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Theorem incexclem 13887
Description: Lemma for incexc 13888. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexclem  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s

Proof of Theorem incexclem
Dummy variables  b 
t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
2 uni0 4244 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  (/) )
43ineq2d 3665 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( b  i^i  U. x )  =  ( b  i^i  (/) ) )
5 in0 3789 . . . . . . . . 9  |-  ( b  i^i  (/) )  =  (/)
64, 5syl6eq 2480 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( b  i^i  U. x )  =  (/) )
76fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  ( b  i^i  U. x ) )  =  ( # `  (/) ) )
8 hash0 12549 . . . . . . 7  |-  ( # `  (/) )  =  0
97, 8syl6eq 2480 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  ( b  i^i  U. x ) )  =  0 )
109oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  =  ( ( # `  b
)  -  0 ) )
11 pweq 3983 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ~P x  =  ~P (/) )
12 pw0 4145 . . . . . . 7  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
1311, 12syl6eq 2480 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ~P x  =  { (/) } )
1413sumeq1d 13760 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ s  e.  ~P  x ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  { (/) }  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )
1510, 14eqeq12d 2445 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 b )  - 
0 )  =  sum_ s  e.  { (/) }  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
1615ralbidv 2865 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  0 )  =  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
17 unieq 4225 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  U. x  =  U. y )
1817ineq2d 3665 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
b  i^i  U. x
)  =  ( b  i^i  U. y ) )
1918fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. x ) )  =  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )
2019oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  =  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) ) )
21 pweq 3983 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ~P x  =  ~P y
)
2221sumeq1d 13760 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sum_ s  e.  ~P  x ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2445 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 b )  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
2423ralbidv 2865 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
25 unieq 4225 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U. x  =  U. ( y  u.  {
z } ) )
26 uniun 4236 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
y  u.  { z } )  =  ( U. y  u.  U. { z } )
27 vex 3085 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2827unisn 4232 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
z }  =  z
2928uneq2i 3618 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. y  u.  U. { z } )  =  ( U. y  u.  z
)
3026, 29eqtri 2452 . . . . . . . . 9  |-  U. (
y  u.  { z } )  =  ( U. y  u.  z
)
3125, 30syl6eq 2480 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U. x  =  ( U. y  u.  z
) )
3231ineq2d 3665 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( b  i^i  U. x )  =  ( b  i^i  ( U. y  u.  z )
) )
3332fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  (
b  i^i  U. x
) )  =  (
# `  ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )
3433oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. x ) ) )  =  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) ) )
35 pweq 3983 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ~P x  =  ~P ( y  u. 
{ z } ) )
3635sumeq1d 13760 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  (
y  u.  { z } ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )
3734, 36eqeq12d 2445 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 b )  -  ( # `  ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
3837ralbidv 2865 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
39 unieq 4225 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
4039ineq2d 3665 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
b  i^i  U. x
)  =  ( b  i^i  U. A ) )
4140fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. x ) )  =  ( # `  (
b  i^i  U. A ) ) )
4241oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  =  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. A ) ) ) )
43 pweq 3983 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ~P x  =  ~P A
)
4443sumeq1d 13760 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  sum_ s  e.  ~P  x ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) )
4542, 44eqeq12d 2445 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 b )  -  ( # `  ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
4645ralbidv 2865 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
47 hashcl 12539 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  Fin  ->  ( # `
 b )  e. 
