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Theorem inatsk 9156
Description:  ( R1 `  A ) for 
A a strongly inaccessible cardinal is a Tarski class. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inatsk  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  e.  Tarski )

Proof of Theorem inatsk
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 9068 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  InaccW )
2 winaon 9066 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  InaccW  ->  A  e.  On )
3 winalim 9073 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  InaccW  ->  Lim  A )
4 r1lim 8190 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) )
65eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  <->  x  e.  U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) ) )
7 eliun 4330 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U_ y  e.  A  ( R1 `  y )  <->  E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y ) )
86, 7syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  <->  E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y ) ) )
9 onelon 4903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
102, 9sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
11 r1pw 8263 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  y )  <->  ~P x  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  ( R1 `  y )  <->  ~P x  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
13 limsuc 6668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim 
A  ->  ( y  e.  A  <->  suc  y  e.  A
) )
143, 13syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
y  e.  A  <->  suc  y  e.  A ) )
15 r1ord2 8199 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
162, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
1714, 16sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
1817imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) )
1918sseld 3503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  ( ~P x  e.  ( R1 `  suc  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
2012, 19sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  ( R1 `  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
2120rexlimdva 2955 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
228, 21sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
231, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
2423imp 429 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) )
25 elssuni 4275 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  C_  U. ( R1 `  A ) )
26 r1tr2 8195 . . . . 5  |-  U. ( R1 `  A )  C_  ( R1 `  A )
2725, 26syl6ss 3516 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  C_  ( R1
`  A ) )
2824, 27jccil 540 . . 3  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( ~P x  C_  ( R1
`  A )  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
2928ralrimiva 2878 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( ~P x  C_  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
301, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  On )
31 r1suc 8188 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1
`  A ) )
3231eleq2d 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  suc  A )  <->  x  e.  ~P ( R1
`  A ) ) )
3330, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  <->  x  e.  ~P ( R1 `  A ) ) )
34 rankr1ai 8216 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  ->  ( rank `  x )  e. 
suc  A )
3533, 34syl6bir 229 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ~P ( R1 `  A )  ->  ( rank `  x )  e. 
suc  A ) )
3635imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( rank `  x )  e.  suc  A )
37 fvex 5876 . . . . . . 7  |-  ( rank `  x )  e.  _V
3837elsuc 4947 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  x )  e.  suc  A  <->  ( ( rank `  x )  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A ) )
3936, 38sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A ) )
4039orcomd 388 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  \/  ( rank `  x )  e.  A ) )
41 fvex 5876 . . . . . . . 8  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
42 elpwi 4019 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ( R1
`  A )  ->  x  C_  ( R1 `  A ) )
4342ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  C_  ( R1 `  A ) )
44 ssdomg 7561 . . . . . . . 8  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
x  C_  ( R1 `  A )  ->  x  ~<_  ( R1 `  A ) ) )
4541, 43, 44mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  ~<_  ( R1
`  A ) )
46 rankcf 9155 . . . . . . . . . 10  |-  -.  x  ~<  ( cf `  ( rank `  x ) )
47 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank `  x )  =  A  ->  ( cf `  ( rank `  x
) )  =  ( cf `  A ) )
48 elina 9065 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Inacc 
<->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. x  e.  A  ~P x  ~<  A ) )
4948simp2bi 1012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( cf `  A )  =  A )
5047, 49sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  ( cf `  ( rank `  x
) )  =  A )
5150breq2d 4459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  (
x  ~<  ( cf `  ( rank `  x ) )  <-> 
x  ~<  A ) )
5246, 51mtbii 302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  -.  x  ~<  A )
53 inar1 9153 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)
54 sdomentr 7651 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  ~<  ( R1 `  A )  /\  ( R1 `  A )  ~~  A )  ->  x  ~<  A )
5554expcom 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  A ) 
~~  A  ->  (
x  ~<  ( R1 `  A )  ->  x  ~<  A ) )
5653, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  ~<  ( R1 `  A
)  ->  x  ~<  A ) )
5756adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  (
x  ~<  ( R1 `  A )  ->  x  ~<  A ) )
5852, 57mtod 177 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) )
5958adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) )
60 bren2 7546 . . . . . . 7  |-  ( x 
~~  ( R1 `  A )  <->  ( x  ~<_  ( R1 `  A )  /\  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) ) )
6145, 59, 60sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  ~~  ( R1 `  A ) )
6261ex 434 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  ->  x  ~~  ( R1 `  A ) ) )
63 r1elwf 8214 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
6433, 63syl6bir 229 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ~P ( R1 `  A )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) ) )
6564imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
66 r1fnon 8185 . . . . . . . . . 10  |-  R1  Fn  On
67 fndm 5680 . . . . . . . . . 10  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  dom  R1  =  On
6930, 68syl6eleqr 2566 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  dom  R1 )
7069adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
71 rankr1ag 8220 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ( rank `  x
)  e.  A ) )
7265, 70, 71syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( x  e.  ( R1 `  A )  <-> 
( rank `  x )  e.  A ) )
7372biimprd 223 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  e.  A  ->  x  e.  ( R1 `  A ) ) )
7462, 73orim12d 836 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( ( rank `  x )  =  A  \/  ( rank `  x
)  e.  A )  ->  ( x  ~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1 `  A ) ) ) )
7540, 74mpd 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( x  ~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) )
7675ralrimiva 2878 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x 
~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1 `  A
) ) )
77 eltsk2g 9129 . . 3  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
( R1 `  A
)  e.  Tarski  <->  ( A. x  e.  ( R1 `  A ) ( ~P x  C_  ( R1 `  A )  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x  ~~  ( R1
`  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) ) ) )
7841, 77ax-mp 5 . 2  |-  ( ( R1 `  A )  e.  Tarski 
<->  ( A. x  e.  ( R1 `  A
) ( ~P x  C_  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
) )  /\  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x  ~~  ( R1
`  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) ) )
7929, 76, 78sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  e.  Tarski )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   U.cuni 4245   U_ciun 4325   class class class wbr 4447   Oncon0 4878   Lim wlim 4879   suc csuc 4880   dom cdm 4999   "cima 5002    Fn wfn 5583   ` cfv 5588    ~~ cen 7513    ~<_ cdom 7514    ~< csdm 7515   R1cr1 8180   rankcrnk 8181   cfccf 8318   InaccWcwina 9060   Inacccina 9061   Tarskictsk 9126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-ac2 8843
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-oi 7935  df-r1 8182  df-rank 8183  df-card 8320  df-cf 8322  df-acn 8323  df-ac 8497  df-wina 9062  df-ina 9063  df-tsk 9127
This theorem is referenced by:  r1omtsk  9157  r1tskina  9160  grutsk  9200
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