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Theorem inatsk 9173
Description:  ( R1 `  A ) for 
A a strongly inaccessible cardinal is a Tarski class. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inatsk  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  e.  Tarski )

Proof of Theorem inatsk
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 9085 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  InaccW )
2 winaon 9083 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  InaccW  ->  A  e.  On )
3 winalim 9090 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  InaccW  ->  Lim  A )
4 r1lim 8207 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) )
52, 3, 4syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) )
65eleq2d 2527 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  <->  x  e.  U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) ) )
7 eliun 4337 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U_ y  e.  A  ( R1 `  y )  <->  E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y ) )
86, 7syl6bb 261 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  <->  E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y ) ) )
9 onelon 4912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
102, 9sylan 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
11 r1pw 8280 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  y )  <->  ~P x  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  ( R1 `  y )  <->  ~P x  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
13 limsuc 6683 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim 
A  ->  ( y  e.  A  <->  suc  y  e.  A
) )
143, 13syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
y  e.  A  <->  suc  y  e.  A ) )
15 r1ord2 8216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
162, 15syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
1714, 16sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
1817imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) )
1918sseld 3498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  ( ~P x  e.  ( R1 `  suc  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
2012, 19sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  ( R1 `  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
2120rexlimdva 2949 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
228, 21sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
231, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
2423imp 429 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) )
25 elssuni 4281 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  C_  U. ( R1 `  A ) )
26 r1tr2 8212 . . . . 5  |-  U. ( R1 `  A )  C_  ( R1 `  A )
2725, 26syl6ss 3511 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  C_  ( R1
`  A ) )
2824, 27jccil 540 . . 3  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( ~P x  C_  ( R1
`  A )  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
2928ralrimiva 2871 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( ~P x  C_  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
301, 2syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  On )
31 r1suc 8205 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1
`  A ) )
3231eleq2d 2527 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  suc  A )  <->  x  e.  ~P ( R1
`  A ) ) )
3330, 32syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  <->  x  e.  ~P ( R1 `  A ) ) )
34 rankr1ai 8233 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  ->  ( rank `  x )  e. 
suc  A )
3533, 34syl6bir 229 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ~P ( R1 `  A )  ->  ( rank `  x )  e. 
suc  A ) )
3635imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( rank `  x )  e.  suc  A )
37 fvex 5882 . . . . . . 7  |-  ( rank `  x )  e.  _V
3837elsuc 4956 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  x )  e.  suc  A  <->  ( ( rank `  x )  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A ) )
3936, 38sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A ) )
4039orcomd 388 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  \/  ( rank `  x )  e.  A ) )
41 fvex 5882 . . . . . . . 8  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
42 elpwi 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ( R1
`  A )  ->  x  C_  ( R1 `  A ) )
4342ad2antlr 726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  C_  ( R1 `  A ) )
44 ssdomg 7580 . . . . . . . 8  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
x  C_  ( R1 `  A )  ->  x  ~<_  ( R1 `  A ) ) )
4541, 43, 44mpsyl 63 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  ~<_  ( R1
`  A ) )
46 rankcf 9172 . . . . . . . . . 10  |-  -.  x  ~<  ( cf `  ( rank `  x ) )
47 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank `  x )  =  A  ->  ( cf `  ( rank `  x
) )  =  ( cf `  A ) )
48 elina 9082 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Inacc 
<->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. x  e.  A  ~P x  ~<  A ) )
4948simp2bi 1012 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( cf `  A )  =  A )
5047, 49sylan9eqr 2520 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  ( cf `  ( rank `  x
) )  =  A )
5150breq2d 4468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  (
x  ~<  ( cf `  ( rank `  x ) )  <-> 
x  ~<  A ) )
5246, 51mtbii 302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  -.  x  ~<  A )
53 inar1 9170 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)
54 sdomentr 7670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  ~<  ( R1 `  A )  /\  ( R1 `  A )  ~~  A )  ->  x  ~<  A )
5554expcom 435 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  A ) 
~~  A  ->  (
x  ~<  ( R1 `  A )  ->  x  ~<  A ) )
5653, 55syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  ~<  ( R1 `  A
)  ->  x  ~<  A ) )
5756adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  (
x  ~<  ( R1 `  A )  ->  x  ~<  A ) )
5852, 57mtod 177 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) )
5958adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) )
60 bren2 7565 . . . . . . 7  |-  ( x 
~~  ( R1 `  A )  <->  ( x  ~<_  ( R1 `  A )  /\  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) ) )
6145, 59, 60sylanbrc 664 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  ~~  ( R1 `  A ) )
6261ex 434 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  ->  x  ~~  ( R1 `  A ) ) )
63 r1elwf 8231 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
6433, 63syl6bir 229 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ~P ( R1 `  A )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) ) )
6564imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
66 r1fnon 8202 . . . . . . . . . 10  |-  R1  Fn  On
67 fndm 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  dom  R1  =  On
6930, 68syl6eleqr 2556 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  dom  R1 )
7069adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
71 rankr1ag 8237 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ( rank `  x
)  e.  A ) )
7265, 70, 71syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( x  e.  ( R1 `  A )  <-> 
( rank `  x )  e.  A ) )
7372biimprd 223 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  e.  A  ->  x  e.  ( R1 `  A ) ) )
7462, 73orim12d 838 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( ( rank `  x )  =  A  \/  ( rank `  x
)  e.  A )  ->  ( x  ~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1 `  A ) ) ) )
7540, 74mpd 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( x  ~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) )
7675ralrimiva 2871 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x 
~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1 `  A
) ) )
77 eltsk2g 9146 . . 3  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
( R1 `  A
)  e.  Tarski  <->  ( A. x  e.  ( R1 `  A ) ( ~P x  C_  ( R1 `  A )  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x  ~~  ( R1
`  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) ) ) )
7841, 77ax-mp 5 . 2  |-  ( ( R1 `  A )  e.  Tarski 
<->  ( A. x  e.  ( R1 `  A
) ( ~P x  C_  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
) )  /\  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x  ~~  ( R1
`  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) ) )
7929, 76, 78sylanbrc 664 1  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  e.  Tarski )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   U.cuni 4251   U_ciun 4332   class class class wbr 4456   Oncon0 4887   Lim wlim 4888   suc csuc 4889   dom cdm 5008   "cima 5011    Fn wfn 5589   ` cfv 5594    ~~ cen 7532    ~<_ cdom 7533    ~< csdm 7534   R1cr1 8197   rankcrnk 8198   cfccf 8335   InaccWcwina 9077   Inacccina 9078   Tarskictsk 9143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-ac2 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-oi 7953  df-r1 8199  df-rank 8200  df-card 8337  df-cf 8339  df-acn 8340  df-ac 8514  df-wina 9079  df-ina 9080  df-tsk 9144
This theorem is referenced by:  r1omtsk  9174  r1tskina  9177  grutsk  9217
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