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Theorem incexc 13862
Description: The inclusion/exclusion principle for counting the elements of a finite union of finite sets. This is Metamath 100 proof #96. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Aug-2017.)
Assertion
Ref Expression
incexc  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
Distinct variable group:    A, s

Proof of Theorem incexc
StepHypRef Expression
1 unifi 7860 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  U. A  e.  Fin )
2 hashcl 12524 . . . 4  |-  ( U. A  e.  Fin  ->  ( # `
 U. A )  e.  NN0 )
32nn0cnd 10916 . . 3  |-  ( U. A  e.  Fin  ->  ( # `
 U. A )  e.  CC )
41, 3syl 17 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  e.  CC )
5 simpl 458 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  A  e.  Fin )
6 pwfi 7866 . . . . 5  |-  ( A  e.  Fin  <->  ~P A  e.  Fin )
75, 6sylib 199 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ~P A  e.  Fin )
8 diffi 7800 . . . 4  |-  ( ~P A  e.  Fin  ->  ( ~P A  \  { (/)
} )  e.  Fin )
97, 8syl 17 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ~P A  \  { (/) } )  e. 
Fin )
10 1cnd 9648 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  1  e.  CC )
1110negcld 9962 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  -u 1  e.  CC )
12 eldifsni 4120 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  -> 
s  =/=  (/) )
1312adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  s  =/=  (/) )
14 eldifi 3584 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  -> 
s  e.  ~P A
)
15 elpwi 3985 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  ~P A  -> 
s  C_  A )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( ~P A  \  { (/) } )  -> 
s  C_  A )
17 ssfi 7789 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  s  C_  A )  -> 
s  e.  Fin )
185, 16, 17syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  s  e.  Fin )
19 hashnncl 12533 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  Fin  ->  (
( # `  s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
2018, 19syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( # `  s )  e.  NN  <->  s  =/=  (/) ) )
2113, 20mpbird 235 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( # `
 s )  e.  NN )
22 nnm1nn0 10900 . . . . . 6  |-  ( (
# `  s )  e.  NN  ->  ( ( # `
 s )  - 
1 )  e.  NN0 )
2321, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( # `  s )  -  1 )  e. 
NN0 )
2411, 23expcld 12402 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  e.  CC )
2516adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  s  C_  A )
26 simplr 760 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  A  C_ 
Fin )
2725, 26sstrd 3471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  s  C_ 
Fin )
28 unifi 7860 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  Fin  /\  s  C_  Fin )  ->  U. s  e.  Fin )
2918, 27, 28syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  U. s  e.  Fin )
30 intssuni 4272 . . . . . . . 8  |-  ( s  =/=  (/)  ->  |^| s  C_  U. s )
3113, 30syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  |^| s  C_ 
U. s )
32 ssfi 7789 . . . . . . 7  |-  ( ( U. s  e.  Fin  /\ 
|^| s  C_  U. s
)  ->  |^| s  e. 
Fin )
3329, 31, 32syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  |^| s  e.  Fin )
34 hashcl 12524 . . . . . 6  |-  ( |^| s  e.  Fin  ->  ( # `
 |^| s )  e. 
NN0 )
3533, 34syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( # `
 |^| s )  e. 
NN0 )
3635nn0cnd 10916 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( # `
 |^| s )  e.  CC )
3724, 36mulcld 9652 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
389, 37fsumcl 13766 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  e.  CC )
39 disjdif 3864 . . . . 5  |-  ( {
(/) }  i^i  ( ~P A  \  { (/) } ) )  =  (/)
4039a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( { (/) }  i^i  ( ~P A  \  { (/)
} ) )  =  (/) )
41 0elpw 4585 . . . . . . . 8  |-  (/)  e.  ~P A
42 snssi 4138 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  ~P A  ->  { (/) } 
C_  ~P A )
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  { (/) } 
C_  ~P A
44 undif 3873 . . . . . . 7  |-  ( {
(/) }  C_  ~P A  <->  ( { (/) }  u.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  =  ~P A )
4543, 44mpbi 211 . . . . . 6  |-  ( {
(/) }  u.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  =  ~P A
4645eqcomi 2433 . . . . 5  |-  ~P A  =  ( { (/) }  u.  ( ~P A  \  { (/) } ) )
4746a1i 11 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  ~P A  =  ( { (/) }  u.  ( ~P A  \  { (/) } ) ) )
48 1cnd 9648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  1  e.  CC )
4948negcld 9962 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  -u 1  e.  CC )
505, 15, 17syl2an 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  s  e.  Fin )
51 hashcl 12524 . . . . . . 7  |-  ( s  e.  Fin  ->  ( # `
 s )  e. 
