MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  immul2 Structured version   Unicode version

Theorem immul2 12920
Description: Imaginary part of a product. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
immul2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )

Proof of Theorem immul2
StepHypRef Expression
1 recn 9571 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  A  e.  CC )
2 immul 12919 . . 3  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
31, 2sylan 471 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( ( ( Re `  A
)  x.  ( Im
`  B ) )  +  ( ( Im
`  A )  x.  ( Re `  B
) ) ) )
4 rere 12905 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Re `  A )  =  A )
54adantr 465 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Re `  A
)  =  A )
65oveq1d 6290 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Re `  A )  x.  (
Im `  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
7 reim0 12901 . . . . 5  |-  ( A  e.  RR  ->  (
Im `  A )  =  0 )
87oveq1d 6290 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) )  =  ( 0  x.  ( Re `  B
) ) )
9 recl 12893 . . . . . 6  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  RR )
109recnd 9611 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Re `  B )  e.  CC )
1110mul02d 9766 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
0  x.  ( Re
`  B ) )  =  0 )
128, 11sylan9eq 2521 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( Im `  A )  x.  (
Re `  B )
)  =  0 )
136, 12oveq12d 6293 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( ( Re
`  A )  x.  ( Im `  B
) )  +  ( ( Im `  A
)  x.  ( Re
`  B ) ) )  =  ( ( A  x.  ( Im
`  B ) )  +  0 ) )
14 imcl 12894 . . . . 5  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  RR )
1514recnd 9611 . . . 4  |-  ( B  e.  CC  ->  (
Im `  B )  e.  CC )
16 mulcl 9565 . . . 4  |-  ( ( A  e.  CC  /\  ( Im `  B )  e.  CC )  -> 
( A  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
171, 15, 16syl2an 477 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  x.  (
Im `  B )
)  e.  CC )
1817addid1d 9768 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( ( A  x.  ( Im `  B ) )  +  0 )  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
193, 13, 183eqtrd 2505 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  CC )  ->  ( Im `  ( A  x.  B )
)  =  ( A  x.  ( Im `  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1374    e. wcel 1762   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   CCcc 9479   RRcr 9480   0cc0 9481    + caddc 9484    x. cmul 9486   Recre 12880   Imcim 12881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-2 10583  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884
This theorem is referenced by:  imdiv  12921  immul2d  13011  cxpsqrlem  22804  atantan  22975
  Copyright terms: Public domain W3C validator