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Theorem incexclem 13660
Description: Lemma for incexc 13661. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexclem  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
Distinct variable groups:    A, s    B, s

Proof of Theorem incexclem
Dummy variables  b 
t  u  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 unieq 4259 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  U. (/) )
2 uni0 4278 . . . . . . . . . . 11  |-  U. (/)  =  (/)
31, 2syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  U. x  =  (/) )
43ineq2d 3696 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( b  i^i  U. x )  =  ( b  i^i  (/) ) )
5 in0 3820 . . . . . . . . 9  |-  ( b  i^i  (/) )  =  (/)
64, 5syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  (/)  ->  ( b  i^i  U. x )  =  (/) )
76fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  ( b  i^i  U. x ) )  =  ( # `  (/) ) )
8 hash0 12440 . . . . . . 7  |-  ( # `  (/) )  =  0
97, 8syl6eq 2514 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( # `  ( b  i^i  U. x ) )  =  0 )
109oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  =  ( ( # `  b
)  -  0 ) )
11 pweq 4018 . . . . . . 7  |-  ( x  =  (/)  ->  ~P x  =  ~P (/) )
12 pw0 4179 . . . . . . 7  |-  ~P (/)  =  { (/)
}
1311, 12syl6eq 2514 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ~P x  =  { (/) } )
1413sumeq1d 13535 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  sum_ s  e.  ~P  x ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  { (/) }  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )
1510, 14eqeq12d 2479 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 b )  - 
0 )  =  sum_ s  e.  { (/) }  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
1615ralbidv 2896 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  0 )  =  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
17 unieq 4259 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  U. x  =  U. y )
1817ineq2d 3696 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
b  i^i  U. x
)  =  ( b  i^i  U. y ) )
1918fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. x ) )  =  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )
2019oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  =  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) ) )
21 pweq 4018 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ~P x  =  ~P y
)
2221sumeq1d 13535 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  sum_ s  e.  ~P  x ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) )
2320, 22eqeq12d 2479 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 b )  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
2423ralbidv 2896 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
25 unieq 4259 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U. x  =  U. ( y  u.  {
z } ) )
26 uniun 4270 . . . . . . . . . 10  |-  U. (
y  u.  { z } )  =  ( U. y  u.  U. { z } )
27 vex 3112 . . . . . . . . . . . 12  |-  z  e. 
_V
2827unisn 4266 . . . . . . . . . . 11  |-  U. {
z }  =  z
2928uneq2i 3651 . . . . . . . . . 10  |-  ( U. y  u.  U. { z } )  =  ( U. y  u.  z
)
3026, 29eqtri 2486 . . . . . . . . 9  |-  U. (
y  u.  { z } )  =  ( U. y  u.  z
)
3125, 30syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  U. x  =  ( U. y  u.  z
) )
3231ineq2d 3696 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( b  i^i  U. x )  =  ( b  i^i  ( U. y  u.  z )
) )
3332fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( # `  (
b  i^i  U. x
) )  =  (
# `  ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )
3433oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. x ) ) )  =  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) ) )
35 pweq 4018 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ~P x  =  ~P ( y  u. 
{ z } ) )
3635sumeq1d 13535 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  (
y  u.  { z } ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )
3734, 36eqeq12d 2479 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 b )  -  ( # `  ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
3837ralbidv 2896 . . 3  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
39 unieq 4259 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  A  ->  U. x  =  U. A )
4039ineq2d 3696 . . . . . . 7  |-  ( x  =  A  ->  (
b  i^i  U. x
)  =  ( b  i^i  U. A ) )
4140fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. x ) )  =  ( # `  (
b  i^i  U. A ) ) )
4241oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. x
) ) )  =  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. A ) ) ) )
43 pweq 4018 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ~P x  =  ~P A
)
4443sumeq1d 13535 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  sum_ s  e.  ~P  x ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) )
4542, 44eqeq12d 2479 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 b )  -  ( # `  ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
4645ralbidv 2896 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. x ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  x ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
47 hashcl 12431 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  Fin  ->  ( # `
 b )  e. 
