MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcncf Structured version   Unicode version

Theorem imcncf 20491
Description: Imaginary part is continuous. (Contributed by Paul Chapman, 21-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Apr-2014.)
Assertion
Ref Expression
imcncf  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )

Proof of Theorem imcncf
Dummy variables  x  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imf 12614 . 2  |-  Im : CC
--> RR
2 imcn2 13091 . . 3  |-  ( ( x  e.  CC  /\  y  e.  RR+ )  ->  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  ( w  -  x
) )  <  z  ->  ( abs `  (
( Im `  w
)  -  ( Im
`  x ) ) )  <  y ) )
32rgen2 2824 . 2  |-  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( Im `  w
)  -  ( Im
`  x ) ) )  <  y )
4 ssid 3387 . . 3  |-  CC  C_  CC
5 ax-resscn 9351 . . 3  |-  RR  C_  CC
6 elcncf2 20478 . . 3  |-  ( ( CC  C_  CC  /\  RR  C_  CC )  ->  (
Im  e.  ( CC
-cn-> RR )  <->  ( Im : CC --> RR  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  ( ( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( Im `  w
)  -  ( Im
`  x ) ) )  <  y ) ) ) )
74, 5, 6mp2an 672 . 2  |-  ( Im  e.  ( CC -cn-> RR )  <->  ( Im : CC
--> RR  /\  A. x  e.  CC  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR+  A. w  e.  CC  (
( abs `  (
w  -  x ) )  <  z  -> 
( abs `  (
( Im `  w
)  -  ( Im
`  x ) ) )  <  y ) ) )
81, 3, 7mpbir2an 911 1  |-  Im  e.  ( CC -cn-> RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   A.wral 2727   E.wrex 2728    C_ wss 3340   class class class wbr 4304   -->wf 5426   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   CCcc 9292   RRcr 9293    < clt 9430    - cmin 9607   RR+crp 11003   Imcim 12599   abscabs 12735   -cn->ccncf 20464
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384  ax-cnex 9350  ax-resscn 9351  ax-1cn 9352  ax-icn 9353  ax-addcl 9354  ax-addrcl 9355  ax-mulcl 9356  ax-mulrcl 9357  ax-mulcom 9358  ax-addass 9359  ax-mulass 9360  ax-distr 9361  ax-i2m1 9362  ax-1ne0 9363  ax-1rid 9364  ax-rnegex 9365  ax-rrecex 9366  ax-cnre 9367  ax-pre-lttri 9368  ax-pre-lttrn 9369  ax-pre-ltadd 9370  ax-pre-mulgt0 9371  ax-pre-sup 9372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2732  df-rex 2733  df-reu 2734  df-rmo 2735  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-pss 3356  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-tp 3894  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-tr 4398  df-eprel 4644  df-id 4648  df-po 4653  df-so 4654  df-fr 4691  df-we 4693  df-ord 4734  df-on 4735  df-lim 4736  df-suc 4737  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-riota 6064  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-om 6489  df-2nd 6590  df-recs 6844  df-rdg 6878  df-er 7113  df-map 7228  df-en 7323  df-dom 7324  df-sdom 7325  df-sup 7703  df-pnf 9432  df-mnf 9433  df-xr 9434  df-ltxr 9435  df-le 9436  df-sub 9609  df-neg 9610  df-div 10006  df-nn 10335  df-2 10392  df-3 10393  df-n0 10592  df-z 10659  df-uz 10874  df-rp 11004  df-seq 11819  df-exp 11878  df-cj 12600  df-re 12601  df-im 12602  df-sqr 12736  df-abs 12737  df-cncf 20466
This theorem is referenced by:  cnrehmeo  20537  cncombf  21148  cnmbf  21149  dvloglem  22105  mbfresfi  28450  ftc1anclem8  28486
  Copyright terms: Public domain W3C validator