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Theorem incexc2 13652
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
Distinct variable group:    k, n, s, A

Proof of Theorem incexc2
StepHypRef Expression
1 incexc 13651 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
2 hashcl 12330 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
32ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 A )  e. 
NN0 )
43nn0zd 10882 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 A )  e.  ZZ )
5 simpl 455 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
6 elpwi 3936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ~P A  -> 
k  C_  A )
7 ssdomg 7480 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Fin  ->  (
k  C_  A  ->  k  ~<_  A ) )
87imp 427 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  k  C_  A )  -> 
k  ~<_  A )
95, 6, 8syl2an 475 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  k  ~<_  A )
10 hashdomi 12351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  ~<_  A  ->  ( # `  k
)  <_  ( # `  A
) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( # `
 k )  <_ 
( # `  A ) )
12 fznn 11669 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
# `  A )  e.  ZZ  ->  ( ( # `
 k )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  <-> 
( ( # `  k
)  e.  NN  /\  ( # `  k )  <_  ( # `  A
) ) ) )
1312rbaibd 908 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( # `  A
)  e.  ZZ  /\  ( # `  k )  <_  ( # `  A
) )  ->  (
( # `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( # `  k
)  e.  NN ) )
144, 11, 13syl2anc 659 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
( # `  k )  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  <->  ( # `  k
)  e.  NN ) )
15 ssfi 7656 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  k  C_  A )  -> 
k  e.  Fin )
165, 6, 15syl2an 475 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  k  e.  Fin )
17 hashnncl 12339 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  Fin  ->  (
( # `  k )  e.  NN  <->  k  =/=  (/) ) )
1816, 17syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
( # `  k )  e.  NN  <->  k  =/=  (/) ) )
1914, 18bitr2d 254 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  (
k  =/=  (/)  <->  ( # `  k
)  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ) )
20 df-ne 2579 . . . . . . . 8  |-  ( k  =/=  (/)  <->  -.  k  =  (/) )
21 risset 2907 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  k )  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) )  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) n  =  ( # `  k
) )
2219, 20, 213bitr3g 287 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( -.  k  =  (/)  <->  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) n  =  ( # `  k ) ) )
23 elsn 3958 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  { (/) }  <->  k  =  (/) )
2423notbii 294 . . . . . . 7  |-  ( -.  k  e.  { (/) }  <->  -.  k  =  (/) )
25 eqcom 2391 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  k )  =  n  <->  n  =  ( # `
 k ) )
2625rexbii 2884 . . . . . . 7  |-  ( E. n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) ( # `  k )  =  n  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) n  =  ( # `  k
) )
2722, 24, 263bitr4g 288 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  k  e.  ~P A )  ->  ( -.  k  e.  { (/) }  <->  E. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) ( # `  k )  =  n ) )
2827rabbidva 3025 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  { k  e.  ~P A  |  -.  k  e.  { (/) } }  =  { k  e.  ~P A  |  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( # `  k
)  =  n }
)
29 dfdif2 3398 . . . . 5  |-  ( ~P A  \  { (/) } )  =  { k  e.  ~P A  |  -.  k  e.  { (/) } }
30 iunrab 4290 . . . . 5  |-  U_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  =  { k  e.  ~P A  |  E. n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( # `  k
)  =  n }
3128, 29, 303eqtr4g 2448 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ~P A  \  { (/) } )  = 
U_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)
3231sumeq1d 13525 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
331, 32eqtrd 2423 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) ) )
34 fzfid 11986 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( 1 ... ( # `
 A ) )  e.  Fin )
35 simpll 751 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A  e.  Fin )
36 pwfi 7730 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
3735, 36sylib 196 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  ~P A  e.  Fin )
38 ssrab2 3499 . . . 4  |-  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  C_  ~P A
39 ssfi 7656 . . . 4  |-  ( ( ~P A  e.  Fin  /\ 
{ k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  C_ 
~P A )  ->  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  e.  Fin )
4037, 38, 39sylancl 660 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }  e.  Fin )
41 fveq2 5774 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  s  ->  ( # `
 k )  =  ( # `  s
) )
4241eqeq1d 2384 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  s  ->  (
( # `  k )  =  n  <->  ( # `  s
)  =  n ) )
4342elrab 3182 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  <->  ( s  e.  ~P A  /\  ( # `
 s )  =  n ) )
4443simprbi 462 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ->  ( # `
 s )  =  n )
4544adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  s
)  =  n )
4645ralrimiva 2796 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  A. s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  ( # `
 s )  =  n )
4746ralrimiva 2796 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A. n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) A. s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  s )  =  n )
48 invdisj 4356 . . . 4  |-  ( A. n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) A. s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  s )  =  n  -> Disj  n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)
4947, 48syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> Disj  n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n } )
5045oveq1d 6211 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( # `
 s )  - 
1 )  =  ( n  -  1 ) )
5150oveq2d 6212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  =  (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) ) )
5251oveq1d 6211 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
53 1cnd 9523 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
1  e.  CC )
5453negcld 9831 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  -u 1  e.  CC )
55 elfznn 11635 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) )  ->  n  e.  NN )
5655adantl 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  n  e.  NN )
57 nnm1nn0 10754 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  (
n  -  1 )  e.  NN0 )
5856, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( n  -  1 )  e.  NN0 )
5954, 58expcld 12212 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( -u 1 ^ (
n  -  1 ) )  e.  CC )
6059adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  e.  CC )
61 unifi 7724 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
6261ad2antrr 723 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  U. A  e. 