NN0 )
4847nn0cnd 10875 . . . . . 6  |-  ( b  e.  Fin  ->  ( # `
 b )  e.  CC )
4948mulid2d 9631 . . . . 5  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
1  x.  ( # `  b ) )  =  ( # `  b
) )
50 0ex 4587 . . . . . 6  |-  (/)  e.  _V
5149, 48eqeltrd 2545 . . . . . 6  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
1  x.  ( # `  b ) )  e.  CC )
52 fveq2 5872 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  s )  =  (
# `  (/) ) )
5352, 8syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  s )  =  0 )
5453oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
55 neg1cn 10660 . . . . . . . . . 10  |-  -u 1  e.  CC
56 exp0 12173 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
5755, 56ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
5854, 57syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  (/)  ->  ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  =  1 )
59 rint0 4329 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( b  i^i  |^| s )  =  b )
6059fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  ( b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  b
) )
6158, 60oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( s  =  (/)  ->  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  b ) ) )
6261sumsn 13575 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (
1  x.  ( # `  b ) )  e.  CC )  ->  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  b ) ) )
6350, 51, 62sylancr 663 . . . . 5  |-  ( b  e.  Fin  ->  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  b ) ) )
6448subid1d 9939 . . . . 5  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( # `  b )  -  0 )  =  ( # `  b
) )
6549, 63, 643eqtr4rd 2509 . . . 4  |-  ( b  e.  Fin  ->  (
( # `  b )  -  0 )  = 
sum_ s  e.  { (/)
}  ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )
6665rgen 2817 . . 3  |-  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  0 )  =  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )
67 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  ( # `
 b )  =  ( # `  x
) )
68 ineq1 3689 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  x  ->  (
b  i^i  U. y
)  =  ( x  i^i  U. y ) )
6968fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  x  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. y ) )  =  ( # `  (
x  i^i  U. y
) ) )
7067, 69oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  =  ( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) ) )
71 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b  =  x  /\  s  e.  ~P y
)  ->  b  =  x )
7271ineq1d 3695 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  =  x  /\  s  e.  ~P y
)  ->  ( b  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  |^| s ) )
7372fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( b  =  x  /\  s  e.  ~P y
)  ->  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  ( x  i^i  |^| s ) ) )
7473oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( b  =  x  /\  s  e.  ~P y
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
7574sumeq2dv 13537 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  x  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
7670, 75eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  x  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 x )  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
7776rspcva 3208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  A. b  e.  Fin  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) ) )
7877adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) ) )
79 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  x  e.  Fin )
80 inss1 3714 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  i^i  z )  C_  x
81 ssfi 7759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  z
)  C_  x )  ->  ( x  i^i  z
)  e.  Fin )
8279, 80, 81sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
x  i^i  z )  e.  Fin )
83 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  ( # `
 b )  =  ( # `  (
x  i^i  z )
) )
84 ineq1 3689 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
b  i^i  U. y
)  =  ( ( x  i^i  z )  i^i  U. y ) )
85 in32 3706 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  z )  i^i  U. y )  =  ( ( x  i^i  U. y )  i^i  z )
86 inass 3704 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  U. y
)  i^i  z )  =  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )
8785, 86eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  z )  i^i  U. y )  =  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )
8884, 87syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
b  i^i  U. y
)  =  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) )
8988fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. y ) )  =  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )
9083, 89oveq12d 6314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  =  ( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) ) )
91 ineq1 3689 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
b  i^i  |^| s )  =  ( ( x  i^i  z )  i^i  |^| s ) )
92 in32 3706 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  z )  i^i  |^| s )  =  ( ( x  i^i  |^| s )  i^i  z
)
93 inass 3704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  i^i  |^| s
)  i^i  z )  =  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )
9492, 93eqtri 2486 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  i^i  z )  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z
) )
9591, 94syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
b  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )
9695fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )
9796oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
9897sumeq2sdv 13538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
9990, 98eqeq12d 2479 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  =  ( x  i^i  z )  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 ( x  i^i  z ) )  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
10099rspcva 3208 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( x  i^i  z
)  e.  Fin  /\  A. b  e.  Fin  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
10182, 100sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
10278, 101oveq12d 6314 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( ( # `  x )  -  ( # `
 ( x  i^i  U. y ) ) )  -  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) )  =  (
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  -  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
