MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imsmet Unicode version

Theorem imsmet 22136
Description: The induced metric of a normed complex vector space is a metric space. Part of Definition 2.2-1 of [Kreyszig] p. 58. (Contributed by NM, 4-Dec-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
imsmet.1  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
imsmet.8  |-  D  =  ( IndMet `  U )
Assertion
Ref Expression
imsmet  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )

Proof of Theorem imsmet
StepHypRef Expression
1 imsmet.8 . 2  |-  D  =  ( IndMet `  U )
2 fveq2 5687 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( IndMet `  U )  =  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
3 imsmet.1 . . . . . 6  |-  X  =  ( BaseSet `  U )
4 fveq2 5687 . . . . . 6  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( BaseSet `  U )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
53, 4syl5eq 2448 . . . . 5  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  X  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
65fveq2d 5691 . . . 4  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( Met `  X
)  =  ( Met `  ( BaseSet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) ) )
72, 6eleq12d 2472 . . 3  |-  ( U  =  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  ->  ( ( IndMet `  U
)  e.  ( Met `  X )  <->  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  e.  ( Met `  ( BaseSet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) ) ) )
8 eqid 2404 . . . 4  |-  ( BaseSet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )  =  ( BaseSet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) )
9 eqid 2404 . . . 4  |-  ( +v
`  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( +v
`  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
10 eqid 2404 . . . 4  |-  ( inv `  ( +v `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )  =  ( inv `  ( +v
`  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
) )
11 eqid 2404 . . . 4  |-  ( .s
OLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)  =  ( .s
OLD `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
12 eqid 2404 . . . 4  |-  ( 0vec `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
0vec `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
13 eqid 2404 . . . 4  |-  ( normCV `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
normCV
`  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
14 eqid 2404 . . . 4  |-  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  =  (
IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )
)
15 elimnvu 22129 . . . 4  |-  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. )  e.  NrmCVec
168, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15imsmetlem 22135 . . 3  |-  ( IndMet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >.
) )  e.  ( Met `  ( BaseSet `  if ( U  e.  NrmCVec ,  U ,  <. <.  +  ,  x.  >. ,  abs >. ) ) )
177, 16dedth 3740 . 2  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  ( IndMet `  U
)  e.  ( Met `  X ) )
181, 17syl5eqel 2488 1  |-  ( U  e.  NrmCVec  ->  D  e.  ( Met `  X ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   ifcif 3699   <.cop 3777   ` cfv 5413    + caddc 8949    x. cmul 8951   abscabs 11994   Metcme 16642   invcgn 21729   NrmCVeccnv 22016   +vcpv 22017   BaseSetcba 22018   .s
OLDcns 22019   0veccn0v 22020   normCVcnmcv 22022   IndMetcims 22023
This theorem is referenced by:  imsxmet  22137  vacn  22143  nmcvcn  22144  smcnlem  22146  blocni  22259  minvecolem2  22330  minvecolem3  22331  minvecolem4a  22332  minvecolem4  22335  minvecolem7  22338  hhmet  22629  hhssmet  22730
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024  ax-addf 9025  ax-mulf 9026
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-rp 10569  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-met 16651  df-grpo 21732  df-gid 21733  df-ginv 21734  df-gdiv 21735  df-ablo 21823  df-vc 21978  df-nv 22024  df-va 22027  df-ba 22028  df-sm 22029  df-0v 22030  df-vs 22031  df-nmcv 22032  df-ims 22033
  Copyright terms: Public domain W3C validator