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Theorem inatsk 9221
Description:  ( R1 `  A ) for 
A a strongly inaccessible cardinal is a Tarski class. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
inatsk  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  e.  Tarski )

Proof of Theorem inatsk
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 inawina 9133 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  InaccW )
2 winaon 9131 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  InaccW  ->  A  e.  On )
3 winalim 9138 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  InaccW  ->  Lim  A )
4 r1lim 8261 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  On  /\  Lim  A )  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) )
52, 3, 4syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( R1 `  A )  = 
U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) )
65eleq2d 2534 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  <->  x  e.  U_ y  e.  A  ( R1 `  y ) ) )
7 eliun 4274 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  U_ y  e.  A  ( R1 `  y )  <->  E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y ) )
86, 7syl6bb 269 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  <->  E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y ) ) )
9 onelon 5455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
102, 9sylan 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  y  e.  On )
11 r1pw 8334 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  y )  <->  ~P x  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  ( R1 `  y )  <->  ~P x  e.  ( R1 `  suc  y ) ) )
13 limsuc 6695 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Lim 
A  ->  ( y  e.  A  <->  suc  y  e.  A
) )
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
y  e.  A  <->  suc  y  e.  A ) )
15 r1ord2 8270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  On  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
162, 15syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( suc  y  e.  A  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
1714, 16sylbid 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
y  e.  A  -> 
( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) ) )
1817imp 436 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  ( R1 `  suc  y )  C_  ( R1 `  A ) )
1918sseld 3417 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  ( ~P x  e.  ( R1 `  suc  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
2012, 19sylbid 223 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  InaccW  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  ( R1 `  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
2120rexlimdva 2871 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  InaccW  ->  ( E. y  e.  A  x  e.  ( R1 `  y )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
228, 21sylbid 223 . . . . . 6  |-  ( A  e.  InaccW  ->  (
x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
231, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
2423imp 436 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ~P x  e.  ( R1 `  A ) )
25 elssuni 4219 . . . . 5  |-  ( ~P x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  C_  U. ( R1 `  A ) )
26 r1tr2 8266 . . . . 5  |-  U. ( R1 `  A )  C_  ( R1 `  A )
2725, 26syl6ss 3430 . . . 4  |-  ( ~P x  e.  ( R1
`  A )  ->  ~P x  C_  ( R1
`  A ) )
2824, 27jccil 549 . . 3  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ( R1 `  A
) )  ->  ( ~P x  C_  ( R1
`  A )  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A ) ) )
2928ralrimiva 2809 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. x  e.  ( R1 `  A
) ( ~P x  C_  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
) ) )
301, 2syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  On )
31 r1suc 8259 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  ( R1 `  suc  A )  =  ~P ( R1
`  A ) )
3231eleq2d 2534 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  (
x  e.  ( R1
`  suc  A )  <->  x  e.  ~P ( R1
`  A ) ) )
3330, 32syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  <->  x  e.  ~P ( R1 `  A ) ) )
34 rankr1ai 8287 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  ->  ( rank `  x )  e. 
suc  A )
3533, 34syl6bir 237 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ~P ( R1 `  A )  ->  ( rank `  x )  e. 
suc  A ) )
3635imp 436 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( rank `  x )  e.  suc  A )
37 fvex 5889 . . . . . . 7  |-  ( rank `  x )  e.  _V
3837elsuc 5499 . . . . . 6  |-  ( (
rank `  x )  e.  suc  A  <->  ( ( rank `  x )  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A ) )
3936, 38sylib 201 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  e.  A  \/  ( rank `  x )  =  A ) )
4039orcomd 395 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  \/  ( rank `  x )  e.  A ) )
41 fvex 5889 . . . . . . . 8  |-  ( R1
`  A )  e. 