NN0 )
5250, 51syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( # `
 s )  e. 
NN0 )
5349, 52expcld 12402 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  e.  CC )
541adantr 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  U. A  e.  Fin )
55 inss1 3679 . . . . . . . 8  |-  ( U. A  i^i  |^| s )  C_  U. A
56 ssfi 7789 . . . . . . . 8  |-  ( ( U. A  e.  Fin  /\  ( U. A  i^i  |^| s )  C_  U. A
)  ->  ( U. A  i^i  |^| s )  e. 
Fin )
5754, 55, 56sylancl 666 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( U. A  i^i  |^| s
)  e.  Fin )
58 hashcl 12524 . . . . . . 7  |-  ( ( U. A  i^i  |^| s )  e.  Fin  ->  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) )  e.  NN0 )
5957, 58syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) )  e.  NN0 )
6059nn0cnd 10916 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) )  e.  CC )
6153, 60mulcld 9652 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ~P A )  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  e.  CC )
6240, 47, 7, 61fsumsplit 13773 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ~P  A
( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  { (/) }  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  + 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) ) )
63 inidm 3668 . . . . . . 7  |-  ( U. A  i^i  U. A )  =  U. A
6463fveq2i 5875 . . . . . 6  |-  ( # `  ( U. A  i^i  U. A ) )  =  ( # `  U. A )
6564oveq2i 6307 . . . . 5  |-  ( (
# `  U. A )  -  ( # `  ( U. A  i^i  U. A
) ) )  =  ( ( # `  U. A )  -  ( # `
 U. A ) )
664subidd 9963 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  ( # `
 U. A ) )  =  0 )
6765, 66syl5eq 2473 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  ( # `
 ( U. A  i^i  U. A ) ) )  =  0 )
68 incexclem 13861 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  U. A  e.  Fin )  ->  ( ( # `  U. A )  -  ( # `
 ( U. A  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
691, 68syldan 472 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  ( # `
 ( U. A  i^i  U. A ) ) )  =  sum_ s  e.  ~P  A ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
7067, 69eqtr3d 2463 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
0  =  sum_ s  e.  ~P  A ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
714, 38negsubd 9981 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  +  -u sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )  =  ( ( # `  U. A )  -  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) ) )
72 0ex 4548 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  _V
73 1cnd 9648 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
1  e.  CC )
7473, 4mulcld 9652 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( 1  x.  ( # `
 U. A ) )  e.  CC )
75 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  s )  =  (
# `  (/) ) )
76 hash0 12534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( # `  (/) )  =  0
7775, 76syl6eq 2477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  s )  =  0 )
7877oveq2d 6312 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  (/)  ->  ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  =  ( -u 1 ^ 0 ) )
79 neg1cn 10702 . . . . . . . . . . 11  |-  -u 1  e.  CC
80 exp0 12262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u
1  e.  CC  ->  (
-u 1 ^ 0 )  =  1 )
8179, 80ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u
1 ^ 0 )  =  1
8278, 81syl6eq 2477 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( -u
1 ^ ( # `  s ) )  =  1 )
83 rint0 4290 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  (/)  ->  ( U. A  i^i  |^| s )  = 
U. A )
8483fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  (/)  ->  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  U. A ) )
8582, 84oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  (/)  ->  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  =  ( 1  x.  ( # `
 U. A ) ) )
8685sumsn 13774 . . . . . . 7  |-  ( (
(/)  e.  _V  /\  (
1  x.  ( # `  U. A ) )  e.  CC )  ->  sum_ s  e.  { (/) }  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  U. A ) ) )
8772, 74, 86sylancr 667 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  { (/) }  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) ) )  =  ( 1  x.  ( # `  U. A ) ) )
884mulid2d 9650 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( 1  x.  ( # `
 U. A ) )  =  ( # `  U. A ) )
8987, 88eqtr2d 2462 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
909, 37fsumneg 13815 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) -u ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
-u sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
91 expm1t 12286 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
-u 1  e.  CC  /\  ( # `  s
)  e.  NN )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  -u 1
) )
9211, 21, 91syl2anc 665 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  -u 1
) )
