Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsmetlem Structured version   Unicode version

Theorem imsmetlem 25574
 Description: Lemma for imsmet 25575. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsmetlem.1
imsmetlem.2
imsmetlem.7
imsmetlem.4
imsmetlem.5
imsmetlem.6 CV
imsmetlem.8
imsmetlem.9
Assertion
Ref Expression
imsmetlem

Proof of Theorem imsmetlem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imsmetlem.1 . . 3
2 fvex 5866 . . 3
31, 2eqeltri 2527 . 2
4 imsmetlem.9 . . 3
5 imsmetlem.8 . . . 4
61, 5imsdf 25573 . . 3
74, 6ax-mp 5 . 2
8 imsmetlem.2 . . . . . 6
9 imsmetlem.4 . . . . . 6
10 imsmetlem.6 . . . . . 6 CV
111, 8, 9, 10, 5imsdval2 25571 . . . . 5
124, 11mp3an1 1312 . . . 4
1312eqeq1d 2445 . . 3
14 neg1cn 10646 . . . . . 6
151, 9nvscl 25499 . . . . . 6
164, 14, 15mp3an12 1315 . . . . 5
171, 8nvgcl 25491 . . . . . 6
184, 17mp3an1 1312 . . . . 5
1916, 18sylan2 474 . . . 4
20 imsmetlem.5 . . . . 5
211, 20, 10nvz 25550 . . . 4
224, 19, 21sylancr 663 . . 3
231, 20nvzcl 25507 . . . . . . 7
244, 23ax-mp 5 . . . . . 6
251, 8nvrcan 25496 . . . . . . 7
264, 25mpan 670 . . . . . 6
2724, 26mp3an2 1313 . . . . 5
2819, 27sylancom 667 . . . 4
29 simpl 457 . . . . . . 7
3016adantl 466 . . . . . . 7
31 simpr 461 . . . . . . 7
321, 8nvass 25493 . . . . . . . 8
334, 32mpan 670 . . . . . . 7
3429, 30, 31, 33syl3anc 1229 . . . . . 6
351, 8, 9, 20nvlinv 25527 . . . . . . . . 9
364, 35mpan 670 . . . . . . . 8
3736adantl 466 . . . . . . 7
3837oveq2d 6297 . . . . . 6
391, 8, 20nv0rid 25508 . . . . . . . 8
404, 39mpan 670 . . . . . . 7
4140adantr 465 . . . . . 6
4234, 38, 413eqtrd 2488 . . . . 5
431, 8, 20nv0lid 25509 . . . . . . 7
444, 43mpan 670 . . . . . 6
4544adantl 466 . . . . 5
4642, 45eqeq12d 2465 . . . 4
4728, 46bitr3d 255 . . 3
4813, 22, 473bitrd 279 . 2
49 simpr 461 . . . . . . 7
501, 9nvscl 25499 . . . . . . . . 9
514, 14, 50mp3an12 1315 . . . . . . . 8
5251adantr 465 . . . . . . 7
531, 8nvgcl 25491 . . . . . . . 8
544, 53mp3an1 1312 . . . . . . 7
5549, 52, 54syl2anc 661 . . . . . 6
56553adant3 1017 . . . . 5
571, 8nvgcl 25491 . . . . . . . 8
584, 57mp3an1 1312 . . . . . . 7
5916, 58sylan2 474 . . . . . 6
60593adant2 1016 . . . . 5
611, 8, 10nvtri 25551 . . . . . 6
624, 61mp3an1 1312 . . . . 5
6356, 60, 62syl2anc 661 . . . 4
64123adant1 1015 . . . . 5
65 simp1 997 . . . . . . . 8
66163ad2ant3 1020 . . . . . . . 8
671, 8nvass 25493 . . . . . . . . 9
684, 67mpan 670 . . . . . . . 8
6956, 65, 66, 68syl3anc 1229 . . . . . . 7
70 simpl 457 . . . . . . . . . . 11
711, 8nvass 25493 . . . . . . . . . . . 12
724, 71mpan 670 . . . . . . . . . . 11
7349, 52, 70, 72syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10
741, 8, 9, 20nvlinv 25527 . . . . . . . . . . . . 13
754, 74mpan 670 . . . . . . . . . . . 12
7675adantr 465 . . . . . . . . . . 11
7776oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10
7840adantl 466 . . . . . . . . . 10
7973, 77, 783eqtrd 2488 . . . . . . . . 9
80793adant3 1017 . . . . . . . 8
8180oveq1d 6296 . . . . . . 7
8269, 81eqtr3d 2486 . . . . . 6
8382fveq2d 5860 . . . . 5
8464, 83eqtr4d 2487 . . . 4
851, 8, 9, 10, 5imsdval2 25571 . . . . . . . 8
864, 85mp3an1 1312 . . . . . . 7
871, 8, 9, 10nvdif 25546 . . . . . . . 8
884, 87mp3an1 1312 . . . . . . 7
8986, 88eqtrd 2484 . . . . . 6
90893adant3 1017 . . . . 5
911, 8, 9, 10, 5imsdval2 25571 . . . . . . 7
924, 91mp3an1 1312 . . . . . 6
93923adant2 1016 . . . . 5
9490, 93oveq12d 6299 . . . 4
9563, 84, 943brtr4d 4467 . . 3
96953coml 1204 . 2
973, 7, 48, 96ismeti 20806 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 184   wa 369   w3a 974   wceq 1383   wcel 1804  cvv 3095   class class class wbr 4437   cxp 4987  wf 5574  cfv 5578  (class class class)co 6281  cc 9493  cr 9494  cc0 9495  c1 9496   caddc 9498   cle 9632  cneg 9811  cme 18383  cgn 25168  cnv 25455  cpv 25456  cba 25457  cns 25458  cn0v 25459  CVcnmcv 25461  cims 25462 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-met 18392  df-grpo 25171  df-gid 25172  df-ginv 25173  df-gdiv 25174  df-ablo 25262  df-vc 25417  df-nv 25463  df-va 25466  df-ba 25467  df-sm 25468  df-0v 25469  df-vs 25470  df-nmcv 25471  df-ims 25472 This theorem is referenced by:  imsmet  25575
 Copyright terms: Public domain W3C validator