Fin )
6356adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  n  e.  NN )
6445, 63eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  s
)  e.  NN )
6535adantr 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  A  e.  Fin )
66 elrabi 3179 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( s  e.  { k  e. 
~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ->  s  e.  ~P A )
6766adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  e.  ~P A )
68 elpwi 3936 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  e.  ~P A  -> 
s  C_  A )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  C_  A )
70 ssfi 7656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  s  C_  A )  -> 
s  e.  Fin )
7165, 69, 70syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  e.  Fin )
72 hashnncl 12339 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  e.  Fin  ->  (
( # `  s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
7371, 72syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( # `
 s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
7464, 73mpbid 210 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  s  =/=  (/) )
75 intssuni 4222 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =/=  (/)  ->  |^| s  C_  U. s )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  C_  U. s )
7769unissd 4187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  U. s  C_ 
U. A )
7876, 77sstrd 3427 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  C_  U. A )
79 ssfi 7656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U. A  e.  Fin  /\ 
|^| s  C_  U. A
)  ->  |^| s  e. 
Fin )
8062, 78, 79syl2anc 659 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  |^| s  e. 
Fin )
81 hashcl 12330 . . . . . . . 8  |-  ( |^| s  e.  Fin  ->  ( # `
 |^| s )  e. 
NN0 )
8280, 81syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  |^| s )  e.  NN0 )
8382nn0cnd 10771 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( # `  |^| s )  e.  CC )
8460, 83mulcld 9527 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8552, 84eqeltrd 2470 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e. 
Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) )  /\  s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n }
)  ->  ( ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8685anasss 645 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  ( n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) )  /\  s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n } ) )  ->  ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
8734, 40, 49, 86fsumiun 13637 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  U_  n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
8852sumeq2dv 13527 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
8940, 59, 83fsummulc2 13601 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  -> 
( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) )  =  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( (
-u 1 ^ (
n  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
9088, 89eqtr4d 2426 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  n  e.  (
1 ... ( # `  A
) ) )  ->  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  | 
( # `  k )  =  n }  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
9190sumeq2dv 13527 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A
) ) sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) )  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `  A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  -  1 ) )  x.  sum_ s  e.  { k  e.  ~P A  |  (
# `  k )  =  n }  ( # `  |^| s ) ) )
9233, 87, 913eqtrd 2427 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... ( # `
 A ) ) ( ( -u 1 ^ ( n  - 
1 ) )  x. 
sum_ s  e.  {
k  e.  ~P A  |  ( # `  k
)  =  n } 
( # `  |^| s
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1826    =/= wne 2577   A.wral 2732   E.wrex 2733   {crab 2736    \ cdif 3386    C_ wss 3389   (/)c0 3711   ~Pcpw 3927   {csn 3944   U.cuni 4163   |^|cint 4199   U_ciun 4243  Disj wdisj 4338   class class class wbr 4367   ` cfv 5496  (class class class)co 6196    ~<_ cdom 7433   Fincfn 7435   CCcc 9401   1c1 9404    x. cmul 9408    <_ cle 9540    - cmin 9718   -ucneg 9719   NNcn 10452   NN0cn0 10712   ZZcz 10781   ...cfz 11593   ^cexp 12069   #chash 12307   sum_csu 13510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-inf2 7972  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480  ax-pre-sup 9481
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-fal 1405  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-disj 4339  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-sup 7816  df-oi 7850  df-card 8233  df-cda 8461  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-div 10124  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-rp 11140  df-fz 11594  df-fzo 11718  df-seq 12011  df-exp 12070  df-hash 12308  df-cj 12934  df-re 12935  df-im 12936  df-sqrt 13070  df-abs 13071  df-clim 13313  df-sum 13511
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