Theorem incsequz 15815

Description: An increasing sequence of natural numbers takes on indefinitely large values.

Assertion

Ref	Expression
incsequz	|- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) /\ A e. NN) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A))

Distinct variable groups:   m,F,n   A,m,n

Proof of Theorem incsequz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (p = 1 -> (ZZ>=` p) = (ZZ>=` 1))
2	1	eleq2d 1964	. . . . . 6 |- (p = 1 -> ((F` n) e. (ZZ>=` p) <-> (F` n) e. (ZZ>=` 1)))
3	2	rexbidv 2124	. . . . 5 |- (p = 1 -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p) <-> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1)))
4	3	imbi2d 674	. . . 4 |- (p = 1 -> (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p)) <-> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1))))
5		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (p = q -> (ZZ>=` p) = (ZZ>=` q))
6	5	eleq2d 1964	. . . . . 6 |- (p = q -> ((F` n) e. (ZZ>=` p) <-> (F` n) e. (ZZ>=` q)))
7	6	rexbidv 2124	. . . . 5 |- (p = q -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p) <-> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` q)))
8	7	imbi2d 674	. . . 4 |- (p = q -> (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p)) <-> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` q))))
9		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (p = (q + 1) -> (ZZ>=` p) = (ZZ>=` (q + 1)))
10	9	eleq2d 1964	. . . . . 6 |- (p = (q + 1) -> ((F` n) e. (ZZ>=` p) <-> (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1))))
11	10	rexbidv 2124	. . . . 5 |- (p = (q + 1) -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p) <-> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1))))
12	11	imbi2d 674	. . . 4 |- (p = (q + 1) -> (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p)) <-> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1)))))
13		fveq2 4681	. . . . . . 7 |- (p = A -> (ZZ>=` p) = (ZZ>=` A))
14	13	eleq2d 1964	. . . . . 6 |- (p = A -> ((F` n) e. (ZZ>=` p) <-> (F` n) e. (ZZ>=` A)))
15	14	rexbidv 2124	. . . . 5 |- (p = A -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p) <-> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A)))
16	15	imbi2d 674	. . . 4 |- (p = A -> (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` p)) <-> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A))))
17		r19.2z 2958	. . . . . 6 |- ((NN =/= (/) /\ A.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1)) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1))
18		1nn 7117	. . . . . . 7 |- 1 e. NN
19		ne0i 2881	. . . . . . 7 |- (1 e. NN -> NN =/= (/))
20	18, 19	ax-mp 7	. . . . . 6 |- NN =/= (/)
21		ffvelrn 4787	. . . . . . . 8 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` n) e. NN)
22		elnnuz 7609	. . . . . . . 8 |- ((F` n) e. NN <-> (F` n) e. (ZZ>=` 1))
23	21, 22	sylib 215	. . . . . . 7 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` n) e. (ZZ>=` 1))
24	23	r19.21aiva 2176	. . . . . 6 |- (F:NN-->NN -> A.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1))
25	17, 20, 24	sylancr 526	. . . . 5 |- (F:NN-->NN -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1))
26	25	adantr 425	. . . 4 |- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` 1))
27		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (q e. NN -> q e. RR)
28	27	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> q e. RR)
29		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F` n) e. NN -> (F` n) e. RR)
30	21, 29	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` n) e. RR)
31	30	adantlr 429	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) /\ n e. NN) -> (F` n) e. RR)
32	31	adantll 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> (F` n) e. RR)
33		1re 6598	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1 e. RR
34	33	a1i 8	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> 1 e. RR)
35		leadd1 6808	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((q e. RR /\ (F` n) e. RR /\ 1 e. RR) -> (q <_ (F` n) <-> (q + 1) <_ ((F` n) + 1)))
36	28, 32, 34, 35	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . 12 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> (q <_ (F` n) <-> (q + 1) <_ ((F` n) + 1)))
37		ffvelrn 4787	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((F:NN-->NN /\ (n + 1) e. NN) -> (F` (n + 1)) e. NN)
38		peano2nn 7118	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (n e. NN -> (n + 1) e. NN)
39	37, 38	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` (n + 1)) e. NN)
