Theorem imonclem 15162

Description: Lemma for ismonc 15163.

Hypotheses

Ref	Expression
imonclem.1	|- O = dom (id` T)
imonclem.2	|- H = ( hom ` T)
imonclem.3	|- R = (o` T)

Assertion

Ref	Expression
imonclem	|- ((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) -> (A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) -> (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)))))

Distinct variable groups:   B,a,g,h   C,a,g,h   F,a,g,h   H,a,g,h   O,a,g,h   R,a   T,a,g,h

Proof of Theorem imonclem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imonclem.1	. . . . . . 7 |- O = dom (id` T)
2		eqid 1884	. . . . . . 7 |- dom (dom` T) = dom (dom` T)
3		imonclem.2	. . . . . . 7 |- H = ( hom ` T)
4	1, 2, 3	ehm 15140	. . . . . 6 |- ((T e. Cat /\ B e. O /\ C e. O) -> (F e. (H` <.B, C>.) -> F e. dom (dom` T)))
5	4	3expib 1070	. . . . 5 |- (T e. Cat -> ((B e. O /\ C e. O) -> (F e. (H` <.B, C>.) -> F e. dom (dom` T))))
6	5	3imp 1061	. . . 4 |- ((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) -> F e. dom (dom` T))
7	6	adantr 425	. . 3 |- (((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h)) -> F e. dom (dom` T))
8		ax-17 1317	. . . . . 6 |- ((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) -> A.g(T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)))
9		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- (a e. O -> A.g a e. O)
10		hbra1 2147	. . . . . . 7 |- (A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) -> A.gA.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h))
11	9, 10	hbral 2146	. . . . . 6 |- (A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) -> A.gA.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h))
12	8, 11	hban 1356	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h)) -> A.g((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h)))
13		ax-17 1317	. . . . . . 7 |- ((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) -> A.h(T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)))
14		ax-17 1317	. . . . . . . 8 |- (a e. O -> A.h a e. O)
15		ax-17 1317	. . . . . . . . 9 |- (g e. (H` <.a, B>.) -> A.h g e. (H` <.a, B>.))
16		hbra1 2147	. . . . . . . . 9 |- (A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) -> A.hA.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h))
17	15, 16	hbral 2146	. . . . . . . 8 |- (A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) -> A.hA.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h))
18	14, 17	hbral 2146	. . . . . . 7 |- (A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) -> A.hA.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h))
19	13, 18	hban 1356	. . . . . 6 |- (((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h)) -> A.h((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h)))
20		simp1 876	. . . . . . . . . . 11 |- ((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) -> T e. Cat )
21		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (dom` T) = (dom` T)
22	2, 1, 21	dmo 15123	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((T e. Cat /\ g e. dom (dom` T)) -> ((dom` T)` g) e. O)
23	22	expcom 403	. . . . . . . . . . . 12 |- (g e. dom (dom` T) -> (T e. Cat -> ((dom` T)` g) e. O))
24	23	adantr 425	. . . . . . . . . . 11 |- ((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) -> (T e. Cat -> ((dom` T)` g) e. O))
25	20, 24	mpan9 521	. . . . . . . . . 10 |- (((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) -> ((dom` T)` g) e. O)
26		r2al 2136	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) <-> A.gA.h((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)))
27	26	ralbii 2127	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) <-> A.a e. O A.gA.h((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)))
28		opeq1 3158	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (a = ((dom` T)` g) -> <.a, B>. = <.((dom` T)` g), B>.)
29	28	fveq2d 4685	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (a = ((dom` T)` g) -> (H` <.a, B>.) = (H` <.((dom` T)` g), B>.))
30	29	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (a = ((dom` T)` g) -> (g e. (H` <.a, B>.) <-> g e. (H` <.((dom` T)` g), B>.)))
31	29	eleq2d 1964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (a = ((dom` T)` g) -> (h e. (H` <.a, B>.) <-> h e. (H` <.((dom` T)` g), B>.)))
32	30, 31	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (a = ((dom` T)` g) -> ((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) <-> (g e. (H` <.((dom` T)` g), B>.) /\ h e. (H` <.((dom` T)` g), B>.))))
33	32	imbi1d 675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (a = ((dom` T)` g) -> (((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)) <-> ((g e. (H` <.((dom` T)` g), B>.) /\ h e. (H` <.((dom` T)` g), B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
34	33	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ a = ((dom` T)` g)) -> (((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)) <-> ((g e. (H` <.((dom` T)` g), B>.) /\ h e. (H` <.((dom` T)` g), B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
35		simpll1 915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ a = ((dom` T)` g)) -> T e. Cat )
36	25	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ a = ((dom` T)` g)) -> ((dom` T)` g) e. O)
37		simp2l 902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) -> B e. O)
38	37	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ a = ((dom` T)` g)) -> B e. O)
39		eqid 1884	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (cod` T) = (cod` T)
40	1, 2, 21, 39, 3	ishomd 15139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((T e. Cat /\ ((dom` T)` g) e. O /\ B e. O) -> (g e. (H` <.((dom` T)` g), B>.) <-> (g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B)))
41	1, 2, 21, 39, 3	ishomd 15139	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((T e. Cat /\ ((dom` T)` g) e. O /\ B e. O) -> (h e. (H` <.((dom` T)` g), B>.) <-> (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B)))
42	40, 41	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((T e. Cat /\ ((dom` T)` g) e. O /\ B e. O) -> ((g e. (H` <.((dom` T)` g), B>.) /\ h e. (H` <.((dom` T)` g), B>.)) <-> ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B))))