NN0 )
4847nn0cnd 10929 . . . . . 6  |-  ( b  e.  Fin  ->  ( # `
 b )  e.  CC )
4948mulid2d 9663 . . . . 5  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
1  x.  ( # `  b ) )  =  ( # `  b
) )
50 0ex 4554 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
5149, 48eqeltrd 2511 . . . . . 6  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
1  x.  ( # `  b ) )  e.  CC )
52 fveq2 5879 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  s )  =  (
# `  (/) ) )
5352, 8syl6eq 2480 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  s )  =  0 )
5453oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
55 neg1cn 10715 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
56 exp0 12277 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
5854, 57syl6eq 2480 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  (/)  ->  ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  =  1 )
59 rint0 4294 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( b  i^i  |^| s )  =  b )
6059fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  ( b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  b
) )
6158, 60oveq12d 6321 . . . . . . 7  |-  ( s  =  (/)  ->  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  b ) ) )
6261sumsn 13800 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (
1  x.  ( # `  b ) )  e.  CC )  ->  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  b ) ) )
6350, 51, 62sylancr 668 . . . . 5  |-  ( b  e.  Fin  ->  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  b ) ) )
6448subid1d 9977 . . . . 5  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( # `  b )  -  0 )  =  ( # `  b
) )
6549, 63, 643eqtr4rd 2475 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( # `  b )  -  0 )  = 
sum_ s  e.  { (/)
}  ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )
6665rgen 2786 . . 3  |-  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  0 )  =  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )
67 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  ( # `
 b )  =  ( # `  x
) )
68 ineq1 3658 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  x  ->  (
b  i^i  U. y
)  =  ( x  i^i  U. y ) )
6968fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. y ) )  =  ( # `  (
x  i^i  U. y
) ) )
7067, 69oveq12d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  =  ( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) ) )
71 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  =  x  /\  s  e.  ~P y
)  ->  b  =  x )
7271ineq1d 3664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  =  x  /\  s  e.  ~P y
)  ->  ( b  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  |^| s ) )
7372fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =  x  /\  s  e.  ~P y
)  ->  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  ( x  i^i  |^| s ) ) )
7473oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  =  x  /\  s  e.  ~P y
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
7574sumeq2dv 13762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
7670, 75eqeq12d 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  x  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 x )  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
7776rspcva 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. b  e.  Fin  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) ) )
7877adantll 719 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) ) )
79 simpr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  x  e.  Fin )
80 inss1 3683 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  z )  C_  x
81 ssfi 7796 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  z
)  C_  x )  ->  ( x  i^i  z
)  e.  Fin )
8279, 80, 81sylancl 667 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
x  i^i  z )  e.  Fin )
83 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  ( # `
 b )  =  ( # `  (
x  i^i  z )
) )
84 ineq1 3658 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
b  i^i  U. y
)  =  ( ( x  i^i  z )  i^i  U. y ) )
85 in32 3675 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  z )  i^i  U. y )  =  ( ( x  i^i  U. y )  i^i  z )
86 inass 3673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  U. y
)  i^i  z )  =  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )
8785, 86eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  z )  i^i  U. y )  =  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )
8884, 87syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
b  i^i  U. y
)  =  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) )
8988fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. y ) )  =  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )
9083, 89oveq12d 6321 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  =  ( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) ) )
91 ineq1 3658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
b  i^i  |^| s )  =  ( ( x  i^i  z )  i^i  |^| s ) )
92 in32 3675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  z )  i^i  |^| s )  =  ( ( x  i^i  |^| s )  i^i  z
)
93 inass 3673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  |^| s
)  i^i  z )  =  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )
9492, 93eqtri 2452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  z )  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z
) )
9591, 94syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
b  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )
9695fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )
9796oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
9897sumeq2sdv 13763 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
9990, 98eqeq12d 2445 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 ( x  i^i  z ) )  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
10099rspcva 3181 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  z
)  e.  Fin  /\  A. b  e.  Fin  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
10182, 100sylan 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
10278, 101oveq12d 6321 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( ( # `  x )  -  ( # `
 ( x  i^i  U. y ) ) )  -  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) )  =  (
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  -  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
103 inss1 3683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  i^i  U. y ) 
C_  x
104 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  U. y
)  C_  x )  ->  ( x  i^i  U. y )  e.  Fin )
10579, 103, 104sylancl 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
x  i^i  U. y
)  e.  Fin )
106 hashun3 12564 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  i^i  U. y )  e.  Fin  /\  ( x  i^i  z
)  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  u.  (
x  i^i  z )
) )  =  ( ( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  (
# `  ( x  i^i  z ) ) )  -  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  i^i  (
x  i^i  z )
) ) ) )
107105, 82, 106syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( ( x  i^i  U. y )  u.  ( x  i^i  z ) ) )  =  ( ( (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( # `  (
x  i^i  z )
) )  -  ( # `
 ( ( x  i^i  U. y )  i^i  ( x  i^i  z ) ) ) ) )
108 indi 3720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) )  =  ( ( x  i^i  U. y )  u.  (
x  i^i  z )
)
109108fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) )  =  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  u.  (
x  i^i  z )
) )
110 inindi 3680 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  =  ( ( x  i^i  U. y )  i^i  (
x  i^i  z )
)
111110fveq2i 5882 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) )  =  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  i^i  (
x  i^i  z )
) )
112111oveq2i 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  (
# `  ( x  i^i  z ) ) )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )  =  ( ( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  (
# `  ( x  i^i  z ) ) )  -  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  i^i  (
x  i^i  z )
) ) )
113107, 109, 1123eqtr4g 2489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) ) )  =  ( ( (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( # `  (
x  i^i  z )
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) )
114 hashcl 12539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  U. y
)  e.  Fin  ->  (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  e.  NN0 )
115105, 114syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  U. y ) )  e. 
