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Theorem imsmetlem 25574
Description: Lemma for imsmet 25575. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsmetlem.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
imsmetlem.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
imsmetlem.7  |-  M  =  ( inv `  G
)
imsmetlem.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
imsmetlem.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
imsmetlem.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
imsmetlem.8  |-  D  =  ( IndMet `  U )
imsmetlem.9  |-  U  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
imsmetlem  |-  D  e.  ( Met `  X
)

Proof of Theorem imsmetlem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imsmetlem.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 fvex 5866 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
31, 2eqeltri 2527 . 2  |-  X  e. 
_V
4 imsmetlem.9 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
5 imsmetlem.8 . . . 4  |-  D  =  ( IndMet `  U )
61, 5imsdf 25573 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
74, 6ax-mp 5 . 2  |-  D :
( X  X.  X
) --> RR
8 imsmetlem.2 . . . . . 6  |-  G  =  ( +v `  U
)
9 imsmetlem.4 . . . . . 6  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
10 imsmetlem.6 . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  U )
111, 8, 9, 10, 5imsdval2 25571 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x D y )  =  ( N `  ( x G (
-u 1 S y ) ) ) )
124, 11mp3an1 1312 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
1312eqeq1d 2445 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) )  =  0 ) )
14 neg1cn 10646 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
151, 9nvscl 25499 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  e.  X )
164, 14, 15mp3an12 1315 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  ->  ( -u 1 S y )  e.  X )
171, 8nvgcl 25491 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  -> 
( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
184, 17mp3an1 1312 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  ->  ( x G ( -u 1 S y ) )  e.  X )
1916, 18sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
20 imsmetlem.5 . . . . 5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
211, 20, 10nvz 25550 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x G ( -u
1 S y ) )  e.  X )  ->  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) )  =  0  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
224, 19, 21sylancr 663 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( N `  ( x G (
-u 1 S y ) ) )  =  0  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
231, 20nvzcl 25507 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Z  e.  X
)
244, 23ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Z  e.  X
251, 8nvrcan 25496 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X  /\  Z  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <-> 
( x G (
-u 1 S y ) )  =  Z ) )
264, 25mpan 670 . . . . . 6  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X  /\  Z  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( x G (
-u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
2724, 26mp3an2 1313 . . . . 5  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( x G (
-u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
2819, 27sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
29 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  X )
3016adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  e.  X
)
31 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
321, 8nvass 25493 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x G ( -u
1 S y ) ) G y )  =  ( x G ( ( -u 1 S y ) G y ) ) )
334, 32mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( x G ( (
-u 1 S y ) G y ) ) )
3429, 30, 31, 33syl3anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( x G ( (
-u 1 S y ) G y ) ) )
351, 8, 9, 20nvlinv 25527 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  (
( -u 1 S y ) G y )  =  Z )
364, 35mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  X  ->  (
( -u 1 S y ) G y )  =  Z )
3736adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( -u 1 S y ) G y )  =  Z )
3837oveq2d 6297 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G ( ( -u 1 S y ) G y ) )  =  ( x G Z ) )
391, 8, 20nv0rid 25508 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
x G Z )  =  x )
404, 39mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
x G Z )  =  x )
4140adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G Z )  =  x )
4234, 38, 413eqtrd 2488 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  x )
431, 8, 20nv0lid 25509 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( Z G y )  =  y )
444, 43mpan 670 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X  ->  ( Z G y )  =  y )
4544adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( Z G y )  =  y )
4642, 45eqeq12d 2465 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  x  =  y
) )
4728, 46bitr3d 255 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z  <->  x  =  y
) )
4813, 22, 473bitrd 279 . 2  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
49 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
501, 9nvscl 25499 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  ( -u 1 S z )  e.  X )
514, 14, 50mp3an12 1315 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  ->  ( -u 1 S z )  e.  X )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( -u 1 S z )  e.  X
)
531, 8nvgcl 25491 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X )  -> 
( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X
)
544, 53mp3an1 1312 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X )  ->  ( x G ( -u 1 S z ) )  e.  X )
5549, 52, 54syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X
)
56553adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X
)
571, 8nvgcl 25491 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  -> 
( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
584, 57mp3an1 1312 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  ->  ( z G ( -u 1 S y ) )  e.  X )
5916, 58sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
60593adant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
611, 8, 10nvtri 25551 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x G ( -u
