Theorem inatsk 8950

Description: ( R1 ` A ) for A a strongly inaccessible cardinal is a Tarski class. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inatsk	|- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) e. Tarski )

Proof of Theorem inatsk

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 8862	. . . . . 6 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
2		winaon 8860	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
3		winalim 8867	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. InaccW -> Lim A )
4		r1lim 7984	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ Lim A ) -> ( R1 ` A ) = U_ y e. A ( R1 ` y ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( A e. InaccW -> ( R1 ` A ) = U_ y e. A ( R1 ` y ) )
6	5	eleq2d 2510	. . . . . . . 8 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> x e. U_ y e. A ( R1 ` y ) ) )
7		eliun 4180	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ y e. A ( R1 ` y ) <-> E. y e. A x e. ( R1 ` y ) )
8	6, 7	syl6bb 261	. . . . . . 7 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> E. y e. A x e. ( R1 ` y ) ) )
9		onelon 4749	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. A ) -> y e. On )
10	2, 9	sylan 471	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> y e. On )
11		r1pw 8057	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> ~P x e. ( R1 ` suc y ) ) )
12	10, 11	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> ~P x e. ( R1 ` suc y ) ) )
13		limsuc 6465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Lim A -> ( y e. A <-> suc y e. A ) )
14	3, 13	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. InaccW -> ( y e. A <-> suc y e. A ) )
15		r1ord2 7993	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. On -> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
16	2, 15	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. InaccW -> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
17	14, 16	sylbid 215	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. InaccW -> ( y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
18	17	imp 429	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) )
19	18	sseld 3360	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( ~P x e. ( R1 ` suc y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
20	12, 19	sylbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( x e. ( R1 ` y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
21	20	rexlimdva 2846	. . . . . . 7 |- ( A e. InaccW -> ( E. y e. A x e. ( R1 ` y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
22	8, 21	sylbid 215	. . . . . 6 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
23	1, 22	syl 16	. . . . 5 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ( R1 ` A ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
24	23	imp 429	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) )
25		elssuni 4126	. . . . 5 |- ( ~P x e. ( R1 ` A ) -> ~P x C_ U. ( R1 ` A ) )
26		r1tr2 7989	. . . . 5 |- U. ( R1 ` A ) C_ ( R1 ` A )
27	25, 26	syl6ss 3373	. . . 4 |- ( ~P x e. ( R1 ` A ) -> ~P x C_ ( R1 ` A ) )
28	24, 27	jccil 540	. . 3 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
29	28	ralrimiva 2804	. 2 |- ( A e. Inacc -> A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
30	1, 2	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Inacc -> A e. On )
31		r1suc 7982	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On -> ( R1 ` suc A ) = ~P ( R1 ` A ) )
32	31	eleq2d 2510	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( x e. ( R1 ` suc A ) <-> x e. ~P ( R1 ` A ) ) )
33	30, 32	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ( R1 ` suc A ) <-> x e. ~P ( R1 ` A ) ) )
34		rankr1ai 8010	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( R1 ` suc A ) -> ( rank ` x ) e. suc A )
35	33, 34	syl6bir 229	. . . . . . 7 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> ( rank ` x ) e. suc A ) )
36	35	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( rank ` x ) e. suc A )
37		fvex 5706	. . . . . . 7 |- ( rank ` x ) e. _V
38	37	elsuc 4793	. . . . . 6 |- ( ( rank ` x ) e. suc A <-> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A ) )
39	36, 38	sylib 196	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A ) )
40	39	orcomd 388	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) = A \/ ( rank ` x ) e. A ) )
41		fvex 5706	. . . . . . . 8 |- ( R1 ` A ) e. _V
42		elpwi 3874	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> x C_ ( R1 ` A ) )
43	42	ad2antlr 726	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x C_ ( R1 ` A ) )