NN0 )
116115nn0cnd 10929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  U. y ) )  e.  CC )
117 hashcl 12539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  z )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( x  i^i  z ) )  e. 
NN0 )
11882, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  z ) )  e. 
NN0 )
119118nn0cnd 10929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  z ) )  e.  CC )
120 inss1 3683 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  C_  x
121 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) )  C_  x
)  ->  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  e. 
Fin )
12279, 120, 121sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  e.  Fin )
123 hashcl 12539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) )  e.  NN0 )
124122, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) )  e.  NN0 )
125124nn0cnd 10929 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) )  e.  CC )
126116, 119, 125addsubassd 10008 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  (
# `  ( x  i^i  z ) ) )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )  =  ( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  ( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) ) ) )
127113, 126eqtrd 2464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) ) )  =  ( ( # `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) ) ) )
128127oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( # `  x )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  =  ( ( # `  x
)  -  ( (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) ) ) )
129 hashcl 12539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
130129adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
131130nn0cnd 10929 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 x )  e.  CC )
132119, 125subcld 9988 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( x  i^i  z ) )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
133131, 116, 132subsub4d 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) )  -  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) )  =  ( ( # `  x
)  -  ( (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) ) ) )
134128, 133eqtr4d 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( # `  x )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  =  ( ( ( # `  x )  -  ( # `
 ( x  i^i  U. y ) ) )  -  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) ) )
135134adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  ( ( (
# `  x )  -  ( # `  (
x  i^i  U. y
) ) )  -  ( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) ) ) )
136 disjdif 3868 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P y  i^i  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )  =  (/)
137136a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( ~P y  i^i  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )  =  (/) )
138 ssun1 3630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
139 sspwb 4668 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  <->  ~P y  C_  ~P (
y  u.  { z } ) )
140138, 139mpbi 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P y  C_ 
~P ( y  u. 
{ z } )
141 undif 3877 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P y  C_  ~P (
y  u.  { z } )  <->  ( ~P y  u.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )  =  ~P ( y  u. 
{ z } ) )
142140, 141mpbi 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P y  u.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )  =  ~P ( y  u. 
{ z } )
143142eqcomi 2436 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P (
y  u.  { z } )  =  ( ~P y  u.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ~P ( y  u.  {
z } )  =  ( ~P y  u.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) ) )
145 simpll 759 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  y  e.  Fin )
146 snfi 7655 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  Fin
147 unfi 7842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
148145, 146, 147sylancl 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
149 pwfi 7873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  { z } )  e.  Fin  <->  ~P ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
150148, 149sylib 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ~P ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
15155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  -u 1  e.  CC )
152 elpwi 3989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ~P ( y  u.  { z } )  ->  s  C_  ( y  u.  {
z } ) )
153 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  s  C_  ( y  u.  {
z } ) )  ->  s  e.  Fin )
154148, 152, 153syl2an 480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  s  e.  Fin )
155 hashcl 12539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  Fin  ->  ( # `
 s )  e. 
NN0 )
156154, 155syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  s
)  e.  NN0 )
157151, 156expcld 12417 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  e.  CC )
158 simplr 761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  x  e.  Fin )
159 inss1 3683 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  i^i  |^| s )  C_  x
160 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  |^| s
)  C_  x )  ->  ( x  i^i  |^| s )  e.  Fin )
161158, 159, 160sylancl 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( x  i^i  |^| s )  e. 
Fin )
162 hashcl 12539 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  |^| s
)  e.  Fin  ->  (
# `  ( x  i^i  |^| s ) )  e.  NN0 )
163161, 162syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) )  e.  NN0 )
164163nn0cnd 10929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) )  e.  CC )
165157, 164mulcld 9665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  e.  CC )
166137, 144, 150, 165fsumsplit 13799 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  +  sum_ s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
167 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( # `  s
)  =  ( # `  ( t  u.  {
z } ) ) )
168167oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) ) ) )
169 inteq 4256 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  |^| s  =  |^| ( t  u.  {
z } ) )
17027intunsn 4293 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  |^| (
t  u.  { z } )  =  (
|^| t  i^i  z
)
171169, 170syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  |^| s  =  (
|^| t  i^i  z
) )
172171ineq2d 3665 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( x  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) )
173172fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z
) ) ) )
174168, 173oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  (
t  u.  { z } ) ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) ) )
175 pwfi 7873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Fin  <->  ~P y  e.  Fin )
176145, 175sylib 200 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ~P y  e.  Fin )
177 eqid 2423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ~P y  |->  ( u  u.  { z } ) )  =  ( u  e.  ~P y  |->  ( u  u. 