40		nnltp1le 7139	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((F` n) e. NN /\ (F` (n + 1)) e. NN) -> ((F` n) < (F` (n + 1)) <-> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1))))
41	21, 39, 40	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> ((F` n) < (F` (n + 1)) <-> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1))))
42	41	biimpa 460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((F:NN-->NN /\ n e. NN) /\ (F` n) < (F` (n + 1))) -> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1)))
43	42	anasss 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F:NN-->NN /\ (n e. NN /\ (F` n) < (F` (n + 1)))) -> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1)))
44		fveq2 4681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m = n -> (F` m) = (F` n))
45		opreq1 4889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (m = n -> (m + 1) = (n + 1))
46	45	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (m = n -> (F` (m + 1)) = (F` (n + 1)))
47	44, 46	breq12d 3351	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (m = n -> ((F` m) < (F` (m + 1)) <-> (F` n) < (F` (n + 1))))
48	47	rcla4v 2376	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (n e. NN -> (A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) -> (F` n) < (F` (n + 1))))
49	48	imdistani 491	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((n e. NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> (n e. NN /\ (F` n) < (F` (n + 1))))
50	43, 49	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F:NN-->NN /\ (n e. NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) -> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1)))
51	50	ancom2s 545	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:NN-->NN /\ (A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) /\ n e. NN)) -> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1)))
52	51	anassrs 489	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) /\ n e. NN) -> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1)))
53	52	adantll 428	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1)))
54		peano2re 6599	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (q e. RR -> (q + 1) e. RR)
55	27, 54	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (q e. NN -> (q + 1) e. RR)
56	55	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((q e. NN /\ F:NN-->NN) /\ n e. NN) -> (q + 1) e. RR)
57		peano2nn 7118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F` n) e. NN -> ((F` n) + 1) e. NN)
58		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((F` n) + 1) e. NN -> ((F` n) + 1) e. RR)
59	21, 57, 58	3syl 24	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> ((F` n) + 1) e. RR)
60	59	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((q e. NN /\ F:NN-->NN) /\ n e. NN) -> ((F` n) + 1) e. RR)
61		nnre 7112	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((F` (n + 1)) e. NN -> (F` (n + 1)) e. RR)
62	37, 61	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((F:NN-->NN /\ (n + 1) e. NN) -> (F` (n + 1)) e. RR)
63	62, 38	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` (n + 1)) e. RR)
64	63	adantll 428	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((q e. NN /\ F:NN-->NN) /\ n e. NN) -> (F` (n + 1)) e. RR)
65		letr 6695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((q + 1) e. RR /\ ((F` n) + 1) e. RR /\ (F` (n + 1)) e. RR) -> (((q + 1) <_ ((F` n) + 1) /\ ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1))) -> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
66	56, 60, 64, 65	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((q e. NN /\ F:NN-->NN) /\ n e. NN) -> (((q + 1) <_ ((F` n) + 1) /\ ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1))) -> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
67	66	adantlrr 435	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> (((q + 1) <_ ((F` n) + 1) /\ ((F` n) + 1) <_ (F` (n + 1))) -> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
68	53, 67	mpan2d 766	. . . . . . . . . . . 12 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((q + 1) <_ ((F` n) + 1) -> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
69	36, 68	sylbid 220	. . . . . . . . . . 11 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> (q <_ (F` n) -> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
70		eluz 7595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((q e. ZZ /\ (F` n) e. ZZ) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) <-> q <_ (F` n)))
71		nnz 7362	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (q e. NN -> q e. ZZ)
