Theorem inatsk 9200

Description: ( R1 ` A ) for A a strongly inaccessible cardinal is a Tarski class. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
inatsk	|- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) e. Tarski )

Proof of Theorem inatsk

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inawina 9112	. . . . . 6 |- ( A e. Inacc -> A e. InaccW )
2		winaon 9110	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. InaccW -> A e. On )
3		winalim 9117	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. InaccW -> Lim A )
4		r1lim 8240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. On /\ Lim A ) -> ( R1 ` A ) = U_ y e. A ( R1 ` y ) )
5	2, 3, 4	syl2anc 666	. . . . . . . . 9 |- ( A e. InaccW -> ( R1 ` A ) = U_ y e. A ( R1 ` y ) )
6	5	eleq2d 2513	. . . . . . . 8 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> x e. U_ y e. A ( R1 ` y ) ) )
7		eliun 4282	. . . . . . . 8 |- ( x e. U_ y e. A ( R1 ` y ) <-> E. y e. A x e. ( R1 ` y ) )
8	6, 7	syl6bb 265	. . . . . . 7 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> E. y e. A x e. ( R1 ` y ) ) )
9		onelon 5447	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. On /\ y e. A ) -> y e. On )
10	2, 9	sylan 474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> y e. On )
11		r1pw 8313	. . . . . . . . . 10 |- ( y e. On -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> ~P x e. ( R1 ` suc y ) ) )
12	10, 11	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( x e. ( R1 ` y ) <-> ~P x e. ( R1 ` suc y ) ) )
13		limsuc 6673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( Lim A -> ( y e. A <-> suc y e. A ) )
14	3, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. InaccW -> ( y e. A <-> suc y e. A ) )
15		r1ord2 8249	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. On -> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
16	2, 15	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. InaccW -> ( suc y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
17	14, 16	sylbid 219	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. InaccW -> ( y e. A -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) ) )
18	17	imp 431	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( R1 ` suc y ) C_ ( R1 ` A ) )
19	18	sseld 3430	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( ~P x e. ( R1 ` suc y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
20	12, 19	sylbid 219	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. InaccW /\ y e. A ) -> ( x e. ( R1 ` y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
21	20	rexlimdva 2878	. . . . . . 7 |- ( A e. InaccW -> ( E. y e. A x e. ( R1 ` y ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
22	8, 21	sylbid 219	. . . . . 6 |- ( A e. InaccW -> ( x e. ( R1 ` A ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
23	1, 22	syl 17	. . . . 5 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ( R1 ` A ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
24	23	imp 431	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ~P x e. ( R1 ` A ) )
25		elssuni 4226	. . . . 5 |- ( ~P x e. ( R1 ` A ) -> ~P x C_ U. ( R1 ` A ) )
26		r1tr2 8245	. . . . 5 |- U. ( R1 ` A ) C_ ( R1 ` A )
27	25, 26	syl6ss 3443	. . . 4 |- ( ~P x e. ( R1 ` A ) -> ~P x C_ ( R1 ` A ) )
28	24, 27	jccil 543	. . 3 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ( R1 ` A ) ) -> ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
29	28	ralrimiva 2801	. 2 |- ( A e. Inacc -> A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) )
30	1, 2	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( A e. Inacc -> A e. On )
31		r1suc 8238	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. On -> ( R1 ` suc A ) = ~P ( R1 ` A ) )
32	31	eleq2d 2513	. . . . . . . . 9 |- ( A e. On -> ( x e. ( R1 ` suc A ) <-> x e. ~P ( R1 ` A ) ) )
33	30, 32	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ( R1 ` suc A ) <-> x e. ~P ( R1 ` A ) ) )
34		rankr1ai 8266	. . . . . . . 8 |- ( x e. ( R1 ` suc A ) -> ( rank ` x ) e. suc A )
35	33, 34	syl6bir 233	. . . . . . 7 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> ( rank ` x ) e. suc A ) )
36	35	imp 431	. . . . . 6 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( rank ` x ) e. suc A )
37		fvex 5873	. . . . . . 7 |- ( rank ` x ) e. _V
38	37	elsuc 5491	. . . . . 6 |- ( ( rank ` x ) e. suc A <-> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A ) )
39	36, 38	sylib 200	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) e. A \/ ( rank ` x ) = A ) )
40	39	orcomd 390	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) = A \/ ( rank ` x ) e. A ) )
41		fvex 5873	. . . . . . . 8 |- ( R1 ` A ) e. _V
42		elpwi 3959	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> x C_ ( R1 ` A ) )
43	42	ad2antlr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x C_ ( R1 ` A ) )