{ z } ) )
178 elpwi 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ~P y  ->  u  C_  y )
179178adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  ->  u  C_  y )
180 unss1 3636 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u 
C_  y  ->  (
u  u.  { z } )  C_  (
y  u.  { z } ) )
181179, 180syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( u  u.  {
z } )  C_  ( y  u.  {
z } ) )
182 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  u  e. 
_V
183 snex 4660 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z }  e.  _V
184182, 183unex 6601 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  u.  { z } )  e.  _V
185184elpw 3986 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  ~P ( y  u.  {
z } )  <->  ( u  u.  { z } ) 
C_  ( y  u. 
{ z } ) )
186181, 185sylibr 216 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( u  u.  {
z } )  e. 
~P ( y  u. 
{ z } ) )
187 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  ->  -.  z  e.  y
)
188 elpwi 3989 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  ~P y  ->  ( u  u. 
{ z } ) 
C_  y )
189 ssun2 3631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { z }  C_  ( u  u.  { z } )
19027snss 4122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( u  u. 
{ z } )  <->  { z }  C_  ( u  u.  { z } ) )
191189, 190mpbir 213 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e.  ( u  u.  {
z } )
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
z  e.  ( u  u.  { z } ) )
193 ssel 3459 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  u.  { z } )  C_  y  ->  ( z  e.  ( u  u.  { z } )  ->  z  e.  y ) )
194192, 193syl5com 32 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( ( u  u. 
{ z } ) 
C_  y  ->  z  e.  y ) )
195188, 194syl5 34 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( ( u  u. 
{ z } )  e.  ~P y  -> 
z  e.  y ) )
196187, 195mtod 181 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  ->  -.  ( u  u.  {
z } )  e. 
~P y )
197186, 196eldifd 3448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( u  u.  {
z } )  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )
198 eldifi 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  ( ~P (
y  u.  { z } )  \  ~P y )  ->  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )
199198adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )
200199elpwid 3990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  s  C_  ( y  u.  {
z } ) )
201 uncom 3611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  u.  { z } )  =  ( { z }  u.  y
)
202200, 201syl6sseq 3511 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  s  C_  ( { z }  u.  y ) )
203 ssundif 3880 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s 
C_  ( { z }  u.  y )  <-> 
( s  \  {
z } )  C_  y )
204202, 203sylib 200 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  (
s  \  { z } )  C_  y
)
205 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
206205elpw2 4586 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  \  { z } )  e.  ~P y 
<->  ( s  \  {
z } )  C_  y )
207204, 206sylibr 216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  (
s  \  { z } )  e.  ~P y )
208 elpwunsn 4038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  ( ~P (
y  u.  { z } )  \  ~P y )  ->  z  e.  s )
209208ad2antll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  z  e.  s )
210209snssd 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  { z } 
C_  s )
211 ssequn2 3640 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { z }  C_  s  <->  ( s  u.  { z } )  =  s )
212210, 211sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( s  u. 
{ z } )  =  s )
213212eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  s  =  ( s  u.  { z } ) )
214 uneq1 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( s  \  { z } )  ->  ( u  u. 
{ z } )  =  ( ( s 
\  { z } )  u.  { z } ) )
215 undif1 3871 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( s  u.  {
z } )
216214, 215syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  ( s  \  { z } )  ->  ( u  u. 
{ z } )  =  ( s  u. 
