MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imf Structured version   Unicode version

Theorem imf 13155
Description: Domain and codomain of the imaginary part function. (Contributed by Paul Chapman, 22-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
imf  |-  Im : CC
--> RR

Proof of Theorem imf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-im 13143 . 2  |-  Im  =  ( x  e.  CC  |->  ( Re `  ( x  /  _i ) ) )
2 imval 13149 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
Im `  x )  =  ( Re `  ( x  /  _i ) ) )
3 imcl 13153 . . 3  |-  ( x  e.  CC  ->  (
Im `  x )  e.  RR )
42, 3eqeltrrd 2518 . 2  |-  ( x  e.  CC  ->  (
Re `  ( x  /  _i ) )  e.  RR )
51, 4fmpti 6060 1  |-  Im : CC
--> RR
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    e. wcel 1870   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   CCcc 9536   RRcr 9537   _ici 9540    / cdiv 10268   Recre 13139   Imcim 13140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-op 4009  df-uni 4223  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-2 10668  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143
This theorem is referenced by:  imcn2  13643  climim  13648  rlimim  13653  caucvgr  13719  fsumim  13847  imcncf  21831  cnrehmeo  21877  ismbf  22463  ismbfcn  22464  mbfconst  22468  ismbfcn2  22472  mbfres  22477  mbfimaopnlem  22488  eff1olem  23362  ellogrn  23374  dvloglem  23458  logf1o2  23460  dvlog  23461  efopnlem2  23467  asinneg  23677  mbfresfi  31690  itgaddnc  31705  itgmulc2nc  31713  mbfres2cn  37403
  Copyright terms: Public domain W3C validator