1 S z ) )  e.  X  /\  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)  ->  ( N `  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )  <_  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) )  +  ( N `  ( z G (
-u 1 S y ) ) ) ) )
624, 61mp3an1 1312 . . . . 5  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X  /\  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)  ->  ( N `  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )  <_  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) )  +  ( N `  ( z G (
-u 1 S y ) ) ) ) )
6356, 60, 62syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  (
( x G (
-u 1 S z ) ) G ( z G ( -u
1 S y ) ) ) )  <_ 
( ( N `  ( x G (
-u 1 S z ) ) )  +  ( N `  (
z G ( -u
1 S y ) ) ) ) )
64123adant1 1015 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
65 simp1 997 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  z  e.  X )
66163ad2ant3 1020 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  e.  X
)
671, 8nvass 25493 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X
) )  ->  (
( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G (
-u 1 S y ) )  =  ( ( x G (
-u 1 S z ) ) G ( z G ( -u
1 S y ) ) ) )
684, 67mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X
)  ->  ( (
( x G (
-u 1 S z ) ) G z ) G ( -u
1 S y ) )  =  ( ( x G ( -u
1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
6956, 65, 66, 68syl3anc 1229 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G ( -u 1 S y ) )  =  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )
70 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  z  e.  X )
711, 8nvass 25493 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x G ( -u
1 S z ) ) G z )  =  ( x G ( ( -u 1 S z ) G z ) ) )
724, 71mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  ( x G ( (
-u 1 S z ) G z ) ) )
7349, 52, 70, 72syl3anc 1229 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  ( x G ( (
-u 1 S z ) G z ) ) )
741, 8, 9, 20nvlinv 25527 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
( -u 1 S z ) G z )  =  Z )
754, 74mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  X  ->  (
( -u 1 S z ) G z )  =  Z )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( -u 1 S z ) G z )  =  Z )
7776oveq2d 6297 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x G ( ( -u 1 S z ) G z ) )  =  ( x G Z ) )
7840adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x G Z )  =  x )
7973, 77, 783eqtrd 2488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  x )
80793adant3 1017 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  x )
8180oveq1d 6296 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G ( -u 1 S y ) )  =  ( x G (
-u 1 S y ) ) )
8269, 81eqtr3d 2486 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) )  =  ( x G (
-u 1 S y ) ) )
8382fveq2d 5860 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  (
( x G (
-u 1 S z ) ) G ( z G ( -u
1 S y ) ) ) )  =  ( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) )
8464, 83eqtr4d 2487 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( N `
 ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) )
851, 8, 9, 10, 5imsdval2 25571 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
z D x )  =  ( N `  ( z G (
-u 1 S x ) ) ) )
864, 85mp3an1 1312 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( N `
 ( z G ( -u 1 S x ) ) ) )
871, 8, 9, 10nvdif 25546 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( z G ( -u 1 S x ) ) )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
884, 87mp3an1 1312 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  (
z G ( -u
1 S x ) ) )  =  ( N `  ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
8986, 88eqtrd 2484 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
90893adant3 1017 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
911, 8, 9, 10, 5imsdval2 25571 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
z D y )  =  ( N `  ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )
924, 91mp3an1 1312 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D y )  =  ( N `
 ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
93923adant2 1016 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D y )  =  ( N `
 ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
9490, 93oveq12d 6299 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S z ) ) )  +  ( N `
 ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) )
9563, 84, 943brtr4d 4467 . . 3  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
96953coml 1204 . 2  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
973, 7, 48, 96ismeti 20806 1  |-  D  e.  ( Met `  X
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 974    = wceq 1383    e. wcel 1804   _Vcvv 3095   class class class wbr 4437    X. cxp 4987   -->wf 5574   ` cfv 5578  (class class class)co 6281   CCcc 9493   RRcr 9494   0cc0 9495   1c1 9496    + caddc 9498    <_ cle 9632   -ucneg 9811   Metcme 18383   invcgn 25168   NrmCVeccnv 25455   +vcpv 25456   BaseSetcba 25457   .sOLDcns 25458   0veccn0v 25459   normCVcnmcv 25461   IndMetcims 25462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-rep 4548  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-cnex 9551  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572  ax-pre-sup 9573
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rmo 2801  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-tp 4019  df-op 4021  df-uni 4235  df-iun 4317  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-tr 4531  df-eprel 4781  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-fr 4828  df-we 4830  df-ord 4871  df-on 4872  df-lim 4873  df-suc 4874  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7044  df-rdg 7078  df-er 7313  df-map 7424  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-sup 7903  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-xr 9635  df-ltxr 9636  df-le 9637  df-sub 9812  df-neg 9813  df-div 10214  df-nn 10544  df-2 10601  df-3 10602  df-n0 10803  df-z 10872  df-uz 11093  df-rp 11232  df-seq 12090  df-exp 12149  df-cj 12914  df-re 12915  df-im 12916  df-sqrt 13050  df-abs 13051  df-met 18392  df-grpo 25171  df-gid 25172  df-ginv 25173  df-gdiv 25174  df-ablo 25262  df-vc 25417  df-nv 25463  df-va 25466  df-ba 25467  df-sm 25468  df-0v 25469  df-vs 25470  df-nmcv 25471  df-ims 25472
This theorem is referenced by:  imsmet  25575
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