103 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  i^i  U. y ) 
C_  x
104 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  U. y
)  C_  x )  ->  ( x  i^i  U. y )  e.  Fin )
10579, 103, 104sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
x  i^i  U. y
)  e.  Fin )
106 hashun3 12455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  i^i  U. y )  e.  Fin  /\  ( x  i^i  z
)  e.  Fin )  ->  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  u.  (
x  i^i  z )
) )  =  ( ( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  (
# `  ( x  i^i  z ) ) )  -  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  i^i  (
x  i^i  z )
) ) ) )
107105, 82, 106syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( ( x  i^i  U. y )  u.  ( x  i^i  z ) ) )  =  ( ( (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( # `  (
x  i^i  z )
) )  -  ( # `
 ( ( x  i^i  U. y )  i^i  ( x  i^i  z ) ) ) ) )
108 indi 3751 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) )  =  ( ( x  i^i  U. y )  u.  (
x  i^i  z )
)
109108fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) )  =  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  u.  (
x  i^i  z )
) )
110 inindi 3711 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  =  ( ( x  i^i  U. y )  i^i  (
x  i^i  z )
)
111110fveq2i 5875 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) )  =  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  i^i  (
x  i^i  z )
) )
112111oveq2i 6307 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  (
# `  ( x  i^i  z ) ) )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )  =  ( ( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  (
# `  ( x  i^i  z ) ) )  -  ( # `  (
( x  i^i  U. y )  i^i  (
x  i^i  z )
) ) )
113107, 109, 1123eqtr4g 2523 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) ) )  =  ( ( (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( # `  (
x  i^i  z )
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) )
114 hashcl 12431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  U. y
)  e.  Fin  ->  (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  e.  NN0 )
115105, 114syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  U. y ) )  e. 
NN0 )
116115nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  U. y ) )  e.  CC )
117 hashcl 12431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  z )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( x  i^i  z ) )  e. 
NN0 )
11882, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  z ) )  e. 
NN0 )
119118nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  z ) )  e.  CC )
120 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  C_  x
121 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) )  C_  x
)  ->  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  e. 
Fin )
12279, 120, 121sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  e.  Fin )
123 hashcl 12431 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) )  e.  NN0 )
124122, 123syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) )  e.  NN0 )
125124nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) )  e.  CC )
126116, 119, 125addsubassd 9970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  (
# `  ( x  i^i  z ) ) )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )  =  ( ( # `  (
x  i^i  U. y
) )  +  ( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) ) ) )
127113, 126eqtrd 2498 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) ) )  =  ( ( # `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) ) ) )
128127oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( # `  x )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  =  ( ( # `  x
)  -  ( (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) ) ) )
129 hashcl 12431 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  Fin  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
130129adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 x )  e. 
NN0 )
131130nn0cnd 10875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( # `
 x )  e.  CC )
132119, 125subcld 9950 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( # `  ( x  i^i  z ) )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
133131, 116, 132subsub4d 9981 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  U. y ) ) )  -  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) )  =  ( ( # `  x
)  -  ( (
# `  ( x  i^i  U. y ) )  +  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) ) ) )
134128, 133eqtr4d 2501 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
( # `  x )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  =  ( ( ( # `  x )  -  ( # `
 ( x  i^i  U. y ) ) )  -  ( ( # `  ( x  i^i  z
) )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  i^i  z ) ) ) ) ) )
135134adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  ( ( (
# `  x )  -  ( # `  (
x  i^i  U. y
) ) )  -  ( ( # `  (
x  i^i  z )
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  i^i  z
) ) ) ) ) )
136 disjdif 3903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ~P y  i^i  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )  =  (/)
137136a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( ~P y  i^i  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )  =  (/) )
138 ssun1 3663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  y  C_  ( y  u.  {
z } )
139 sspwb 4705 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  ( y  u. 
{ z } )  <->  ~P y  C_  ~P (
y  u.  { z } ) )
140138, 139mpbi 208 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P y  C_ 
~P ( y  u. 
{ z } )
141 undif 3911 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ~P y  C_  ~P (
y  u.  { z } )  <->  ( ~P y  u.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )  =  ~P ( y  u. 
{ z } ) )
142140, 141mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ~P y  u.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )  =  ~P ( y  u. 
{ z } )
143142eqcomi 2470 . . . . . . . . . . 11  |-  ~P (
y  u.  { z } )  =  ( ~P y  u.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )
144143a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ~P ( y  u.  {
z } )  =  ( ~P y  u.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) ) )
145 simpll 753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  y  e.  Fin )
146 snfi 7615 . . . . . . . . . . . 12  |-  { z }  e.  Fin
147 unfi 7805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  { z }  e.  Fin )  ->  ( y  u. 
