MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  incexc2 Structured version   Unicode version

Theorem incexc2 13389
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
Distinct variable group:    k, n, s, A

Proof of Theorem incexc2
StepHypRef Expression
1 incexc 13388 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
2 hashcl 12213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
32ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
43nn0zd 10832 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 A )  e.  ZZ )
5 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
6 elpwi 3953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ~P A  -> 
k  C_  A )
7 ssdomg 7441 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
k  C_  A  ->  k  ~<_  A ) )
87imp 429 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  k  C_  A )  -> 
k  ~<_  A )
95, 6, 8syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  k  ~<_  A )
10 hashdomi 12231 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  ~<_  A  ->  ( # `  k
)  <_  ( # `  A
) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 k )  <_ 
( # `  A ) )
12 fznn 11613 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 k )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  <-> 
( ( # `  k
)  e.  NN  /\  ( # `  k )  <_  ( # `  A
) ) ) )
1312rbaibd 901 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  ( # `  k )  <_  ( # `  A
) )  ->  (
( # `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( # `  k
)  e.  NN ) )
144, 11, 13syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
( # `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( # `  k
)  e.  NN ) )
15 ssfi 7620 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  k  C_  A )  -> 
k  e.  Fin )
165, 6, 15syl2an 477 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  k  e.  Fin )
17 hashnncl 12221 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Fin  ->  (
( # `  k )  e.  NN  <->  k  =/=  (/) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
( # `  k )  e.  NN  <->  k  =/=  (/) ) )
1914, 18bitr2d 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
k  =/=  (/)  <->  ( # `  k
)  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )
20 df-ne 2643 . . . . . . . 8  |-  ( k  =/=  (/)  <->  -.  k  =  (/) )
21 risset 2849 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  k )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) n  =  ( # `  k
) )
2219, 20, 213bitr3g 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( -.  k  =  (/)  <->  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) n  =  ( # `  k ) ) )
23 elsn 3975 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { (/) }  <->  k  =  (/) )
2423notbii 296 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  { (/) }  <->  -.  k  =  (/) )
25 eqcom 2458 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  k )  =  n  <->  n  =  ( # `
 k ) )
2625rexbii 2820 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ( # `  k )  =  n  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) n  =  ( # `  k
) )
2722, 24, 263bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( -.  k  e.  { (/) }  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) ( # `  k )  =  n ) )
2827rabbidva 3045 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  { k  e.  ~P A  |  -.  k  e.  { (/) } }  =  { k  e.  ~P A  |  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( # `  k
)  =  n }
)
29 dfdif2 3421 . . . . 5  |-  ( ~P A  \  { (/) } )  =  { k  e.  ~P A  |  -.  k  e.  { (/) } }
30 iunrab 4301 . . . . 5  |-  U_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  =  { k  e.  ~P A  |  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( # `  k
)  =  n }
3128, 29, 303eqtr4g 2515 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ~P A  \  { (/) } )  = 
U_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)
3231sumeq1d 13266 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
331, 32eqtrd 2490 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) ) )
34 fzfid 11882 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( 1 ... ( # `
 A ) )  e.  Fin )
35 simpll 753 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A  e.  Fin )
36 pwfi 7693 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
3735, 36sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  ~P A  e.  Fin )
38 ssrab2 3521 . . . 4  |-  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  C_  ~P A
39 ssfi 7620 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\ 
{ k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  C_ 
~P A )  ->  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  e.  Fin )
4037, 38, 39sylancl 662 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  e.  Fin )
41 fveq2 5775 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  s  ->  ( # `
 k )  =  ( # `  s
) )
4241eqeq1d 2452 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  s  ->  (
( # `  k )  =  n  <->  ( # `  s
)  =  n ) )
4342elrab 3200 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  <->  ( s  e.  ~P A  /\  ( # `
 s )  =  n ) )
4443simprbi 464 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ->  ( # `
 s )  =  n )
4544adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  s
)  =  n )
4645ralrimiva 2881 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  ( # `
 s )  =  n )
4746ralrimiva 2881 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) A. s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  s )  =  n )
48 invdisj 4365 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) A. s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  s )  =  n  -> Disj  n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)
4947, 48syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Disj  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n } )
5045oveq1d 6191 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( # `
 s )  - 
1 )  =  ( n  -  1 ) )
5150oveq2d 6192 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  =  (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) ) )
5251oveq1d 6191 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
53 1cnd 9489 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
1  e.  CC )
5453negcld 9793 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
55 elfznn 11565 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  n  e.  NN )
5655adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  n  e.  NN )
57 nnm1nn0 10708 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
5856, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( n  -  1 )  e.  NN0 )
5954, 58expcld 12095 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  e.  CC )
6059adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
61 unifi 7687 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
6261ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  U. A  e. 
