MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imval2 Structured version   Unicode version

Theorem imval2 12761
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
imval2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )

Proof of Theorem imval2
StepHypRef Expression
1 imcl 12721 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
21recnd 9526 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
3 2mulicn 10662 . . . 4  |-  ( 2  x.  _i )  e.  CC
4 2muline0 10663 . . . 4  |-  ( 2  x.  _i )  =/=  0
5 divcan4 10133 . . . 4  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  _i )  e.  CC  /\  (
2  x.  _i )  =/=  0 )  -> 
( ( ( Im
`  A )  x.  ( 2  x.  _i ) )  /  (
2  x.  _i ) )  =  ( Im
`  A ) )
63, 4, 5mp3an23 1307 . . 3  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( Im `  A ) )
72, 6syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( Im `  A ) )
8 recl 12720 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
98recnd 9526 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
10 ax-icn 9455 . . . . . . 7  |-  _i  e.  CC
11 mulcl 9480 . . . . . . 7  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
1210, 2, 11sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
139, 12addcld 9519 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  e.  CC )
1413, 9, 12subsubd 9861 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  -  ( ( Re `  A )  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )  =  ( ( ( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  -  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
15 replim 12726 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
16 remim 12727 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
* `  A )  =  ( ( Re
`  A )  -  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
1715, 16oveq12d 6221 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( A  -  ( * `  A ) )  =  ( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  -  (
( Re `  A
)  -  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) ) )
18122timesd 10681 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
2  x.  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
19 mulcom 9482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( Im `  A
)  e.  CC  /\  ( 2  x.  _i )  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) ) )
203, 19mpan2 671 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A
) ) )
21 2cn 10506 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
22 mulass 9484 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  _i  e.  CC  /\  (
Im `  A )  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2321, 10, 22mp3an12 1305 . . . . . . 7  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  _i )  x.  ( Im `  A ) )  =  ( 2  x.  (
_i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
2420, 23eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( Im `  A )  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
252, 24syl 16 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( 2  x.  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
269, 12pncan2d 9835 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Re `  A )  +  ( _i  x.  ( Im
`  A ) ) )  -  ( Re
`  A ) )  =  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
2726oveq1d 6218 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) )  -  (
Re `  A )
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( ( _i  x.  ( Im `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2818, 25, 273eqtr4d 2505 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( ( ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  -  ( Re `  A ) )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
2914, 17, 283eqtr4rd 2506 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( 2  x.  _i ) )  =  ( A  -  ( * `  A
) ) )
3029oveq1d 6218 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
( ( Im `  A )  x.  (
2  x.  _i ) )  /  ( 2  x.  _i ) )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )
317, 30eqtr3d 2497 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( ( A  -  ( * `  A ) )  / 
( 2  x.  _i ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   CCcc 9394   0cc0 9396   _ici 9398    + caddc 9399    x. cmul 9401    - cmin 9709    / cdiv 10107   2c2 10485   *ccj 12706   Recre 12707   Imcim 12708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-div 10108  df-2 10494  df-cj 12709  df-re 12710  df-im 12711
This theorem is referenced by:  resinval  13540  dvmptim  21580
  Copyright terms: Public domain W3C validator