Theorem inatsk 9221

Description: ( R1 ` A ) for A a strongly inaccessible cardinal is a Tarski class. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inatsk	|- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) e. Tarski )

Proof of Theorem inatsk

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 9133	. . . . . 6 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
2		winaon 9131	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
3		winalim 9138	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. InaccW -> Lim A )
4		r1lim 8261	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ Lim A ) -> ( R1 ` A ) = U_ y e. A ( R1 ` y ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( A e. InaccW -> ( R1 ` A ) = U_ y e. A ( R1 ` y ) )
6	5	eleq2d 2534	. . . . . . . 8 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> x e. U_ y e. A ( R1 ` y ) ) )
7		eliun 4274	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ y e. A ( R1 ` y ) <-> E. y e. A x e. ( R1 ` y ) )
8	6, 7	syl6bb 269	. . . . . . 7 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> E. y e. A x e. ( R1 ` y ) ) )
9		onelon 5455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. A ) -> y e. On )
10	2, 9	sylan 479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> y e. On )
11		r1pw 8334	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> ~P x e. ( R1 ` suc y ) ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> ~P x e. ( R1 ` suc y ) ) )
13		limsuc 6695	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Lim A -> ( y e. A <-> suc y e. A ) )
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. InaccW -> ( y e. A <-> suc y e. A ) )
15		r1ord2 8270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. On -> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
16	2, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. InaccW -> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
17	14, 16	sylbid 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. InaccW -> ( y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
18	17	imp 436	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) )
19	18	sseld 3417	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( ~P x e. ( R1 ` suc y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
20	12, 19	sylbid 223	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( x e. ( R1 ` y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
21	20	rexlimdva 2871	. . . . . . 7 |- ( A e. InaccW -> ( E. y e. A x e. ( R1 ` y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
22	8, 21	sylbid 223	. . . . . 6 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
23	1, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ( R1 ` A ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
24	23	imp 436	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) )
25		elssuni 4219	. . . . 5 |- ( ~P x e. ( R1 ` A ) -> ~P x C_ U. ( R1 ` A ) )
26		r1tr2 8266	. . . . 5 |- U. ( R1 ` A ) C_ ( R1 ` A )
27	25, 26	syl6ss 3430	. . . 4 |- ( ~P x e. ( R1 ` A ) -> ~P x C_ ( R1 ` A ) )
28	24, 27	jccil 549	. . 3 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
29	28	ralrimiva 2809	. 2 |- ( A e. Inacc -> A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
30	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Inacc -> A e. On )
31		r1suc 8259	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On -> ( R1 ` suc A ) = ~P ( R1 ` A ) )
32	31	eleq2d 2534	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( x e. ( R1 ` suc A ) <-> x e. ~P ( R1 ` A ) ) )
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ( R1 ` suc A ) <-> x e. ~P ( R1 ` A ) ) )
34		rankr1ai 8287	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( R1 ` suc A ) -> ( rank ` x ) e. suc A )
35	33, 34	syl6bir 237	. . . . . . 7 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> ( rank ` x ) e. suc A ) )
36	35	imp 436	. . . . . 6 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( rank ` x ) e. suc A )
37		fvex 5889	. . . . . . 7 |- ( rank ` x ) e. _V
38	37	elsuc 5499	. . . . . 6 |- ( ( rank ` x ) e. suc A <-> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A ) )
39	36, 38	sylib 201	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A ) )
40	39	orcomd 395	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) = A \/ ( rank ` x ) e. A ) )
41		fvex 5889	. . . . . . . 8 |- ( R1 ` A ) e. _V
42		elpwi 3951	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> x C_ ( R1 ` A ) )
43	42	ad2antlr 741	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x C_ ( R1 ` A ) )
44		ssdomg 7633	. . . . . . . 8 |- ( ( R1 ` A ) e. _V -> ( x C_ ( R1 ` A ) -> x ~<_ ( R1 ` A ) ) )
45	41, 43, 44	mpsyl 64	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x ~<_ ( R1 ` A ) )
46		rankcf 9220	. . . . . . . . . 10 |- -. x ~< ( cf ` ( rank ` x ) )
47		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( rank ` x ) = A -> ( cf ` ( rank ` x ) ) = ( cf ` A ) )
48		elina 9130	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Inacc <-> ( A =/= (/) /\ ( cf ` A ) = A /\ A. x e. A ~P x ~< A ) )
49	48	simp2bi 1046	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Inacc -> ( cf ` A ) = A )
50	47, 49	sylan9eqr 2527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( cf ` ( rank ` x ) ) = A )
51	50	breq2d 4407	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( x ~< ( cf ` ( rank ` x ) ) <-> x ~< A ) )
52	46, 51	mtbii 309	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< A )
53		inar1 9218	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) ~~ A )
54		sdomentr 7724	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ~< ( R1 ` A ) /\ ( R1 ` A ) ~~ A ) -> x ~< A )
55	54	expcom 442	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R1 ` A ) ~~ A -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Inacc -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
57	56	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
58	52, 57	mtod 182	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< ( R1 ` A ) )
59	58	adantlr 729	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< ( R1 ` A ) )
60		bren2 7618	. . . . . . 7 |- ( x ~~ ( R1 ` A ) <-> ( x ~<_ ( R1 ` A ) /\ -. x ~< ( R1 ` A ) ) )
61	45, 59, 60	sylanbrc 677	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x ~~ ( R1 ` A ) )
62	61	ex 441	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) = A -> x ~~ ( R1 ` A ) ) )
63		r1elwf 8285	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( R1 ` suc A ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
64	33, 63	syl6bir 237	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> x e. U. ( R1 " On ) ) )
65	64	imp 436	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
66		r1fnon 8256	. . . . . . . . . 10 |- R1 Fn On
67		fndm 5685	. . . . . . . . . 10 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- dom R1 = On
69	30, 68	syl6eleqr 2560	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> A e. dom R1 )
70	69	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> A e. dom R1 )
71		rankr1ag 8291	. . . . . . 7 |- ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ A e. dom R1 ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
72	65, 70, 71	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
73	72	biimprd 231	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) e. A -> x e. ( R1 ` A ) ) )
74	62, 73	orim12d 856	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( ( rank ` x ) = A \/ ( rank ` x ) e. A ) -> ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) )
75	40, 74	mpd 15	. . 3 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) )
76	75	ralrimiva 2809	. 2 |- ( A e. Inacc -> A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) )
77		eltsk2g 9194	. . 3 |- ( ( R1 ` A ) e. _V -> ( ( R1 ` A ) e. Tarski <-> ( A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) /\ A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) ) )
78	41, 77	ax-mp 5	. 2 |- ( ( R1 ` A ) e. Tarski <-> ( A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) /\ A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) )
79	29, 76, 78	sylanbrc 677	1 |- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) e. Tarski )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   \/ wo 375   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   "cima 4842   Oncon0 5430   Lim wlim 5431   suc csuc 5432   Fn wfn 5584   ` cfv 5589   ~~ cen 7584   ~<_ cdom 7585   ~< csdm 7586   R1cr1 8251   rankcrnk 8252   cfccf 8389   InaccWcwina 9125   Inacccina 9126   Tarskictsk 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-r1 8253  df-rank 8254  df-card 8391  df-cf 8393  df-acn 8394  df-ac 8565  df-wina 9127  df-ina 9128  df-tsk 9192

This theorem is referenced by:  r1omtsk  9222  r1tskina  9225  grutsk  9265