Theorem imsdval 25719

Description: Value of the induced metric (distance function) of a normed complex vector space. Equation 1 of [Kreyszig] p. 59. (Contributed by NM, 11-Sep-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
imsdval.1	|- X = ( BaseSet ` U )
imsdval.3	|- M = ( -v ` U )
imsdval.6	|- N = ( normCV ` U )
imsdval.8	|- D = ( IndMet ` U )

Assertion

Ref	Expression
imsdval	|- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A M B ) ) )

Proof of Theorem imsdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imsdval.3	. . . . . 6 |- M = ( -v ` U )
2		imsdval.6	. . . . . 6 |- N = ( normCV ` U )
3		imsdval.8	. . . . . 6 |- D = ( IndMet ` U )
4	1, 2, 3	imsval 25718	. . . . 5 |- ( U e. NrmCVec -> D = ( N o. M ) )
5	4	3ad2ant1 1017	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> D = ( N o. M ) )
6	5	fveq1d 5874	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D ` <. A , B >. ) = ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) )
7		imsdval.1	. . . . . 6 |- X = ( BaseSet ` U )
8	7, 1	nvmf 25668	. . . . 5 |- ( U e. NrmCVec -> M : ( X X. X ) --> X )
9		opelxpi 5040	. . . . 5 |- ( ( A e. X /\ B e. X ) -> <. A , B >. e. ( X X. X ) )
10		fvco3 5950	. . . . 5 |- ( ( M : ( X X. X ) --> X /\ <. A , B >. e. ( X X. X ) ) -> ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
11	8, 9, 10	syl2an 477	. . . 4 |- ( ( U e. NrmCVec /\ ( A e. X /\ B e. X ) ) -> ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
12	11	3impb 1192	. . 3 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( ( N o. M ) ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
13	6, 12	eqtrd 2498	. 2 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( D ` <. A , B >. ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) ) )
14		df-ov 6299	. 2 |- ( A D B ) = ( D ` <. A , B >. )
15		df-ov 6299	. . 3 |- ( A M B ) = ( M ` <. A , B >. )
16	15	fveq2i 5875	. 2 |- ( N ` ( A M B ) ) = ( N ` ( M ` <. A , B >. ) )
17	13, 14, 16	3eqtr4g 2523	1 |- ( ( U e. NrmCVec /\ A e. X /\ B e. X ) -> ( A D B ) = ( N ` ( A M B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   <.cop 4038   X. cxp 5006   o. ccom 5012   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   NrmCVeccnv 25604   BaseSetcba 25606   -vcnsb 25609   norm_CVcnmcv 25610   IndMetcims 25611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650  df-sub 9826  df-neg 9827  df-grpo 25320  df-gid 25321  df-ginv 25322  df-gdiv 25323  df-ablo 25411  df-vc 25566  df-nv 25612  df-va 25615  df-ba 25616  df-sm 25617  df-0v 25618  df-vs 25619  df-nmcv 25620  df-ims 25621

This theorem is referenced by:  imsdval2  25720  nvnd  25721  nvelbl  25726  vacn  25731  smcnlem  25734  sspimsval  25780  blometi  25845  blocnilem  25846  ubthlem2  25914  minvecolem2  25918  minvecolem4  25923  minvecolem5  25924  minvecolem6  25925  h2hmetdval  26022  hhssmetdval  26321