{ z } ) )
217216eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( s  \  { z } )  ->  ( s  =  ( u  u.  {
z } )  <->  s  =  ( s  u.  {
z } ) ) )
218213, 217syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( u  =  ( s  \  {
z } )  -> 
s  =  ( u  u.  { z } ) ) )
219178ad2antrl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  u  C_  y
)
220 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
221219, 220ssneldd 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  -.  z  e.  u )
222 difsnb 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  u  <->  ( u  \  { z } )  =  u )
223221, 222sylib 200 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( u  \  { z } )  =  u )
224223eqcomd 2431 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  u  =  ( u  \  { z } ) )
225 difeq1 3577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( s  \  { z } )  =  ( ( u  u.  { z } )  \  { z } ) )
226 difun2 3876 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  u.  { z } )  \  {
z } )  =  ( u  \  {
z } )
227225, 226syl6eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( s  \  { z } )  =  ( u  \  { z } ) )
228227eqeq2d 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( u  =  ( s  \  {
z } )  <->  u  =  ( u  \  { z } ) ) )
229224, 228syl5ibrcom 226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( s  =  ( u  u.  {
z } )  ->  u  =  ( s  \  { z } ) ) )
230218, 229impbid 194 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( u  =  ( s  \  {
z } )  <->  s  =  ( u  u.  { z } ) ) )
231177, 197, 207, 230f1o2d 6533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
u  e.  ~P y  |->  ( u  u.  {
z } ) ) : ~P y -1-1-onto-> ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )
232 uneq1 3614 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  t  ->  (
u  u.  { z } )  =  ( t  u.  { z } ) )
233 vex 3085 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  t  e. 
_V
234233, 183unex 6601 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  u.  { z } )  e.  _V
235232, 177, 234fvmpt 5962 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ~P y  -> 
( ( u  e. 
~P y  |->  ( u  u.  { z } ) ) `  t
)  =  ( t  u.  { z } ) )
236235adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  t  e.  ~P y )  -> 
( ( u  e. 
~P y  |->  ( u  u.  { z } ) ) `  t
)  =  ( t  u.  { z } ) )
237198, 165sylan2 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  e.  CC )
238174, 176, 231, 236, 237fsumf1o 13782 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ t  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  (
t  u.  { z } ) ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) ) )
239 uneq1 3614 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  s  ->  (
t  u.  { z } )  =  ( s  u.  { z } ) )
240239fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  s  ->  ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) )  =  ( # `  ( s  u.  {
z } ) ) )
241240oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  ( -u 1 ^ ( # `  ( t  u.  {
z } ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( # `  ( s  u.  {
z } ) ) ) )
242 inteq 4256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  s  ->  |^| t  =  |^| s )
243242ineq1d 3664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  s  ->  ( |^| t  i^i  z
)  =  ( |^| s  i^i  z ) )
244243ineq2d 3665 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  s  ->  (
x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) )  =  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )
245244fveq2d 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) )  =  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )
246241, 245oveq12d 6321 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
247246cbvsumv 13755 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ t  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )
248 elpwi 3989 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  ~P y  -> 
s  C_  y )
249 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  s  C_  y )  -> 
s  e.  Fin )
250145, 248, 249syl2an 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
s  e.  Fin )
251248adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
s  C_  y )
252 simpllr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  ->  -.  z  e.  y
)
253251, 252ssneldd 3468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  ->  -.  z  e.  s
)
254 hashunsng 12572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( s  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  s )  ->  ( # `  (
s  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  s
)  +  1 ) ) )
25527, 254ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  -.  z  e.  s
)  ->  ( # `  (
s  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  s
)  +  1 ) )
256250, 253, 255syl2anc 666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( # `  ( s  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  s
)  +  1 ) )
257256oveq2d 6319 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( # `  s )  +  1 ) ) )
25855a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  ->  -u 1  e.  CC )
259250, 155syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( # `  s )  e.  NN0 )
260258, 259expp1d 12418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ (
( # `  s )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  -u 1 ) )
261257, 260eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  -u 1
) )
262140sseli 3461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  ~P y  -> 
s  e.  ~P (
y  u.  { z } ) )
263262, 157sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  e.  CC )
264258, 263mulcomd 9666 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( # `  s ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  -u 1 ) )
265263mulm1d 10072 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( # `  s ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( # `  s
) ) )
266261, 264, 2653eqtr2d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( # `
 s ) ) )
267266oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  (
s  u.  { z } ) ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  (
-u ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
268 inss1 3683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )  C_  x
269 ssfi 7796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z
) )  C_  x
)  ->  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )  e. 
Fin )
270158, 268, 269sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )  e. 
