Theorem imsdval 25254

Description: Value of the induced metric (distance function) of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsdval.1	|- X = ( BaseSet ` U )
imsdval.3	|- M = ( -v ` U )
imsdval.6	|- N = ( normCV ` U )
imsdval.8	|- D = ( IndMet ` U )

Assertion

Ref	Expression
imsdval	|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A M B ) ) )

Proof of Theorem imsdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdval.3	. . . . . 6 |- M = ( -v ` U )
2		imsdval.6	. . . . . 6 |- N = ( normCV ` U )
3		imsdval.8	. . . . . 6 |- D = ( IndMet ` U )
4	1, 2, 3	imsval 25253	. . . . 5 |- ( U e. NrmCVec -> D = ( N o. M ) )
5	4	3ad2ant1 1012	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> D = ( N o. M ) )
6	5	fveq1d 5859	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D ` <. A , B >. ) = ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) )
7		imsdval.1	. . . . . 6 |- X = ( BaseSet ` U )
8	7, 1	nvmf 25203	. . . . 5 |- ( U e. NrmCVec -> M : ( X X. X ) --> X )
9		opelxpi 5023	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. ( X X. X ) )
10		fvco3 5935	. . . . 5 |- ( ( M : ( X X. X ) --> X /\ <. A , B >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
11	8, 9, 10	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
12	11	3impb 1187	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
13	6, 12	eqtrd 2501	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
14		df-ov 6278	. 2 |- ( A D B ) = ( D ` <. A , B >. )
15		df-ov 6278	. . 3 |- ( A M B ) = ( M ` <. A , B >. )
16	15	fveq2i 5860	. 2 |- ( N ` ( A M B ) ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) )
17	13, 14, 16	3eqtr4g 2526	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A M B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 968   = wceq 1374   e. wcel 1762   <.cop 4026   X. cxp 4990   o. ccom 4996   -->wf 5575   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   NrmCVeccnv 25139   BaseSetcba 25141   -vcnsb 25144   norm_CVcnmcv 25145   IndMetcims 25146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-ltxr 9622  df-sub 9796  df-neg 9797  df-grpo 24855  df-gid 24856  df-ginv 24857  df-gdiv 24858  df-ablo 24946  df-vc 25101  df-nv 25147  df-va 25150  df-ba 25151  df-sm 25152  df-0v 25153  df-vs 25154  df-nmcv 25155  df-ims 25156

This theorem is referenced by:  imsdval2  25255  nvnd  25256  nvelbl  25261  vacn  25266  smcnlem  25269  sspimsval  25315  blometi  25380  blocnilem  25381  ubthlem2  25449  minvecolem2  25453  minvecolem4  25458  minvecolem5  25459  minvecolem6  25460  h2hmetdval  25557  hhssmetdval  25856