Fin )
6356adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  n  e.  NN )
6445, 63eqeltrd 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  s
)  e.  NN )
6535adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  A  e.  Fin )
66 elrabi 3197 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ->  s  e.  ~P A )
6766adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  e.  ~P A )
68 elpwi 3953 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ~P A  -> 
s  C_  A )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  C_  A )
70 ssfi 7620 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  s  C_  A )  -> 
s  e.  Fin )
7165, 69, 70syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  e.  Fin )
72 hashnncl 12221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  Fin  ->  (
( # `  s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( # `
 s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
7464, 73mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  =/=  (/) )
75 intssuni 4234 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =/=  (/)  ->  |^| s  C_  U. s )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  C_  U. s )
7769unissd 4199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  U. s  C_ 
U. A )
7876, 77sstrd 3450 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  C_  U. A )
79 ssfi 7620 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. A  e.  Fin  /\ 
|^| s  C_  U. A
)  ->  |^| s  e. 
Fin )
8062, 78, 79syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  e. 
Fin )
81 hashcl 12213 . . . . . . . 8  |-  ( |^| s  e.  Fin  ->  ( # `
 |^| s )  e. 
NN0 )
8280, 81syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  |^| s )  e.  NN0 )
8382nn0cnd 10725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  |^| s )  e.  CC )
8460, 83mulcld 9493 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8552, 84eqeltrd 2536 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8685anasss 647 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  /\  s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n } ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8734, 40, 49, 86fsumiun 13372 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
8852sumeq2dv 13268 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
8940, 59, 83fsummulc2 13339 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) )  =  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
9088, 89eqtr4d 2493 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
9190sumeq2dv 13268 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( # `  |^| s ) ) )
9233, 87, 913eqtrd 2494 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1757    =/= wne 2641   A.wral 2792   E.wrex 2793   {crab 2796    \ cdif 3409    C_ wss 3412   (/)c0 3721   ~Pcpw 3944   {csn 3961   U.cuni 4175   |^|cint 4212   U_ciun 4255  Disj wdisj 4346   class class class wbr 4376   ` cfv 5502  (class class class)co 6176    ~<_ cdom 7394   Fincfn 7396   CCcc 9367   1c1 9370    x. cmul 9374    <_ cle 9506    - cmin 9682   -ucneg 9683   NNcn 10409   NN0cn0 10666   ZZcz 10733   ...cfz 11524   ^cexp 11952   #chash 12190   sum_csu 13251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-inf2 7934  ax-cnex 9425  ax-resscn 9426  ax-1cn 9427  ax-icn 9428  ax-addcl 9429  ax-addrcl 9430  ax-mulcl 9431  ax-mulrcl 9432  ax-mulcom 9433  ax-addass 9434  ax-mulass 9435  ax-distr 9436  ax-i2m1 9437  ax-1ne0 9438  ax-1rid 9439  ax-rnegex 9440  ax-rrecex 9441  ax-cnre 9442  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444  ax-pre-ltadd 9445  ax-pre-mulgt0 9446  ax-pre-sup 9447
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-pss 3428  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4176  df-int 4213  df-iun 4257  df-disj 4347  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-tr 4470  df-eprel 4716  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-fr 4763  df-se 4764  df-we 4765  df-ord 4806  df-on 4807  df-lim 4808  df-suc 4809  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-isom 5511  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-om 6563  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-recs 6918  df-rdg 6952  df-1o 7006  df-2o 7007  df-oadd 7010  df-er 7187  df-map 7302  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-fin 7400  df-sup 7778  df-oi 7811  df-card 8196  df-cda 8424  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-xr 9509  df-ltxr 9510  df-le 9511  df-sub 9684  df-neg 9685  df-div 10081  df-nn 10410  df-2 10467  df-3 10468  df-n0 10667  df-z 10734  df-uz 10949  df-rp 11079  df-fz 11525  df-fzo 11636  df-seq 11894  df-exp 11953  df-hash 12191  df-cj 12676  df-re 12677  df-im 12678  df-sqr 12812  df-abs 12813  df-clim 13054  df-sum 13252
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator