MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsxmet Structured version   Unicode version

Theorem imsxmet 24081
Description: The induced metric of a normed complex vector space is an extended metric space. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsmet.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
imsmet.8  |-  D  =  ( IndMet `  U )
Assertion
Ref Expression
imsxmet  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )

Proof of Theorem imsxmet
StepHypRef Expression
1 imsmet.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 imsmet.8 . . 3  |-  D  =  ( IndMet `  U )
31, 2imsmet 24080 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
4 metxmet 19907 . 2  |-  ( D  e.  ( Met `  X
)  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
53, 4syl 16 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( *Met `  X
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   ` cfv 5416   *Metcxmt 17799   Metcme 17800   NrmCVeccnv 23960   BaseSetcba 23962   IndMetcims 23967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2422  ax-rep 4401  ax-sep 4411  ax-nul 4419  ax-pow 4468  ax-pr 4529  ax-un 6370  ax-cnex 9336  ax-resscn 9337  ax-1cn 9338  ax-icn 9339  ax-addcl 9340  ax-addrcl 9341  ax-mulcl 9342  ax-mulrcl 9343  ax-mulcom 9344  ax-addass 9345  ax-mulass 9346  ax-distr 9347  ax-i2m1 9348  ax-1ne0 9349  ax-1rid 9350  ax-rnegex 9351  ax-rrecex 9352  ax-cnre 9353  ax-pre-lttri 9354  ax-pre-lttrn 9355  ax-pre-ltadd 9356  ax-pre-mulgt0 9357  ax-pre-sup 9358  ax-addf 9359  ax-mulf 9360
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3185  df-csb 3287  df-dif 3329  df-un 3331  df-in 3333  df-ss 3340  df-pss 3342  df-nul 3636  df-if 3790  df-pw 3860  df-sn 3876  df-pr 3878  df-tp 3880  df-op 3882  df-uni 4090  df-iun 4171  df-br 4291  df-opab 4349  df-mpt 4350  df-tr 4384  df-eprel 4630  df-id 4634  df-po 4639  df-so 4640  df-fr 4677  df-we 4679  df-ord 4720  df-on 4721  df-lim 4722  df-suc 4723  df-xp 4844  df-rel 4845  df-cnv 4846  df-co 4847  df-dm 4848  df-rn 4849  df-res 4850  df-ima 4851  df-iota 5379  df-fun 5418  df-fn 5419  df-f 5420  df-f1 5421  df-fo 5422  df-f1o 5423  df-fv 5424  df-riota 6050  df-ov 6092  df-oprab 6093  df-mpt2 6094  df-om 6475  df-1st 6575  df-2nd 6576  df-recs 6830  df-rdg 6864  df-er 7099  df-map 7214  df-en 7309  df-dom 7310  df-sdom 7311  df-sup 7689  df-pnf 9418  df-mnf 9419  df-xr 9420  df-ltxr 9421  df-le 9422  df-sub 9595  df-neg 9596  df-div 9992  df-nn 10321  df-2 10378  df-3 10379  df-n0 10578  df-z 10645  df-uz 10860  df-rp 10990  df-xadd 11088  df-seq 11805  df-exp 11864  df-cj 12586  df-re 12587  df-im 12588  df-sqr 12722  df-abs 12723  df-xmet 17808  df-met 17809  df-grpo 23676  df-gid 23677  df-ginv 23678  df-gdiv 23679  df-ablo 23767  df-vc 23922  df-nv 23968  df-va 23971  df-ba 23972  df-sm 23973  df-0v 23974  df-vs 23975  df-nmcv 23976  df-ims 23977
This theorem is referenced by:  nvelbl  24082  nvlmcl  24084  nvlmle  24085  vacn  24087  nmcvcn  24088  smcnlem  24090  vmcn  24092  dipcn  24116  blocnilem  24202  ipasslem7  24234  ubthlem1  24269  ubthlem2  24270  minvecolem3  24275  minvecolem4b  24277  minvecolem4  24279  h2hcau  24379  h2hlm  24380  axhcompl-zf  24398
  Copyright terms: Public domain W3C validator