MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imneg Structured version   Unicode version

Theorem imneg 13115
Description: The imaginary part of a negative number. (Contributed by NM, 18-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 14-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
imneg  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )

Proof of Theorem imneg
StepHypRef Expression
1 recl 13092 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  RR )
21recnd 9652 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  A )  e.  CC )
3 ax-icn 9581 . . . . . 6  |-  _i  e.  CC
4 imcl 13093 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
54recnd 9652 . . . . . 6  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  CC )
6 mulcl 9606 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  (
Im `  A )
)  e.  CC )
73, 5, 6sylancr 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  ( Im `  A ) )  e.  CC )
82, 7negdid 9980 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
( Re `  A
)  +  ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )  =  ( -u (
Re `  A )  +  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
9 replim 13098 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  A  =  ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
109negeqd 9850 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  =  -u ( ( Re
`  A )  +  ( _i  x.  (
Im `  A )
) ) )
11 mulneg2 10035 . . . . . 6  |-  ( ( _i  e.  CC  /\  ( Im `  A )  e.  CC )  -> 
( _i  x.  -u (
Im `  A )
)  =  -u (
_i  x.  ( Im `  A ) ) )
123, 5, 11sylancr 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  CC  ->  (
_i  x.  -u ( Im
`  A ) )  =  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) )
1312oveq2d 6294 . . . 4  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u ( Re `  A
)  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A ) ) )  =  ( -u (
Re `  A )  +  -u ( _i  x.  ( Im `  A ) ) ) )
148, 10, 133eqtr4d 2453 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u A  =  ( -u (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) ) )
1514fveq2d 5853 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  ( Im `  ( -u ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) ) )
161renegcld 10027 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Re `  A )  e.  RR )
174renegcld 10027 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  -u (
Im `  A )  e.  RR )
18 crim 13097 . . 3  |-  ( (
-u ( Re `  A )  e.  RR  /\  -u ( Im `  A
)  e.  RR )  ->  ( Im `  ( -u ( Re `  A )  +  ( _i  x.  -u (
Im `  A )
) ) )  = 
-u ( Im `  A ) )
1916, 17, 18syl2anc 659 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  ( -u (
Re `  A )  +  ( _i  x.  -u ( Im `  A
) ) ) )  =  -u ( Im `  A ) )
2015, 19eqtrd 2443 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  -u A )  =  -u ( Im `  A ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1405    e. wcel 1842   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   CCcc 9520   RRcr 9521   _ici 9524    + caddc 9525    x. cmul 9527   -ucneg 9842   Recre 13079   Imcim 13080
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-2 10635  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083
This theorem is referenced by:  imsub  13117  cjneg  13129  imnegi  13163  imnegd  13192  logreclem  23429  asinlem3  23527
  Copyright terms: Public domain W3C validator