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Theorem imsmetlem 25260
Description: Lemma for imsmet 25261. (Contributed by NM, 29-Nov-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsmetlem.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
imsmetlem.2  |-  G  =  ( +v `  U
)
imsmetlem.7  |-  M  =  ( inv `  G
)
imsmetlem.4  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
imsmetlem.5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
imsmetlem.6  |-  N  =  ( normCV `  U )
imsmetlem.8  |-  D  =  ( IndMet `  U )
imsmetlem.9  |-  U  e.  NrmCVec
Assertion
Ref Expression
imsmetlem  |-  D  e.  ( Met `  X
)

Proof of Theorem imsmetlem
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imsmetlem.1 . . 3  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
2 fvex 5869 . . 3  |-  ( BaseSet `  U )  e.  _V
31, 2eqeltri 2546 . 2  |-  X  e. 
_V
4 imsmetlem.9 . . 3  |-  U  e.  NrmCVec
5 imsmetlem.8 . . . 4  |-  D  =  ( IndMet `  U )
61, 5imsdf 25259 . . 3  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D : ( X  X.  X ) --> RR )
74, 6ax-mp 5 . 2  |-  D :
( X  X.  X
) --> RR
8 imsmetlem.2 . . . . . 6  |-  G  =  ( +v `  U
)
9 imsmetlem.4 . . . . . 6  |-  S  =  ( .sOLD `  U )
10 imsmetlem.6 . . . . . 6  |-  N  =  ( normCV `  U )
111, 8, 9, 10, 5imsdval2 25257 . . . . 5  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
x D y )  =  ( N `  ( x G (
-u 1 S y ) ) ) )
124, 11mp3an1 1306 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
1312eqeq1d 2464 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) )  =  0 ) )
14 neg1cn 10630 . . . . . 6  |-  -u 1  e.  CC
151, 9nvscl 25185 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  e.  X )
164, 14, 15mp3an12 1309 . . . . 5  |-  ( y  e.  X  ->  ( -u 1 S y )  e.  X )
171, 8nvgcl 25177 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  -> 
( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
184, 17mp3an1 1306 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  ->  ( x G ( -u 1 S y ) )  e.  X )
1916, 18sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
20 imsmetlem.5 . . . . 5  |-  Z  =  ( 0vec `  U
)
211, 20, 10nvz 25236 . . . 4  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x G ( -u
1 S y ) )  e.  X )  ->  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) )  =  0  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
224, 19, 21sylancr 663 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( N `  ( x G (
-u 1 S y ) ) )  =  0  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
231, 20nvzcl 25193 . . . . . . 7  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  Z  e.  X
)
244, 23ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Z  e.  X
251, 8nvrcan 25182 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X  /\  Z  e.  X  /\  y  e.  X
) )  ->  (
( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <-> 
( x G (
-u 1 S y ) )  =  Z ) )
264, 25mpan 670 . . . . . 6  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X  /\  Z  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( x G (
-u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
2724, 26mp3an2 1307 . . . . 5  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S y ) )  e.  X  /\  y  e.  X
)  ->  ( (
( x G (
-u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
2819, 27sylancom 667 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z ) )
29 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  x  e.  X )
3016adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  e.  X
)
31 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  y  e.  X )
321, 8nvass 25179 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X  /\  y  e.  X )
)  ->  ( (
x G ( -u
1 S y ) ) G y )  =  ( x G ( ( -u 1 S y ) G y ) ) )
334, 32mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( x G ( (
-u 1 S y ) G y ) ) )
3429, 30, 31, 33syl3anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( x G ( (
-u 1 S y ) G y ) ) )
351, 8, 9, 20nvlinv 25213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  (
( -u 1 S y ) G y )  =  Z )
364, 35mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  X  ->  (
( -u 1 S y ) G y )  =  Z )
3736adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( -u 1 S y ) G y )  =  Z )
3837oveq2d 6293 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G ( ( -u 1 S y ) G y ) )  =  ( x G Z ) )
391, 8, 20nv0rid 25194 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X )  ->  (
x G Z )  =  x )
404, 39mpan 670 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  X  ->  (
x G Z )  =  x )
4140adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G Z )  =  x )
4234, 38, 413eqtrd 2507 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  x )
431, 8, 20nv0lid 25195 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  y  e.  X )  ->  ( Z G y )  =  y )
444, 43mpan 670 . . . . . 6  |-  ( y  e.  X  ->  ( Z G y )  =  y )
4544adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( Z G y )  =  y )
4642, 45eqeq12d 2484 . . . 4  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S y ) ) G y )  =  ( Z G y )  <->  x  =  y
) )
4728, 46bitr3d 255 . . 3  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S y ) )  =  Z  <->  x  =  y
) )
4813, 22, 473bitrd 279 . 2  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x D y )  =  0  <-> 
x  =  y ) )
49 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  X )
501, 9nvscl 25185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  -u 1  e.  CC  /\  z  e.  X )  ->  ( -u 1 S z )  e.  X )
514, 14, 50mp3an12 1309 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  X  ->  ( -u 1 S z )  e.  X )
5251adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( -u 1 S z )  e.  X
)
531, 8nvgcl 25177 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X )  -> 
( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X
)
544, 53mp3an1 1306 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X )  ->  ( x G ( -u 1 S z ) )  e.  X )
5549, 52, 54syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X
)
56553adant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X
)
571, 8nvgcl 25177 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  -> 
( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
584, 57mp3an1 1306 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X )  ->  ( z G ( -u 1 S y ) )  e.  X )
5916, 58sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
60593adant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)