Fin )
271 hashcl 12539 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )  e.  NN0 )
272270, 271syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )  e.  NN0 )
273272nn0cnd 10929 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )  e.  CC )
274262, 273sylan2 477 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( # `  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )  e.  CC )
275263, 274mulneg1d 10073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  -u (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
276267, 275eqtrd 2464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  (
s  u.  { z } ) ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  -u ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
277276sumeq2dv 13762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y -u (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
278247, 277syl5eq 2476 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ t  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y -u (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
279157, 273mulcld 9665 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
280262, 279sylan2 477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
281176, 280fsumneg 13841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  y -u (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  -u sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
282238, 278, 2813eqtrd 2468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  =  -u sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
283282oveq2d 6319 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  +  sum_ s  e.  ( ~P ( y  u. 
{ z } ) 
\  ~P y ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )  =  ( sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  +  -u sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
284140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ~P y  C_  ~P ( y  u.  { z } ) )
285284sselda 3465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
s  e.  ~P (
y  u.  { z } ) )
286285, 165syldan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  e.  CC )
287176, 286fsumcl 13792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  e.  CC )
288285, 279syldan 473 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
289176, 288fsumcl 13792 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
290287, 289negsubd 9994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  +  -u sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )  =  ( sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  -  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
291166, 283, 2903eqtrd 2468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  -  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
292291adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  ->  sum_ s  e.  ~P  (
y  u.  { z } ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  =  (
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  -  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
293102, 135, 2923eqtr4d 2474 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
294293ex 436 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  ->  (
( # `  x )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
295294ralrimdva 2844 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  ->  A. x  e.  Fin  ( ( # `  x )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
296 ineq1 3658 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  x  ->  (
b  i^i  ( U. y  u.  z )
)  =  ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) ) )
297296fveq2d 5883 . . . . . . 7  |-  ( b  =  x  ->  ( # `
 ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) )  =  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )
29867, 297oveq12d 6321 . . . . . 6  |-  ( b  =  x  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  =  ( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) ) )
299 ineq1 3658 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  x  ->  (
b  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  |^| s ) )
300299fveq2d 5883 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  x  ->  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )
301300oveq2d 6319 . . . . . . 7  |-  ( b  =  x  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
302301sumeq2sdv 13763 . . . . . 6  |-  ( b  =  x  ->  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
303298, 302eqeq12d 2445 . . . . 5  |-  ( b  =  x  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) )  <-> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
304303cbvralv 3056 . . . 4  |-  ( A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. x  e.  Fin  ( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
305295, 304syl6ibr 231 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  ->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
30616, 24, 38, 46, 66, 305findcard2s 7816 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )
307 fveq2 5879 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( # `
 b )  =  ( # `  B
) )
308 ineq1 3658 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
b  i^i  U. A )  =  ( B  i^i  U. A ) )
309308fveq2d 5883 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. A ) )  =  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )
310307, 309oveq12d 6321 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. A ) ) )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) ) )
311 simpl 459 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  =  B  /\  s  e.  ~P A
)  ->  b  =  B )
312311ineq1d 3664 . . . . . . 7  |-  ( ( b  =  B  /\  s  e.  ~P A
)  ->  ( b  i^i  |^| s )  =  ( B  i^i  |^| s ) )
313312fveq2d 5883 . . . . . 6  |-  ( ( b  =  B  /\  s  e.  ~P A
)  ->  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  ( B  i^i  |^| s ) ) )
314313oveq2d 6319 . . . . 5  |-  ( ( b  =  B  /\  s  e.  ~P A
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
315314sumeq2dv 13762 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  sum_ s  e.  ~P  A ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
316310, 315eqeq12d 2445 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( B  i^i  |^| s ) ) ) ) )
317316rspccva 3182 . 2  |-  ( ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  /\  B  e.  Fin )  ->  (
( # `  B )  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
318306, 317sylan 474 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   A.wral 2776   _Vcvv 3082    \ cdif 3434    u. cun 3435    i^i cin 3436    C_ wss 3437   (/)c0 3762   ~Pcpw 3980   {csn 3997   U.cuni 4217   |^|cint 4253    |-> cmpt 4480   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   Fincfn 7575   CCcc 9539   0cc0 9541   1c1 9542    + caddc 9544    x. cmul 9546    - cmin 9862   -ucneg 9863   NN0cn0 10871   ^cexp 12273   #chash 12516   sum_csu 13745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-er 7369  df-map 7480  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-sup 7960  df-oi 8029  df-card 8376  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-rp 11305  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-seq 12215  df-exp 12274  df-hash 12517  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-clim 13545  df-sum 13746
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