43	42	imbi1d 675	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((T e. Cat /\ ((dom` T)` g) e. O /\ B e. O) -> (((g e. (H` <.((dom` T)` g), B>.) /\ h e. (H` <.((dom` T)` g), B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)) <-> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
44	35, 36, 38, 43	syl111anc 1100	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ a = ((dom` T)` g)) -> (((g e. (H` <.((dom` T)` g), B>.) /\ h e. (H` <.((dom` T)` g), B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)) <-> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
45	1, 21, 3	dehm 15141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((T e. Cat /\ B e. O /\ C e. O) -> (F e. (H` <.B, C>.) -> ((dom` T)` F) = B))
46	45	3expib 1070	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (T e. Cat -> ((B e. O /\ C e. O) -> (F e. (H` <.B, C>.) -> ((dom` T)` F) = B)))
47	46	3imp 1061	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) -> ((dom` T)` F) = B)
48	47	ad2antrr 440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ a = ((dom` T)` g)) -> ((dom` T)` F) = B)
49		simplr 449	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ a = ((dom` T)` g)) -> (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)))
50		simp2 877	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B) -> ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g))
51	50	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B) -> ((dom` T)` g) = ((dom` T)` h))
52	51	ad2antll 443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B))) -> ((dom` T)` g) = ((dom` T)` h))
53		eqtr3 1907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((cod` T)` g) = B /\ ((dom` T)` F) = B) -> ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F))
54	53	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((cod` T)` g) = B -> (((dom` T)` F) = B -> ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F)))
55	54	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) -> (((dom` T)` F) = B -> ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F)))
56	55	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B)) -> (((dom` T)` F) = B -> ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F)))
57	56	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((dom` T)` F) = B -> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B)) -> ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F)))
58	57	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) -> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B)) -> ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F)))
59	58	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B))) -> ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F))
60		eqtr3 1907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((cod` T)` h) = B /\ ((dom` T)` F) = B) -> ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F))
61	60	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((cod` T)` h) = B -> (((dom` T)` F) = B -> ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)))
62	61	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B) -> (((dom` T)` F) = B -> ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)))
63	62	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B)) -> (((dom` T)` F) = B -> ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)))
64	63	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- (((dom` T)` F) = B -> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B)) -> ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)))
65	64	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) -> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B)) -> ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)))
66	65	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B))) -> ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F))
67	52, 59, 66	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B))) -> (((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)))
68		simplrl 454	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ (((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F))) -> g e. dom (dom` T))
69		eqidd 1885	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ (((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F))) -> ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g))
70		eqtr 1904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((dom` T)` F) = B) -> ((cod` T)` g) = B)
71	70	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) -> (((dom` T)` F) = B -> ((cod` T)` g) = B))
72	71	3ad2ant2 898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> (((dom` T)` F) = B -> ((cod` T)` g) = B))
73	72	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((dom` T)` F) = B -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((cod` T)` g) = B))
74	73	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((cod` T)` g) = B))
75	74	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ (((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F))) -> ((cod` T)` g) = B)
76	68, 69, 75	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ (((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F))) -> (g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B))
77		simplrr 455	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ (((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F))) -> h e. dom (dom` T))
78		simp1 876	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((dom` T)` g) = ((dom` T)` h))
79	78	eqcomd 1889	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g))
80	79	adantl 424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ (((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F))) -> ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g))
81		eqtr 1904	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 |- ((((cod` T)` h) = ((dom` T)` F) /\ ((dom` T)` F) = B) -> ((cod` T)` h) = B)
82	81	ex 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 |- (((cod` T)` h) = ((dom` T)` F) -> (((dom` T)` F) = B -> ((cod` T)` h) = B))
