Theorem imsdval 24099

Description: Value of the induced metric (distance function) of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsdval.1	|- X = ( BaseSet ` U )
imsdval.3	|- M = ( -v ` U )
imsdval.6	|- N = ( normCV ` U )
imsdval.8	|- D = ( IndMet ` U )

Assertion

Ref	Expression
imsdval	|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A M B ) ) )

Proof of Theorem imsdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdval.3	. . . . . 6 |- M = ( -v ` U )
2		imsdval.6	. . . . . 6 |- N = ( normCV ` U )
3		imsdval.8	. . . . . 6 |- D = ( IndMet ` U )
4	1, 2, 3	imsval 24098	. . . . 5 |- ( U e. NrmCVec -> D = ( N o. M ) )
5	4	3ad2ant1 1009	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> D = ( N o. M ) )
6	5	fveq1d 5714	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D ` <. A , B >. ) = ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) )
7		imsdval.1	. . . . . 6 |- X = ( BaseSet ` U )
8	7, 1	nvmf 24048	. . . . 5 |- ( U e. NrmCVec -> M : ( X X. X ) --> X )
9		opelxpi 4892	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. ( X X. X ) )
10		fvco3 5789	. . . . 5 |- ( ( M : ( X X. X ) --> X /\ <. A , B >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
11	8, 9, 10	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
12	11	3impb 1183	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
13	6, 12	eqtrd 2475	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
14		df-ov 6115	. 2 |- ( A D B ) = ( D ` <. A , B >. )
15		df-ov 6115	. . 3 |- ( A M B ) = ( M ` <. A , B >. )
16	15	fveq2i 5715	. 2 |- ( N ` ( A M B ) ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) )
17	13, 14, 16	3eqtr4g 2500	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A M B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   <.cop 3904   X. cxp 4859   o. ccom 4865   -->wf 5435   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   NrmCVeccnv 23984   BaseSetcba 23986   -vcnsb 23989   norm_CVcnmcv 23990   IndMetcims 23991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-ltxr 9444  df-sub 9618  df-neg 9619  df-grpo 23700  df-gid 23701  df-ginv 23702  df-gdiv 23703  df-ablo 23791  df-vc 23946  df-nv 23992  df-va 23995  df-ba 23996  df-sm 23997  df-0v 23998  df-vs 23999  df-nmcv 24000  df-ims 24001

This theorem is referenced by:  imsdval2  24100  nvnd  24101  nvelbl  24106  vacn  24111  smcnlem  24114  sspimsval  24160  blometi  24225  blocnilem  24226  ubthlem2  24294  minvecolem2  24298  minvecolem4  24303  minvecolem5  24304  minvecolem6  24305  h2hmetdval  24402  hhssmetdval  24701