluz 10977	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( q e. ZZ /\ ( F ` n ) e. ZZ ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) <-> q <_ ( F ` n ) ) )
70	67, 68, 69	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) <-> q <_ ( F ` n ) ) )
71	70	adantrlr 722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. NN /\ ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) <-> q <_ ( F ` n ) ) )
72	71	anassrs 648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) <-> q <_ ( F ` n ) ) )
73	67	peano2zd 10853	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( q e. NN -> ( q + 1 ) e. ZZ )
74	43	nnzd 10849	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( F : NN --> NN /\ ( n + 1 ) e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. ZZ )
75	27, 74	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. ZZ )
76		eluz 10977	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( q + 1 ) e. ZZ /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. ZZ ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
77	73, 75, 76	syl2an 477	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ n e. NN ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
78	77	adantrlr 722	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( q e. NN /\ ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) /\ n e. NN ) ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
79	78	anassrs 648	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( q + 1 ) <_ ( F ` ( n + 1 ) ) ) )
80	66, 72, 79	3imtr4d 268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
81		fveq2 5791	. . . . . . . . . . 11 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( F ` k ) = ( F ` ( n + 1 ) ) )
82	81	eleq1d 2520	. . . . . . . . . 10 |- ( k = ( n + 1 ) -> ( ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
83	82	rspcev 3171	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( n + 1 ) e. NN /\ ( F ` ( n + 1 ) ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) -> E. k e. NN ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) )
84	28, 80, 83	syl6an 545	. . . . . . . 8 |- ( ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) /\ n e. NN ) -> ( ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> E. k e. NN ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
85	84	rexlimdva 2939	. . . . . . 7 |- ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> E. k e. NN ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
86		fveq2 5791	. . . . . . . . 9 |- ( k = n -> ( F ` k ) = ( F ` n ) )
87	86	eleq1d 2520	. . . . . . . 8 |- ( k = n -> ( ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
88	87	cbvrexv 3046	. . . . . . 7 |- ( E. k e. NN ( F ` k ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) <-> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) )
89	85, 88	syl6ib 226	. . . . . 6 |- ( ( q e. NN /\ ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) ) -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) )
90	89	ex 434	. . . . 5 |- ( q e. NN -> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> ( E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) ) )
91	90	a2d 26	. . . 4 |- ( q e. NN -> ( ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` q ) ) -> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` ( q + 1 ) ) ) ) )
92	4, 8, 12, 16, 26, 91	nnind 10443	. . 3 |- ( A e. NN -> ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
93	92	com12 31	. 2 |- ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) ) -> ( A e. NN -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) ) )
94	93	3impia 1185	1 |- ( ( F : NN --> NN /\ A. m e. NN ( F ` m ) < ( F ` ( m + 1 ) ) /\ A e. NN ) -> E. n e. NN ( F ` n ) e. ( ZZ>= ` A ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   (/)c0 3737   class class class wbr 4392   -->wf 5514   ` cfv 5518  (class class class)co 6192   RRcr 9384   1c1 9386   + caddc 9388   < clt 9521   <_ cle 9522   NNcn 10425   ZZcz 10749   ZZ>=cuz 10964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-er 7203  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965

This theorem is referenced by:  incsequz2  28785