72		nnz 7362	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F` n) e. NN -> (F` n) e. ZZ)
73	21, 72	syl 12	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` n) e. ZZ)
74	70, 71, 73	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ n e. NN)) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) <-> q <_ (F` n)))
75	74	adantrlr 437	. . . . . . . . . . . 12 |- ((q e. NN /\ ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) /\ n e. NN)) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) <-> q <_ (F` n)))
76	75	anassrs 489	. . . . . . . . . . 11 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) <-> q <_ (F` n)))
77		eluz 7595	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((q + 1) e. ZZ /\ (F` (n + 1)) e. ZZ) -> ((F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
78	71	peano2zdi 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (q e. NN -> (q + 1) e. ZZ)
79		nnz 7362	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((F` (n + 1)) e. NN -> (F` (n + 1)) e. ZZ)
80	37, 79	syl 12	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((F:NN-->NN /\ (n + 1) e. NN) -> (F` (n + 1)) e. ZZ)
81	80, 38	sylan2 500	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((F:NN-->NN /\ n e. NN) -> (F` (n + 1)) e. ZZ)
82	77, 78, 81	syl2an 503	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ n e. NN)) -> ((F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
83	82	adantrlr 437	. . . . . . . . . . . 12 |- ((q e. NN /\ ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) /\ n e. NN)) -> ((F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
84	83	anassrs 489	. . . . . . . . . . 11 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> (q + 1) <_ (F` (n + 1))))
85	69, 76, 84	3imtr4d 602	. . . . . . . . . 10 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) -> (F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1))))
86	38	adantl 424	. . . . . . . . . 10 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> (n + 1) e. NN)
87	85, 86	jctild 662	. . . . . . . . 9 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) -> ((n + 1) e. NN /\ (F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1)))))
88		fveq2 4681	. . . . . . . . . . 11 |- (k = (n + 1) -> (F` k) = (F` (n + 1)))
89	88	eleq1d 1963	. . . . . . . . . 10 |- (k = (n + 1) -> ((F` k) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> (F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1))))
90	89	rcla4ev 2381	. . . . . . . . 9 |- (((n + 1) e. NN /\ (F` (n + 1)) e. (ZZ>=` (q + 1))) -> E.k e. NN (F` k) e. (ZZ>=` (q + 1)))
91	87, 90	syl6 25	. . . . . . . 8 |- (((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) /\ n e. NN) -> ((F` n) e. (ZZ>=` q) -> E.k e. NN (F` k) e. (ZZ>=` (q + 1))))
92	91	r19.23adva 2216	. . . . . . 7 |- ((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` q) -> E.k e. NN (F` k) e. (ZZ>=` (q + 1))))
93		fveq2 4681	. . . . . . . . 9 |- (k = n -> (F` k) = (F` n))
94	93	eleq1d 1963	. . . . . . . 8 |- (k = n -> ((F` k) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1))))
95	94	cbvrexv 2281	. . . . . . 7 |- (E.k e. NN (F` k) e. (ZZ>=` (q + 1)) <-> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1)))
96	92, 95	syl6ib 229	. . . . . 6 |- ((q e. NN /\ (F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)))) -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` q) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1))))
97	96	ex 402	. . . . 5 |- (q e. NN -> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> (E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` q) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1)))))
98	97	a2d 16	. . . 4 |- (q e. NN -> (((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` q)) -> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` (q + 1)))))
99	4, 8, 12, 16, 26, 98	nnind 7120	. . 3 |- (A e. NN -> ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A)))
100	99	com12 14	. 2 |- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1))) -> (A e. NN -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A)))
101	100	3impia 1064	1 |- ((F:NN-->NN /\ A.m e. NN (F` m) < (F` (m + 1)) /\ A e. NN) -> E.n e. NN (F` n) e. (ZZ>=` A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  (/)c0 2875   class class class wbr 3338  -->wf 3994  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  RRcr 6385  1c1 6387   + caddc 6389   <_ cle 6448  NNcn 6449  ZZcz 6451   < clt 6653  ZZ>=cuz 7586

This theorem is referenced by:  incsequz2 15816

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-n 7108  df-n0 7309  df-z 7345  df-uz 7587

Copyright terms: Public domain