44		ssdomg 7360	. . . . . . . 8 |- ( ( R1 ` A ) e. _V -> ( x C_ ( R1 ` A ) -> x ~<_ ( R1 ` A ) ) )
45	41, 43, 44	mpsyl 63	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x ~<_ ( R1 ` A ) )
46		rankcf 8949	. . . . . . . . . 10 |- -. x ~< ( cf ` ( rank ` x ) )
47		fveq2 5696	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( rank ` x ) = A -> ( cf ` ( rank ` x ) ) = ( cf ` A ) )
48		elina 8859	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Inacc <-> ( A =/= (/) /\ ( cf ` A ) = A /\ A. x e. A ~P x ~< A ) )
49	48	simp2bi 1004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Inacc -> ( cf ` A ) = A )
50	47, 49	sylan9eqr 2497	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( cf ` ( rank ` x ) ) = A )
51	50	breq2d 4309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( x ~< ( cf ` ( rank ` x ) ) <-> x ~< A ) )
52	46, 51	mtbii 302	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< A )
53		inar1 8947	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) ~~ A )
54		sdomentr 7450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ~< ( R1 ` A ) /\ ( R1 ` A ) ~~ A ) -> x ~< A )
55	54	expcom 435	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R1 ` A ) ~~ A -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
56	53, 55	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Inacc -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
57	56	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
58	52, 57	mtod 177	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< ( R1 ` A ) )
59	58	adantlr 714	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< ( R1 ` A ) )
60		bren2 7345	. . . . . . 7 |- ( x ~~ ( R1 ` A ) <-> ( x ~<_ ( R1 ` A ) /\ -. x ~< ( R1 ` A ) ) )
61	45, 59, 60	sylanbrc 664	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x ~~ ( R1 ` A ) )
62	61	ex 434	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) = A -> x ~~ ( R1 ` A ) ) )
63		r1elwf 8008	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( R1 ` suc A ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
64	33, 63	syl6bir 229	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> x e. U. ( R1 " On ) ) )
65	64	imp 429	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
66		r1fnon 7979	. . . . . . . . . 10 |- R1 Fn On
67		fndm 5515	. . . . . . . . . 10 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- dom R1 = On
69	30, 68	syl6eleqr 2534	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> A e. dom R1 )
70	69	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> A e. dom R1 )
71		rankr1ag 8014	. . . . . . 7 |- ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ A e. dom R1 ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
72	65, 70, 71	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
73	72	biimprd 223	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) e. A -> x e. ( R1 ` A ) ) )
74	62, 73	orim12d 834	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( ( rank ` x ) = A \/ ( rank ` x ) e. A ) -> ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) )
75	40, 74	mpd 15	. . 3 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) )
76	75	ralrimiva 2804	. 2 |- ( A e. Inacc -> A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) )
77		eltsk2g 8923	. . 3 |- ( ( R1 ` A ) e. _V -> ( ( R1 ` A ) e. Tarski <-> ( A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) /\ A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) ) )
78	41, 77	ax-mp 5	. 2 |- ( ( R1 ` A ) e. Tarski <-> ( A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) /\ A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) )
79	29, 76, 78	sylanbrc 664	1 |- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) e. Tarski )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   _Vcvv 2977   C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865   U.cuni 4096   U_ciun 4176   class class class wbr 4297   Oncon0 4724   Lim wlim 4725   suc csuc 4726   dom cdm 4845   "cima 4848   Fn wfn 5418   ` cfv 5423   ~~ cen 7312   ~<_ cdom 7313   ~< csdm 7314   R1cr1 7974   rankcrnk 7975   cfccf 8112   InaccWcwina 8854   Inacccina 8855   Tarskictsk 8920

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-ac2 8637

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-iin 4179  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-oi 7729  df-r1 7976  df-rank 7977  df-card 8114  df-cf 8116  df-acn 8117  df-ac 8291  df-wina 8856  df-ina 8857  df-tsk 8921

This theorem is referenced by:  r1omtsk  8951  r1tskina  8954  grutsk  8994