MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imcl Structured version   Unicode version

Theorem imcl 12907
Description: The imaginary part of a complex number is real. (Contributed by NM, 9-May-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 6-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
imcl  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem imcl
StepHypRef Expression
1 imre 12904 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  =  ( Re `  ( -u _i  x.  A
) ) )
2 negicn 9821 . . . 4  |-  -u _i  e.  CC
3 mulcl 9576 . . . 4  |-  ( (
-u _i  e.  CC  /\  A  e.  CC )  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
42, 3mpan 670 . . 3  |-  ( A  e.  CC  ->  ( -u _i  x.  A )  e.  CC )
5 recl 12906 . . 3  |-  ( (
-u _i  x.  A
)  e.  CC  ->  ( Re `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  RR )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Re `  ( -u _i  x.  A ) )  e.  RR )
71, 6eqeltrd 2555 1  |-  ( A  e.  CC  ->  (
Im `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1767   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   _ici 9494    x. cmul 9497   -ucneg 9806   Recre 12893   Imcim 12894
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-2 10594  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897
This theorem is referenced by:  imf  12909  remim  12913  mulre  12917  cjreb  12919  recj  12920  reneg  12921  readd  12922  remullem  12924  remul2  12926  imcj  12928  imneg  12929  imadd  12930  imsub  12931  immul2  12933  imdiv  12934  cjcj  12936  cjadd  12937  ipcnval  12939  cjmulval  12941  cjmulge0  12942  cjneg  12943  imval2  12947  cnrecnv  12961  imcli  12964  imcld  12991  absrele  13104  efeul  13758  absef  13793  absefib  13794  efieq1re  13795  cnsubrg  18274  mbfconst  21805  itgconst  21988  tanregt0  22687  ellogrn  22703  argimgt0  22753  argimlt0  22754  logneg2  22756  tanarg  22760  logf1o2  22787  logreclem  22906  asinlem3a  22957  asinlem3  22958  zetacvg  28225  sigarls  31569
  Copyright terms: Public domain W3C validator