Theorem imre 8023

Description: The imaginary part of a complex number in terms of the real part function.

Assertion

Ref	Expression
imre	|- (A e. CC -> (Im` A) = (Re` (-u_i x. A)))

Proof of Theorem imre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		replim 8011	. . . . 5 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + (_i x. (Im` A))))
2	1	opreq2d 4898	. . . 4 |- (A e. CC -> (-u_i x. A) = (-u_i x. ((Re` A) + (_i x. (Im` A)))))
3		recl 8007	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (Re` A) e. RR)
4	3	recnd 6468	. . . . 5 |- (A e. CC -> (Re` A) e. CC)
5		mulcl 6456	. . . . . 6 |- ((_i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (_i x. (Im` A)) e. CC)
6		axicn 6423	. . . . . 6 |- _i e. CC
7		imcl 8008	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
8	7	recnd 6468	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (Im` A) e. CC)
9	5, 6, 8	sylancr 526	. . . . 5 |- (A e. CC -> (_i x. (Im` A)) e. CC)
10	6	negcli 6526	. . . . . 6 |- -u_i e. CC
11		adddi 6462	. . . . . 6 |- ((-u_i e. CC /\ (Re` A) e. CC /\ (_i x. (Im` A)) e. CC) -> (-u_i x. ((Re` A) + (_i x. (Im` A)))) = ((-u_i x. (Re` A)) + (-u_i x. (_i x. (Im` A)))))
12	10, 11	mp3an1 1178	. . . . 5 |- (((Re` A) e. CC /\ (_i x. (Im` A)) e. CC) -> (-u_i x. ((Re` A) + (_i x. (Im` A)))) = ((-u_i x. (Re` A)) + (-u_i x. (_i x. (Im` A)))))
13	4, 9, 12	syl11anc 524	. . . 4 |- (A e. CC -> (-u_i x. ((Re` A) + (_i x. (Im` A)))) = ((-u_i x. (Re` A)) + (-u_i x. (_i x. (Im` A)))))
14		mulneg12 6617	. . . . . . 7 |- ((_i e. CC /\ (Re` A) e. CC) -> (-u_i x. (Re` A)) = (_i x. -u(Re` A)))
15	14, 6, 4	sylancr 526	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (-u_i x. (Re` A)) = (_i x. -u(Re` A)))
16		mulass 6461	. . . . . . . . 9 |- ((-u_i e. CC /\ _i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> ((-u_i x. _i) x. (Im` A)) = (-u_i x. (_i x. (Im` A))))
17	10, 6, 16	mp3an12 1181	. . . . . . . 8 |- ((Im` A) e. CC -> ((-u_i x. _i) x. (Im` A)) = (-u_i x. (_i x. (Im` A))))
18	8, 17	syl 12	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> ((-u_i x. _i) x. (Im` A)) = (-u_i x. (_i x. (Im` A))))
19		mulid2 6578	. . . . . . . . 9 |- ((Im` A) e. CC -> (1 x. (Im` A)) = (Im` A))
20	8, 19	syl 12	. . . . . . . 8 |- (A e. CC -> (1 x. (Im` A)) = (Im` A))
21	6, 6	mulneg1i 6608	. . . . . . . . . 10 |- (-u_i x. _i) = -u(_i x. _i)
22		ixi 6872	. . . . . . . . . . . 12 |- (_i x. _i) = -u1
23	22	negeqi 6515	. . . . . . . . . . 11 |- -u(_i x. _i) = -u-u1
24		ax1cn 6422	. . . . . . . . . . . 12 |- 1 e. CC
25	24	negnegi 6549	. . . . . . . . . . 11 |- -u-u1 = 1
26	23, 25	eqtri 1908	. . . . . . . . . 10 |- -u(_i x. _i) = 1
27	21, 26	eqtri 1908	. . . . . . . . 9 |- (-u_i x. _i) = 1
28	27	opreq1i 4892	. . . . . . . 8 |- ((-u_i x. _i) x. (Im` A)) = (1 x. (Im` A))
29	20, 28	syl5eq 1940	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> ((-u_i x. _i) x. (Im` A)) = (Im` A))
30	18, 29	eqtr3d 1927	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (-u_i x. (_i x. (Im` A))) = (Im` A))
31	15, 30	opreq12d 4900	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((-u_i x. (Re` A)) + (-u_i x. (_i x. (Im` A)))) = ((_i x. -u(Re` A)) + (Im` A)))
32		mulcl 6456	. . . . . . 7 |- ((_i e. CC /\ -u(Re` A) e. CC) -> (_i x. -u(Re` A)) e. CC)
33		negcl 6525	. . . . . . . 8 |- ((Re` A) e. CC -> -u(Re` A) e. CC)
34	4, 33	syl 12	. . . . . . 7 |- (A e. CC -> -u(Re` A) e. CC)
35	32, 6, 34	sylancr 526	. . . . . 6 |- (A e. CC -> (_i x. -u(Re` A)) e. CC)
36		addcom 6458	. . . . . 6 |- (((_i x. -u(Re` A)) e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> ((_i x. -u(Re` A)) + (Im` A)) = ((Im` A) + (_i x. -u(Re` A))))
37	35, 8, 36	syl11anc 524	. . . . 5 |- (A e. CC -> ((_i x. -u(Re` A)) + (Im` A)) = ((Im` A) + (_i x. -u(Re` A))))
38	31, 37	eqtrd 1925	. . . 4 |- (A e. CC -> ((-u_i x. (Re` A)) + (-u_i x. (_i x. (Im` A)))) = ((Im` A) + (_i x. -u(Re` A))))
39	2, 13, 38	3eqtrd 1929	. . 3 |- (A e. CC -> (-u_i x. A) = ((Im` A) + (_i x. -u(Re` A))))
40	39	fveq2d 4685	. 2 |- (A e. CC -> (Re` (-u_i x. A)) = (Re` ((Im` A) + (_i x. -u(Re` A)))))
41		renegcl 6600	. . . 4 |- ((Re` A) e. RR -> -u(Re` A) e. RR)
42	3, 41	syl 12	. . 3 |- (A e. CC -> -u(Re` A) e. RR)
43		crre 8019	. . 3 |- (((Im` A) e. RR /\ -u(Re` A) e. RR) -> (Re` ((Im` A) + (_i x. -u(Re` A)))) = (Im` A))
44	7, 42, 43	syl11anc 524	. 2 |- (A e. CC -> (Re` ((Im` A) + (_i x. -u(Re` A)))) = (Im` A))
45	40, 44	eqtr2d 1926	1 |- (A e. CC -> (Im` A) = (Re` (-u_i x. A)))

Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  RRcr 6385  1c1 6387  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391  -ucneg 6446  Recre 7997  Imcim 7998

This theorem is referenced by:  recan 8157

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-re 8001  df-im 8002

Copyright terms: Public domain