_V
42 elpwi 3951 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ~P ( R1
`  A )  ->  x  C_  ( R1 `  A ) )
4342ad2antlr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  C_  ( R1 `  A ) )
44 ssdomg 7633 . . . . . . . 8  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
x  C_  ( R1 `  A )  ->  x  ~<_  ( R1 `  A ) ) )
4541, 43, 44mpsyl 64 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  ~<_  ( R1
`  A ) )
46 rankcf 9220 . . . . . . . . . 10  |-  -.  x  ~<  ( cf `  ( rank `  x ) )
47 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
rank `  x )  =  A  ->  ( cf `  ( rank `  x
) )  =  ( cf `  A ) )
48 elina 9130 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( A  e.  Inacc 
<->  ( A  =/=  (/)  /\  ( cf `  A )  =  A  /\  A. x  e.  A  ~P x  ~<  A ) )
4948simp2bi 1046 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( cf `  A )  =  A )
5047, 49sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  ( cf `  ( rank `  x
) )  =  A )
5150breq2d 4407 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  (
x  ~<  ( cf `  ( rank `  x ) )  <-> 
x  ~<  A ) )
5246, 51mtbii 309 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  -.  x  ~<  A )
53 inar1 9218 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  ~~  A
)
54 sdomentr 7724 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  ~<  ( R1 `  A )  /\  ( R1 `  A )  ~~  A )  ->  x  ~<  A )
5554expcom 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( R1 `  A ) 
~~  A  ->  (
x  ~<  ( R1 `  A )  ->  x  ~<  A ) )
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  ~<  ( R1 `  A
)  ->  x  ~<  A ) )
5756adantr 472 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  (
x  ~<  ( R1 `  A )  ->  x  ~<  A ) )
5852, 57mtod 182 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  ( rank `  x )  =  A )  ->  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) )
5958adantlr 729 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) )
60 bren2 7618 . . . . . . 7  |-  ( x 
~~  ( R1 `  A )  <->  ( x  ~<_  ( R1 `  A )  /\  -.  x  ~<  ( R1 `  A ) ) )
6145, 59, 60sylanbrc 677 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  /\  ( rank `  x
)  =  A )  ->  x  ~~  ( R1 `  A ) )
6261ex 441 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  =  A  ->  x  ~~  ( R1 `  A ) ) )
63 r1elwf 8285 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( R1 `  suc  A )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
6433, 63syl6bir 237 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( x  e.  ~P ( R1 `  A )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) ) )
6564imp 436 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  ->  x  e.  U. ( R1 " On ) )
66 r1fnon 8256 . . . . . . . . . 10  |-  R1  Fn  On
67 fndm 5685 . . . . . . . . . 10  |-  ( R1  Fn  On  ->  dom  R1  =  On )
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  dom  R1  =  On
6930, 68syl6eleqr 2560 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A  e.  dom  R1 )
7069adantr 472 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  ->  A  e.  dom  R1 )
71 rankr1ag 8291 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  U. ( R1 " On )  /\  A  e.  dom  R1 )  ->  ( x  e.  ( R1 `  A
)  <->  ( rank `  x
)  e.  A ) )
7265, 70, 71syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( x  e.  ( R1 `  A )  <-> 
( rank `  x )  e.  A ) )
7372biimprd 231 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( rank `  x
)  e.  A  ->  x  e.  ( R1 `  A ) ) )
7462, 73orim12d 856 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( ( ( rank `  x )  =  A  \/  ( rank `  x
)  e.  A )  ->  ( x  ~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1 `  A ) ) ) )
7540, 74mpd 15 . . 3  |-  ( ( A  e.  Inacc  /\  x  e.  ~P ( R1 `  A ) )  -> 
( x  ~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) )
7675ralrimiva 2809 . 2  |-  ( A  e.  Inacc  ->  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x 
~~  ( R1 `  A )  \/  x  e.  ( R1 `  A
) ) )
77 eltsk2g 9194 . . 3  |-  ( ( R1 `  A )  e.  _V  ->  (
( R1 `  A
)  e.  Tarski  <->  ( A. x  e.  ( R1 `  A ) ( ~P x  C_  ( R1 `  A )  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A ) )  /\  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x  ~~  ( R1
`  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) ) ) )
7841, 77ax-mp 5 . 2  |-  ( ( R1 `  A )  e.  Tarski 
<->  ( A. x  e.  ( R1 `  A
) ( ~P x  C_  ( R1 `  A
)  /\  ~P x  e.  ( R1 `  A
) )  /\  A. x  e.  ~P  ( R1 `  A ) ( x  ~~  ( R1
`  A )  \/  x  e.  ( R1
`  A ) ) ) )
7929, 76, 78sylanbrc 677 1  |-  ( A  e.  Inacc  ->  ( R1 `  A )  e.  Tarski )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    \/ wo 375    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904    =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   U.cuni 4190   U_ciun 4269   class class class wbr 4395   dom cdm 4839   "cima 4842   Oncon0 5430   Lim wlim 5431   suc csuc 5432    Fn wfn 5584   ` cfv 5589    ~~ cen 7584    ~<_ cdom 7585    ~< csdm 7586   R1cr1 8251   rankcrnk 8252   cfccf 8389   InaccWcwina 9125   Inacccina 9126   Tarskictsk 9191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-oi 8043  df-r1 8253  df-rank 8254  df-card 8391  df-cf 8393  df-acn 8394  df-ac 8565  df-wina 9127  df-ina 9128  df-tsk 9192
This theorem is referenced by:  r1omtsk  9222  r1tskina  9225  grutsk  9265
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