{ z } )  e.  Fin )
148145, 146, 147sylancl 662 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
y  u.  { z } )  e.  Fin )
149 pwfi 7833 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  u.  { z } )  e.  Fin  <->  ~P ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
150148, 149sylib 196 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ~P ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin )
15155a1i 11 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  -u 1  e.  CC )
152 elpwi 4024 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  ~P ( y  u.  { z } )  ->  s  C_  ( y  u.  {
z } ) )
153 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( y  u.  {
z } )  e. 
Fin  /\  s  C_  ( y  u.  {
z } ) )  ->  s  e.  Fin )
154148, 152, 153syl2an 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  s  e.  Fin )
155 hashcl 12431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  Fin  ->  ( # `
 s )  e. 
NN0 )
156154, 155syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  s
)  e.  NN0 )
157151, 156expcld 12313 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  e.  CC )
158 simplr 755 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  x  e.  Fin )
159 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  i^i  |^| s )  C_  x
160 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  |^| s
)  C_  x )  ->  ( x  i^i  |^| s )  e.  Fin )
161158, 159, 160sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( x  i^i  |^| s )  e. 
Fin )
162 hashcl 12431 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  i^i  |^| s
)  e.  Fin  ->  (
# `  ( x  i^i  |^| s ) )  e.  NN0 )
163161, 162syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) )  e.  NN0 )
164163nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) )  e.  CC )
165157, 164mulcld 9633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  e.  CC )
166137, 144, 150, 165fsumsplit 13574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  +  sum_ s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
167 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( # `  s
)  =  ( # `  ( t  u.  {
z } ) ) )
168167oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  =  (
-u 1 ^ ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) ) ) )
169 inteq 4291 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  |^| s  =  |^| ( t  u.  {
z } ) )
17027intunsn 4328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  |^| (
t  u.  { z } )  =  (
|^| t  i^i  z
)
171169, 170syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  |^| s  =  (
|^| t  i^i  z
) )
172171ineq2d 3696 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( x  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) )
173172fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z
) ) ) )
174168, 173oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( t  u. 
{ z } )  ->  ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  (
t  u.  { z } ) ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) ) )
175 pwfi 7833 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  Fin  <->  ~P y  e.  Fin )
176145, 175sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ~P y  e.  Fin )
177 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  e.  ~P y  |->  ( u  u.  { z } ) )  =  ( u  e.  ~P y  |->  ( u  u. 
{ z } ) )
178 elpwi 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  e.  ~P y  ->  u  C_  y )
179178adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  ->  u  C_  y )
180 unss1 3669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u 
C_  y  ->  (
u  u.  { z } )  C_  (
y  u.  { z } ) )
181179, 180syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( u  u.  {
z } )  C_  ( y  u.  {
z } ) )
182 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  u  e. 
_V
183 snex 4697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  { z }  e.  _V
184182, 183unex 6597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  u.  { z } )  e.  _V
185184elpw 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  ~P ( y  u.  {
z } )  <->  ( u  u.  { z } ) 
C_  ( y  u. 
{ z } ) )
186181, 185sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( u  u.  {
z } )  e. 
~P ( y  u. 
{ z } ) )
187 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  ->  -.  z  e.  y
)
188 elpwi 4024 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( u  u.  { z } )  e.  ~P y  ->  ( u  u. 
{ z } ) 
C_  y )
189 ssun2 3664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  { z }  C_  ( u  u.  { z } )
19027snss 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  e.  ( u  u. 
{ z } )  <->  { z }  C_  ( u  u.  { z } ) )
191189, 190mpbir 209 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  z  e.  ( u  u.  {
z } )
192191a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
z  e.  ( u  u.  { z } ) )
193 ssel 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  u.  { z } )  C_  y  ->  ( z  e.  ( u  u.  { z } )  ->  z  e.  y ) )
194192, 193syl5com 30 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( ( u  u. 
{ z } ) 
C_  y  ->  z  e.  y ) )
195188, 194syl5 32 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( ( u  u. 
{ z } )  e.  ~P y  -> 
z  e.  y ) )
196187, 195mtod 177 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  ->  -.  ( u  u.  {
z } )  e. 