83	82	3ad2ant3 899	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> (((dom` T)` F) = B -> ((cod` T)` h) = B))
84	83	com12 14	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- (((dom` T)` F) = B -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((cod` T)` h) = B))
85	84	adantr 425	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((cod` T)` h) = B))
86	85	imp 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- (((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ (((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F))) -> ((cod` T)` h) = B)
87	77, 80, 86	3jca 1050	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ (((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F))) -> (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B))
88	76, 87	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ (((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F))) -> ((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B)))
89	67, 88	impbida 577	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((((dom` T)` F) = B /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) -> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B)) <-> (((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F))))
90	48, 49, 89	syl11anc 524	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ a = ((dom` T)` g)) -> (((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B)) <-> (((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F))))
91	90	imbi1d 675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ a = ((dom` T)` g)) -> ((((g e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` g) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` g) = B) /\ (h e. dom (dom` T) /\ ((dom` T)` h) = ((dom` T)` g) /\ ((cod` T)` h) = B)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)) <-> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
92	34, 44, 91	3bitrd 603	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ a = ((dom` T)` g)) -> (((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)) <-> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
93	92	rcla4dv 2382	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ ((dom` T)` g) e. O) -> (A.a e. O ((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)) -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
94		ax-4 1319	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (A.h((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)) -> ((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)))
95	94	a4s 1330	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (A.gA.h((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)) -> ((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)))
96	95	ralimi 2168	. . . . . . . . . . . . 13 |- (A.a e. O A.gA.h((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)) -> A.a e. O ((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)))
97	93, 96	syl5com 63	. . . . . . . . . . . 12 |- (A.a e. O A.gA.h((g e. (H` <.a, B>.) /\ h e. (H` <.a, B>.)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)) -> ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ ((dom` T)` g) e. O) -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
98	27, 97	sylbi 216	. . . . . . . . . . 11 |- (A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) -> ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ ((dom` T)` g) e. O) -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
99	98	com12 14	. . . . . . . . . 10 |- ((((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) /\ ((dom` T)` g) e. O) -> (A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
100	25, 99	mpdan 768	. . . . . . . . 9 |- (((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ (g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T))) -> (A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
101	100	ex 402	. . . . . . . 8 |- ((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) -> ((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) -> (A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)))))
102	101	com23 36	. . . . . . 7 |- ((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) -> (A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) -> ((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)))))
103	102	imp 377	. . . . . 6 |- (((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h)) -> ((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
104	19, 103	19.21ai 1345	. . . . 5 |- (((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h)) -> A.h((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
105	12, 104	19.21ai 1345	. . . 4 |- (((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h)) -> A.gA.h((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
106		r2al 2136	. . . 4 |- (A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)) <-> A.gA.h((g e. dom (dom` T) /\ h e. dom (dom` T)) -> ((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
107	105, 106	sylibr 217	. . 3 |- (((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h)) -> A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)))
108	7, 107	jca 310	. 2 |- (((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) /\ A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h)) -> (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h))))
109	108	ex 402	1 |- ((T e. Cat /\ (B e. O /\ C e. O) /\ F e. (H` <.B, C>.)) -> (A.a e. O A.g e. (H` <.a, B>.)A.h e. (H` <.a, B>.)((FRg) = (FRh) -> g = h) -> (F e. dom (dom` T) /\ A.g e. dom (dom` T)A.h e. dom (dom` T)((((dom` T)` g) = ((dom` T)` h) /\ ((cod` T)` g) = ((dom` T)` F) /\ ((cod` T)` h) = ((dom` T)` F)) -> ((FRg) = (FRh) -> g = h)))))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  A.wral 2105  <.cop 3046  dom cdm 3986  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  domcdom_ 15059  codccod_ 15060  idcid_ 15061  oco_ 15062   Cat ccat 15099   hom chom 15134

This theorem is referenced by:  ismonc 15163

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-alg 15063  df-doma 15064  df-coda 15065  df-ida 15066  df-cmpa 15067  df-ded 15082  df-cat 15100  df-hom 15135

Copyright terms: Public domain