9324, 11mulcomd 9653 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  -u 1 )  =  ( -u 1  x.  ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) ) ) )
9424mulm1d 10059 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u 1  x.  ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) ) )  =  -u ( -u 1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) ) )
9592, 93, 943eqtrd 2465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u 1 ^ ( # `  s ) )  = 
-u ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) ) )
9625unissd 4237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  U. s  C_ 
U. A )
9731, 96sstrd 3471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  |^| s  C_ 
U. A )
98 dfss1 3664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( |^| s  C_  U. A  <->  ( U. A  i^i  |^| s )  = 
|^| s )
9997, 98sylib 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( U. A  i^i  |^| s
)  =  |^| s
)
10099fveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) )  =  ( # `  |^| s ) )
10195, 100oveq12d 6314 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  =  ( -u ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
10224, 36mulneg1d 10060 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  ( -u ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  -u ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
103101, 102eqtr2d 2462 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  /\  s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) )  ->  -u (
( -u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  =  ( ( -u 1 ^ ( # `  s
) )  x.  ( # `
 ( U. A  i^i  |^| s ) ) ) )
104103sumeq2dv 13736 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) -u ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
10590, 104eqtr3d 2463 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  ->  -u
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ (
( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) )  = 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) )
10689, 105oveq12d 6314 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  +  -u sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u
1 ^ ( (
# `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  { (/) }  ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  + 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) ) )
10771, 106eqtr3d 2463 . . 3  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) ) )  =  ( sum_ s  e.  { (/) }  (
( -u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) )  + 
sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/)
} ) ( (
-u 1 ^ ( # `
 s ) )  x.  ( # `  ( U. A  i^i  |^| s
) ) ) ) )
10862, 70, 1073eqtr4rd 2472 . 2  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( ( # `  U. A )  -  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s )  -  1 ) )  x.  ( # `
 |^| s ) ) )  =  0 )
1094, 38, 108subeq0d 9983 1  |-  ( ( A  e.  Fin  /\  A  C_  Fin )  -> 
( # `  U. A
)  =  sum_ s  e.  ( ~P A  \  { (/) } ) ( ( -u 1 ^ ( ( # `  s
)  -  1 ) )  x.  ( # `  |^| s ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1867    =/= wne 2616   _Vcvv 3078    \ cdif 3430    u. cun 3431    i^i cin 3432    C_ wss 3433   (/)c0 3758   ~Pcpw 3976   {csn 3993   U.cuni 4213   |^|cint 4249   ` cfv 5592  (class class class)co 6296   Fincfn 7568   CCcc 9526   0cc0 9528   1c1 9529    + caddc 9531    x. cmul 9533    - cmin 9849   -ucneg 9850   NNcn 10598   NN0cn0 10858   ^cexp 12258   #chash 12501   sum_csu 13719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-inf2 8137  ax-cnex 9584  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604  ax-pre-mulgt0 9605  ax-pre-sup 9606
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rmo 2781  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-pss 3449  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-tp 3998  df-op 4000  df-uni 4214  df-int 4250  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4756  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-fr 4804  df-se 4805  df-we 4806  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-pred 5390  df-ord 5436  df-on 5437  df-lim 5438  df-suc 5439  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-isom 5601  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7027  df-recs 7089  df-rdg 7127  df-1o 7181  df-2o 7182  df-oadd 7185  df-er 7362  df-map 7473  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-fin 7572  df-sup 7953  df-oi 8016  df-card 8363  df-cda 8587  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852  df-div 10259  df-nn 10599  df-2 10657  df-3 10658  df-n0 10859  df-z 10927  df-uz 11149  df-rp 11292  df-fz 11772  df-fzo 11903  df-seq 12200  df-exp 12259  df-hash 12502  df-cj 13130  df-re 13131  df-im 13132  df-sqrt 13266  df-abs 13267  df-clim 13519  df-sum 13720
This theorem is referenced by:  incexc2  13863
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