~P y )
197186, 196eldifd 3482 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  u  e.  ~P y )  -> 
( u  u.  {
z } )  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )
198 eldifi 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  ( ~P (
y  u.  { z } )  \  ~P y )  ->  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )
199198adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )
200199elpwid 4025 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  s  C_  ( y  u.  {
z } ) )
201 uncom 3644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  u.  { z } )  =  ( { z }  u.  y
)
202200, 201syl6sseq 3545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  s  C_  ( { z }  u.  y ) )
203 ssundif 3914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s 
C_  ( { z }  u.  y )  <-> 
( s  \  {
z } )  C_  y )
204202, 203sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  (
s  \  { z } )  C_  y
)
205 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  y  e. 
_V
206205elpw2 4620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( s  \  { z } )  e.  ~P y 
<->  ( s  \  {
z } )  C_  y )
207204, 206sylibr 212 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  (
s  \  { z } )  e.  ~P y )
208 elpwunsn 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( s  e.  ( ~P (
y  u.  { z } )  \  ~P y )  ->  z  e.  s )
209208ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  z  e.  s )
210209snssd 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  { z } 
C_  s )
211 ssequn2 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { z }  C_  s  <->  ( s  u.  { z } )  =  s )
212210, 211sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( s  u. 
{ z } )  =  s )
213212eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  s  =  ( s  u.  { z } ) )
214 uneq1 3647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  ( s  \  { z } )  ->  ( u  u. 
{ z } )  =  ( ( s 
\  { z } )  u.  { z } ) )
215 undif1 3906 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( s  \  { z } )  u.  {
z } )  =  ( s  u.  {
z } )
216214, 215syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  ( s  \  { z } )  ->  ( u  u. 
{ z } )  =  ( s  u. 
{ z } ) )
217216eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( u  =  ( s  \  { z } )  ->  ( s  =  ( u  u.  {
z } )  <->  s  =  ( s  u.  {
z } ) ) )
218213, 217syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( u  =  ( s  \  {
z } )  -> 
s  =  ( u  u.  { z } ) ) )
219178ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  u  C_  y
)
220 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  -.  z  e.  y )
221219, 220ssneldd 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  -.  z  e.  u )
222 difsnb 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -.  z  e.  u  <->  ( u  \  { z } )  =  u )
223221, 222sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( u  \  { z } )  =  u )
224223eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  u  =  ( u  \  { z } ) )
225 difeq1 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( s  \  { z } )  =  ( ( u  u.  { z } )  \  { z } ) )
226 difun2 3910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( u  u.  { z } )  \  {
z } )  =  ( u  \  {
z } )
227225, 226syl6eq 2514 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( s  \  { z } )  =  ( u  \  { z } ) )
228227eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  ( u  u. 
{ z } )  ->  ( u  =  ( s  \  {
z } )  <->  u  =  ( u  \  { z } ) ) )
229224, 228syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( s  =  ( u  u.  {
z } )  ->  u  =  ( s  \  { z } ) ) )
230218, 229impbid 191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  (
u  e.  ~P y  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) ) )  ->  ( u  =  ( s  \  {
z } )  <->  s  =  ( u  u.  { z } ) ) )
231177, 197, 207, 230f1o2d 6526 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  (
u  e.  ~P y  |->  ( u  u.  {
z } ) ) : ~P y -1-1-onto-> ( ~P ( y  u.  {
z } )  \  ~P y ) )
232 uneq1 3647 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( u  =  t  ->  (
u  u.  { z } )  =  ( t  u.  { z } ) )
233 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  t  e. 
_V
234233, 183unex 6597 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  u.  { z } )  e.  _V
235232, 177, 234fvmpt 5956 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  e.  ~P y  -> 
( ( u  e. 
~P y  |->  ( u  u.  { z } ) ) `  t
)  =  ( t  u.  { z } ) )
236235adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  t  e.  ~P y )  -> 
( ( u  e. 
