Theorem inatsk 9156

Description: ( R1 ` A ) for A a strongly inaccessible cardinal is a Tarski class. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inatsk	|- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) e. Tarski )

Proof of Theorem inatsk

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 9068	. . . . . 6 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
2		winaon 9066	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
3		winalim 9073	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. InaccW -> Lim A )
4		r1lim 8190	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ Lim A ) -> ( R1 ` A ) = U_ y e. A ( R1 ` y ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( A e. InaccW -> ( R1 ` A ) = U_ y e. A ( R1 ` y ) )
6	5	eleq2d 2537	. . . . . . . 8 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> x e. U_ y e. A ( R1 ` y ) ) )
7		eliun 4330	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ y e. A ( R1 ` y ) <-> E. y e. A x e. ( R1 ` y ) )
8	6, 7	syl6bb 261	. . . . . . 7 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> E. y e. A x e. ( R1 ` y ) ) )
9		onelon 4903	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. A ) -> y e. On )
10	2, 9	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> y e. On )
11		r1pw 8263	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> ~P x e. ( R1 ` suc y ) ) )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> ~P x e. ( R1 ` suc y ) ) )
13		limsuc 6668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Lim A -> ( y e. A <-> suc y e. A ) )
14	3, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. InaccW -> ( y e. A <-> suc y e. A ) )
15		r1ord2 8199	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. On -> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
16	2, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. InaccW -> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
17	14, 16	sylbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. InaccW -> ( y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
18	17	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) )
19	18	sseld 3503	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( ~P x e. ( R1 ` suc y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
20	12, 19	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( x e. ( R1 ` y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
21	20	rexlimdva 2955	. . . . . . 7 |- ( A e. InaccW -> ( E. y e. A x e. ( R1 ` y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
22	8, 21	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
23	1, 22	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ( R1 ` A ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
24	23	imp 429	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) )
25		elssuni 4275	. . . . 5 |- ( ~P x e. ( R1 ` A ) -> ~P x C_ U. ( R1 ` A ) )
26		r1tr2 8195	. . . . 5 |- U. ( R1 ` A ) C_ ( R1 ` A )
27	25, 26	syl6ss 3516	. . . 4 |- ( ~P x e. ( R1 ` A ) -> ~P x C_ ( R1 ` A ) )
28	24, 27	jccil 540	. . 3 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
29	28	ralrimiva 2878	. 2 |- ( A e. Inacc -> A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
30	1, 2	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Inacc -> A e. On )
31		r1suc 8188	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On -> ( R1 ` suc A ) = ~P ( R1 ` A ) )
32	31	eleq2d 2537	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( x e. ( R1 ` suc A ) <-> x e. ~P ( R1 ` A ) ) )
33	30, 32	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ( R1 ` suc A ) <-> x e. ~P ( R1 ` A ) ) )
34		rankr1ai 8216	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( R1 ` suc A ) -> ( rank ` x ) e. suc A )
35	33, 34	syl6bir 229	. . . . . . 7 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> ( rank ` x ) e. suc A ) )
36	35	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( rank ` x ) e. suc A )
37		fvex 5876	. . . . . . 7 |- ( rank ` x ) e. _V
38	37	elsuc 4947	. . . . . 6 |- ( ( rank ` x ) e. suc A <-> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A ) )
39	36, 38	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A ) )
40	39	orcomd 388	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) = A \/ ( rank ` x ) e. A ) )
41		fvex 5876	. . . . . . . 8 |- ( R1 ` A ) e. _V
42		elpwi 4019	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> x C_ ( R1 ` A ) )
43	42	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x C_ ( R1 ` A ) )
44		ssdomg 7561	. . . . . . . 8 |- ( ( R1 ` A ) e. _V -> ( x C_ ( R1 ` A ) -> x ~<_ ( R1 ` A ) ) )
45	41, 43, 44	mpsyl 63	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x ~<_ ( R1 ` A ) )
46		rankcf 9155	. . . . . . . . . 10 |- -. x ~< ( cf ` ( rank ` x ) )
47		fveq2 5866	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( rank ` x ) = A -> ( cf ` ( rank ` x ) ) = ( cf ` A ) )
48		elina 9065	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Inacc <-> ( A =/= (/) /\ ( cf ` A ) = A /\ A. x e. A ~P x ~< A ) )
49	48	simp2bi 1012	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Inacc -> ( cf ` A ) = A )
50	47, 49	sylan9eqr 2530	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( cf ` ( rank ` x ) ) = A )
51	50	breq2d 4459	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( x ~< ( cf ` ( rank ` x ) ) <-> x ~< A ) )
52	46, 51	mtbii 302	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< A )
53		inar1 9153	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) ~~ A )
54		sdomentr 7651	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ~< ( R1 ` A ) /\ ( R1 ` A ) ~~ A ) -> x ~< A )
55	54	expcom 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R1 ` A ) ~~ A -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
56	53, 55	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Inacc -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
58	52, 57	mtod 177	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< ( R1 ` A ) )
59	58	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< ( R1 ` A ) )
60		bren2 7546	. . . . . . 7 |- ( x ~~ ( R1 ` A ) <-> ( x ~<_ ( R1 ` A ) /\ -. x ~< ( R1 ` A ) ) )
61	45, 59, 60	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x ~~ ( R1 ` A ) )
62	61	ex 434	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) = A -> x ~~ ( R1 ` A ) ) )
63		r1elwf 8214	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( R1 ` suc A ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
64	33, 63	syl6bir 229	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> x e. U. ( R1 " On ) ) )
65	64	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
66		r1fnon 8185	. . . . . . . . . 10 |- R1 Fn On
67		fndm 5680	. . . . . . . . . 10 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- dom R1 = On
69	30, 68	syl6eleqr 2566	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> A e. dom R1 )
70	69	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> A e. dom R1 )
71		rankr1ag 8220	. . . . . . 7 |- ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ A e. dom R1 ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
72	65, 70, 71	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
73	72	biimprd 223	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) e. A -> x e. ( R1 ` A ) ) )
74	62, 73	orim12d 836	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( ( rank ` x ) = A \/ ( rank ` x ) e. A ) -> ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) )
75	40, 74	mpd 15	. . 3 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) )
76	75	ralrimiva 2878	. 2 |- ( A e. Inacc -> A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) )
77		eltsk2g 9129	. . 3 |- ( ( R1 ` A ) e. _V -> ( ( R1 ` A ) e. Tarski <-> ( A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) /\ A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) ) )
78	41, 77	ax-mp 5	. 2 |- ( ( R1 ` A ) e. Tarski <-> ( A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) /\ A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) )
79	29, 76, 78	sylanbrc 664	1 |- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) e. Tarski )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   suc csuc 4880   dom cdm 4999   "cima 5002   Fn wfn 5583   ` cfv 5588   ~~ cen 7513   ~<_ cdom 7514   ~< csdm 7515   R1cr1 8180   rankcrnk 8181   cfccf 8318   InaccWcwina 9060   Inacccina 9061   Tarskictsk 9126

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-ac2 8843

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-oi 7935  df-r1 8182  df-rank 8183  df-card 8320  df-cf 8322  df-acn 8323  df-ac 8497  df-wina 9062  df-ina 9063  df-tsk 9127

This theorem is referenced by:  r1omtsk  9157  r1tskina  9160  grutsk  9200