44		ssdomg 7612	. . . . . . . 8 |- ( ( R1 ` A ) e. _V -> ( x C_ ( R1 ` A ) -> x ~<_ ( R1 ` A ) ) )
45	41, 43, 44	mpsyl 65	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x ~<_ ( R1 ` A ) )
46		rankcf 9199	. . . . . . . . . 10 |- -. x ~< ( cf ` ( rank ` x ) )
47		fveq2 5863	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( rank ` x ) = A -> ( cf ` ( rank ` x ) ) = ( cf ` A ) )
48		elina 9109	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( A e. Inacc <-> ( A =/= (/) /\ ( cf ` A ) = A /\ A. x e. A ~P x ~< A ) )
49	48	simp2bi 1023	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. Inacc -> ( cf ` A ) = A )
50	47, 49	sylan9eqr 2506	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( cf ` ( rank ` x ) ) = A )
51	50	breq2d 4413	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( x ~< ( cf ` ( rank ` x ) ) <-> x ~< A ) )
52	46, 51	mtbii 304	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< A )
53		inar1 9197	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) ~~ A )
54		sdomentr 7703	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x ~< ( R1 ` A ) /\ ( R1 ` A ) ~~ A ) -> x ~< A )
55	54	expcom 437	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( R1 ` A ) ~~ A -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. Inacc -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
57	56	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> ( x ~< ( R1 ` A ) -> x ~< A ) )
58	52, 57	mtod 181	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. Inacc /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< ( R1 ` A ) )
59	58	adantlr 720	. . . . . . 7 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> -. x ~< ( R1 ` A ) )
60		bren2 7597	. . . . . . 7 |- ( x ~~ ( R1 ` A ) <-> ( x ~<_ ( R1 ` A ) /\ -. x ~< ( R1 ` A ) ) )
61	45, 59, 60	sylanbrc 669	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) /\ ( rank ` x ) = A ) -> x ~~ ( R1 ` A ) )
62	61	ex 436	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) = A -> x ~~ ( R1 ` A ) ) )
63		r1elwf 8264	. . . . . . . . 9 |- ( x e. ( R1 ` suc A ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
64	33, 63	syl6bir 233	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> ( x e. ~P ( R1 ` A ) -> x e. U. ( R1 " On ) ) )
65	64	imp 431	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> x e. U. ( R1 " On ) )
66		r1fnon 8235	. . . . . . . . . 10 |- R1 Fn On
67		fndm 5673	. . . . . . . . . 10 |- ( R1 Fn On -> dom R1 = On )
68	66, 67	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 |- dom R1 = On
69	30, 68	syl6eleqr 2539	. . . . . . . 8 |- ( A e. Inacc -> A e. dom R1 )
70	69	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> A e. dom R1 )
71		rankr1ag 8270	. . . . . . 7 |- ( ( x e. U. ( R1 " On ) /\ A e. dom R1 ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
72	65, 70, 71	syl2anc 666	. . . . . 6 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( x e. ( R1 ` A ) <-> ( rank ` x ) e. A ) )
73	72	biimprd 227	. . . . 5 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( rank ` x ) e. A -> x e. ( R1 ` A ) ) )
74	62, 73	orim12d 848	. . . 4 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( ( ( rank ` x ) = A \/ ( rank ` x ) e. A ) -> ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) )
75	40, 74	mpd 15	. . 3 |- ( ( A e. Inacc /\ x e. ~P ( R1 ` A ) ) -> ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) )
76	75	ralrimiva 2801	. 2 |- ( A e. Inacc -> A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) )
77		eltsk2g 9173	. . 3 |- ( ( R1 ` A ) e. _V -> ( ( R1 ` A ) e. Tarski <-> ( A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) /\ A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) ) )
78	41, 77	ax-mp 5	. 2 |- ( ( R1 ` A ) e. Tarski <-> ( A. x e. ( R1 ` A ) ( ~P x C_ ( R1 ` A ) /\ ~P x e. ( R1 ` A ) ) /\ A. x e. ~P ( R1 ` A ) ( x ~~ ( R1 ` A ) \/ x e. ( R1 ` A ) ) ) )
79	29, 76, 78	sylanbrc 669	1 |- ( A e. Inacc -> ( R1 ` A ) e. Tarski )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   \/ wo 370   /\ wa 371   = wceq 1443   e. wcel 1886   =/= wne 2621   A.wral 2736   E.wrex 2737   _Vcvv 3044   C_ wss 3403   (/)c0 3730   ~Pcpw 3950   U.cuni 4197   U_ciun 4277   class class class wbr 4401   dom cdm 4833   "cima 4836   Oncon0 5422   Lim wlim 5423   suc csuc 5424   Fn wfn 5576   ` cfv 5581   ~~ cen 7563   ~<_ cdom 7564   ~< csdm 7565   R1cr1 8230   rankcrnk 8231   cfccf 8368   InaccWcwina 9104   Inacccina 9105   Tarskictsk 9170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-ac2 8890

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-iin 4280  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-er 7360  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-oi 8022  df-r1 8232  df-rank 8233  df-card 8370  df-cf 8372  df-acn 8373  df-ac 8544  df-wina 9106  df-ina 9107  df-tsk 9171

This theorem is referenced by:  r1omtsk  9201  r1tskina  9204  grutsk  9244