~P y  |->  ( u  u.  { z } ) ) `  t
)  =  ( t  u.  { z } ) )
237198, 165sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) )  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  e.  CC )
238174, 176, 231, 236, 237fsumf1o 13557 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ t  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  (
t  u.  { z } ) ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) ) )
239 uneq1 3647 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  s  ->  (
t  u.  { z } )  =  ( s  u.  { z } ) )
240239fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  s  ->  ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) )  =  ( # `  ( s  u.  {
z } ) ) )
241240oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  ( -u 1 ^ ( # `  ( t  u.  {
z } ) ) )  =  ( -u
1 ^ ( # `  ( s  u.  {
z } ) ) ) )
242 inteq 4291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( t  =  s  ->  |^| t  =  |^| s )
243242ineq1d 3695 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( t  =  s  ->  ( |^| t  i^i  z
)  =  ( |^| s  i^i  z ) )
244243ineq2d 3696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( t  =  s  ->  (
x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) )  =  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )
245244fveq2d 5876 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( t  =  s  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) )  =  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )
246241, 245oveq12d 6314 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( t  =  s  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) )  =  ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
247246cbvsumv 13530 . . . . . . . . . . . 12  |-  sum_ t  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )
248 elpwi 4024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  ~P y  -> 
s  C_  y )
249 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  s  C_  y )  -> 
s  e.  Fin )
250145, 248, 249syl2an 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
s  e.  Fin )
251248adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
s  C_  y )
252 simpllr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  ->  -.  z  e.  y
)
253251, 252ssneldd 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  ->  -.  z  e.  s
)
254 hashunsng 12463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  e.  _V  ->  (
( s  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  s )  ->  ( # `  (
s  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  s
)  +  1 ) ) )
25527, 254ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  -.  z  e.  s
)  ->  ( # `  (
s  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  s
)  +  1 ) )
256250, 253, 255syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( # `  ( s  u.  { z } ) )  =  ( ( # `  s
)  +  1 ) )
257256oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  =  (
-u 1 ^ (
( # `  s )  +  1 ) ) )
25855a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  ->  -u 1  e.  CC )
259250, 155syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( # `  s )  e.  NN0 )
260258, 259expp1d 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ (
( # `  s )  +  1 ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  -u 1 ) )
261257, 260eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  -u 1
) )
262140sseli 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( s  e.  ~P y  -> 
s  e.  ~P (
y  u.  { z } ) )
263262, 157sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  e.  CC )
264258, 263mulcomd 9634 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( # `  s ) ) )  =  ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  -u 1 ) )
265263mulm1d 10029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( # `  s ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( # `  s
) ) )
266261, 264, 2653eqtr2d 2504 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( # `
 s ) ) )
267266oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  (
s  u.  { z } ) ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  (
-u ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
268 inss1 3714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )  C_  x
269 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( x  e.  Fin  /\  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z
) )  C_  x
)  ->  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )  e. 
Fin )
270158, 268, 269sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )  e. 
Fin )
271 hashcl 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) )  e.  Fin  ->  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )  e.  NN0 )
272270, 271syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )  e.  NN0 )
273272nn0cnd 10875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )  e.  CC )
274262, 273sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( # `  ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) )  e.  CC )
275263, 274mulneg1d 10030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( -u ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  -u (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
276267, 275eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  (
s  u.  { z } ) ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  -u ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
277276sumeq2dv 13537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( s  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y -u (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
278247, 277syl5eq 2510 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ t  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 ( t  u. 
{ z } ) ) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| t  i^i  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y -u (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
279157, 273mulcld 9633 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P ( y  u. 
{ z } ) )  ->  ( ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
280262, 279sylan2 474 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
281176, 280fsumneg 13614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  y -u (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  =  -u sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
282238, 278, 2813eqtrd 2502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P ( y  u.  { z } )  \  ~P y
) ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  =  -u sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )
283282oveq2d 6312 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  +  sum_ s  e.  ( ~P ( y  u. 
{ z } ) 
\  ~P y ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )  =  ( sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  +  -u sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
284140a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ~P y  C_  ~P ( y  u.  { z } ) )
285284sselda 3499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
s  e.  ~P (
y  u.  { z } ) )
286285, 165syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  e.  CC )
287176, 286fsumcl 13567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  e.  CC )
288285, 279syldan 470 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  s  e.  ~P y )  -> 
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
289176, 288fsumcl 13567 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) )  e.  CC )
290287, 289negsubd 9956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  +  -u sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) )  =  ( sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  -  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
291166, 283, 2903eqtrd 2502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  ~P  y ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  -  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
292291adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  ->  sum_ s  e.  ~P  (
y  u.  { z } ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  =  (
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )  -  sum_ s  e.  ~P  y
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  ( |^| s  i^i  z ) ) ) ) ) )
293102, 135, 2923eqtr4d 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  -.  z  e.  y )  /\  x  e.  Fin )  /\  A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )  -> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
294293ex 434 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\ 
-.  z  e.  y )  /\  x  e. 