611, 8, 10nvtri 25237 . . . . . 6  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x G ( -u
1 S z ) )  e.  X  /\  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)  ->  ( N `  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )  <_  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) )  +  ( N `  ( z G (
-u 1 S y ) ) ) ) )
624, 61mp3an1 1306 . . . . 5  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X  /\  ( z G (
-u 1 S y ) )  e.  X
)  ->  ( N `  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )  <_  ( ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) )  +  ( N `  ( z G (
-u 1 S y ) ) ) ) )
6356, 60, 62syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  (
( x G (
-u 1 S z ) ) G ( z G ( -u
1 S y ) ) ) )  <_ 
( ( N `  ( x G (
-u 1 S z ) ) )  +  ( N `  (
z G ( -u
1 S y ) ) ) ) )
64123adant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S y ) ) ) )
65 simp1 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  z  e.  X )
66163ad2ant3 1014 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( -u 1 S y )  e.  X
)
671, 8nvass 25179 . . . . . . . . 9  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X
) )  ->  (
( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G (
-u 1 S y ) )  =  ( ( x G (
-u 1 S z ) ) G ( z G ( -u
1 S y ) ) ) )
684, 67mpan 670 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x G (
-u 1 S z ) )  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( -u 1 S y )  e.  X
)  ->  ( (
( x G (
-u 1 S z ) ) G z ) G ( -u
1 S y ) )  =  ( ( x G ( -u
1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
6956, 65, 66, 68syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G ( -u 1 S y ) )  =  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )
70 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  z  e.  X )
711, 8nvass 25179 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  (
x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X  /\  z  e.  X )
)  ->  ( (
x G ( -u
1 S z ) ) G z )  =  ( x G ( ( -u 1 S z ) G z ) ) )
724, 71mpan 670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  X  /\  ( -u 1 S z )  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  ( x G ( (
-u 1 S z ) G z ) ) )
7349, 52, 70, 72syl3anc 1223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  ( x G ( (
-u 1 S z ) G z ) ) )
741, 8, 9, 20nvlinv 25213 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X )  ->  (
( -u 1 S z ) G z )  =  Z )
754, 74mpan 670 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  X  ->  (
( -u 1 S z ) G z )  =  Z )
7675adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( -u 1 S z ) G z )  =  Z )
7776oveq2d 6293 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x G ( ( -u 1 S z ) G z ) )  =  ( x G Z ) )
7840adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( x G Z )  =  x )
7973, 77, 783eqtrd 2507 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  x )
80793adant3 1011 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z )  =  x )
8180oveq1d 6292 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G z ) G ( -u 1 S y ) )  =  ( x G (
-u 1 S y ) ) )
8269, 81eqtr3d 2505 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G (
-u 1 S y ) ) )  =  ( x G (
-u 1 S y ) ) )
8382fveq2d 5863 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( N `  (
( x G (
-u 1 S z ) ) G ( z G ( -u
1 S y ) ) ) )  =  ( N `  (
x G ( -u
1 S y ) ) ) )
8464, 83eqtr4d 2506 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  =  ( N `
 ( ( x G ( -u 1 S z ) ) G ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) )
851, 8, 9, 10, 5imsdval2 25257 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  (
z D x )  =  ( N `  ( z G (
-u 1 S x ) ) ) )
864, 85mp3an1 1306 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( N `
 ( z G ( -u 1 S x ) ) ) )
871, 8, 9, 10nvdif 25232 . . . . . . . 8  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  ( z G ( -u 1 S x ) ) )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
884, 87mp3an1 1306 . . . . . . 7  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( N `  (
z G ( -u
1 S x ) ) )  =  ( N `  ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
8986, 88eqtrd 2503 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
90893adant3 1011 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D x )  =  ( N `
 ( x G ( -u 1 S z ) ) ) )
911, 8, 9, 10, 5imsdval2 25257 . . . . . . 7  |-  ( ( U  e.  NrmCVec  /\  z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  (
z D y )  =  ( N `  ( z G (
-u 1 S y ) ) ) )
924, 91mp3an1 1306 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D y )  =  ( N `
 ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
93923adant2 1010 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( z D y )  =  ( N `
 ( z G ( -u 1 S y ) ) ) )
9490, 93oveq12d 6295 . . . 4  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( ( z D x )  +  ( z D y ) )  =  ( ( N `  ( x G ( -u 1 S z ) ) )  +  ( N `
 ( z G ( -u 1 S y ) ) ) ) )
9563, 84, 943brtr4d 4472 . . 3  |-  ( ( z  e.  X  /\  x  e.  X  /\  y  e.  X )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
96953coml 1198 . 2  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( x D y )  <_  ( (
z D x )  +  ( z D y ) ) )
973, 7, 48, 96ismeti 20558 1  |-  D  e.  ( Met `  X
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   _Vcvv 3108   class class class wbr 4442    X. cxp 4992   -->wf 5577   ` cfv 5581  (class class class)co 6277   CCcc 9481   RRcr 9482   0cc0 9483   1c1 9484    + caddc 9486    <_ cle 9620   -ucneg 9797   Metcme 18170   invcgn 24854   NrmCVeccnv 25141   +vcpv 25142   BaseSetcba 25143   .sOLDcns 25144   0veccn0v 25145   normCVcnmcv 25147   IndMetcims 25148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-rep 4553  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560  ax-pre-sup 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rmo 2817  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-sup 7892  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10198  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-rp 11212  df-seq 12066  df-exp 12125  df-cj 12884  df-re 12885  df-im 12886  df-sqr 13020  df-abs 13021  df-met 18179  df-grpo 24857  df-gid 24858  df-ginv 24859  df-gdiv 24860  df-ablo 24948  df-vc 25103  df-nv 25149  df-va 25152  df-ba 25153  df-sm 25154  df-0v 25155  df-vs 25156  df-nmcv 25157  df-ims 25158
This theorem is referenced by:  imsmet  25261
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