Fin )  ->  ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. y ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  ->  (
( # `  x )  -  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
295294ralrimdva 2875 . . . 4  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  ->  A. x  e.  Fin  ( ( # `  x )  -  ( # `
 ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
296 ineq1 3689 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  x  ->  (
b  i^i  ( U. y  u.  z )
)  =  ( x  i^i  ( U. y  u.  z ) ) )
297296fveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( b  =  x  ->  ( # `
 ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) )  =  ( # `  (
x  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )
29867, 297oveq12d 6314 . . . . . 6  |-  ( b  =  x  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  =  ( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) ) )
299 ineq1 3689 . . . . . . . . 9  |-  ( b  =  x  ->  (
b  i^i  |^| s )  =  ( x  i^i  |^| s ) )
300299fveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( b  =  x  ->  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  (
x  i^i  |^| s ) ) )
301300oveq2d 6312 . . . . . . 7  |-  ( b  =  x  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
302301sumeq2sdv 13538 . . . . . 6  |-  ( b  =  x  ->  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
303298, 302eqeq12d 2479 . . . . 5  |-  ( b  =  x  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) )  <-> 
( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) ) )
304303cbvralv 3084 . . . 4  |-  ( A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  ( U. y  u.  z )
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) )  <->  A. x  e.  Fin  ( ( # `  x
)  -  ( # `  ( x  i^i  ( U. y  u.  z
) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u.  {
z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( x  i^i  |^| s ) ) ) )
305295, 304syl6ibr 227 . . 3  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  -.  z  e.  y
)  ->  ( A. b  e.  Fin  ( (
# `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. y
) ) )  = 
sum_ s  e.  ~P  y ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  ->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  ( U. y  u.  z ) ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  ( y  u. 
{ z } ) ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( b  i^i  |^| s ) ) ) ) )
30616, 24, 38, 46, 66, 305findcard2s 7779 . 2  |-  ( A  e.  Fin  ->  A. b  e.  Fin  ( ( # `  b )  -  ( # `
 ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) ) )
307 fveq2 5872 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( # `
 b )  =  ( # `  B
) )
308 ineq1 3689 . . . . . 6  |-  ( b  =  B  ->  (
b  i^i  U. A )  =  ( B  i^i  U. A ) )
309308fveq2d 5876 . . . . 5  |-  ( b  =  B  ->  ( # `
 ( b  i^i  U. A ) )  =  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )
310307, 309oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  (
( # `  b )  -  ( # `  (
b  i^i  U. A ) ) )  =  ( ( # `  B
)  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) ) )
311 simpl 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  =  B  /\  s  e.  ~P A
)  ->  b  =  B )
312311ineq1d 3695 . . . . . . 7  |-  ( ( b  =  B  /\  s  e.  ~P A
)  ->  ( b  i^i  |^| s )  =  ( B  i^i  |^| s ) )
313312fveq2d 5876 . . . . . 6  |-  ( ( b  =  B  /\  s  e.  ~P A
)  ->  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  ( B  i^i  |^| s ) ) )
314313oveq2d 6312 . . . . 5  |-  ( ( b  =  B  /\  s  e.  ~P A
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
315314sumeq2dv 13537 . . . 4  |-  ( b  =  B  ->  sum_ s  e.  ~P  A ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
316310, 315eqeq12d 2479 . . 3  |-  ( b  =  B  ->  (
( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  <->  ( ( # `
 B )  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( B  i^i  |^| s ) ) ) ) )
317316rspccva 3209 . 2  |-  ( ( A. b  e.  Fin  ( ( # `  b
)  -  ( # `  ( b  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  (
b  i^i  |^| s ) ) )  /\  B  e.  Fin )  ->  (
( # `  B )  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
318306, 317sylan 471 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  B
)  -  ( # `  ( B  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  x.  ( # `  ( B  i^i  |^| s ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   A.wral 2807   _Vcvv 3109    \ cdif 3468    u. cun 3469    i^i cin 3470    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   U.cuni 4251   |^|cint 4288    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   CCcc 9507   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    - cmin 9824   -ucneg 9825   NN0cn0 10816   ^cexp 12169   #chash 12408   sum_csu 13520
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-seq 12111  df-exp 12170  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521
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