HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem imcj 8069
Description: The imaginary part of a number in terms of complex conjugate.
Assertion
Ref Expression
imcj |- (A e. CC -> (Im` A) = ((A - (*` A)) / (2 x. _i)))
Proof of Theorem imcj
StepHypRef Expression
1 imcl 8008 . . . 4 |- (A e. CC -> (Im` A) e. RR)
21recnd 6468 . . 3 |- (A e. CC -> (Im` A) e. CC)
3 2cn 7164 . . . . 5 |- 2 e. CC
4 axicn 6423 . . . . 5 |- _i e. CC
53, 4mulcli 6474 . . . 4 |- (2 x. _i) e. CC
6 2ne0 7174 . . . . 5 |- 2 =/= 0
7 ine0 6597 . . . . 5 |- _i =/= 0
83, 4, 6, 7mulne0i 6888 . . . 4 |- (2 x. _i) =/= 0
9 divcan4 6939 . . . 4 |- (((Im` A) e. CC /\ (2 x. _i) e. CC /\ (2 x. _i) =/= 0) -> (((Im` A) x. (2 x. _i)) / (2 x. _i)) = (Im` A))
105, 8, 9mp3an23 1183 . . 3 |- ((Im` A) e. CC -> (((Im` A) x. (2 x. _i)) / (2 x. _i)) = (Im` A))
112, 10syl 12 . 2 |- (A e. CC -> (((Im` A) x. (2 x. _i)) / (2 x. _i)) = (Im` A))
12 recl 8007 . . . . . . 7 |- (A e. CC -> (Re` A) e. RR)
1312recnd 6468 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (Re` A) e. CC)
14 mulcl 6456 . . . . . . 7 |- ((_i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> (_i x. (Im` A)) e. CC)
1514, 4, 2sylancr 526 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (_i x. (Im` A)) e. CC)
16 addcl 6454 . . . . . 6 |- (((Re` A) e. CC /\ (_i x. (Im` A)) e. CC) -> ((Re` A) + (_i x. (Im` A))) e. CC)
1713, 15, 16syl11anc 524 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((Re` A) + (_i x. (Im` A))) e. CC)
18 subsub 6627 . . . . 5 |- ((((Re` A) + (_i x. (Im` A))) e. CC /\ (Re` A) e. CC /\ (_i x. (Im` A)) e. CC) -> (((Re` A) + (_i x. (Im` A))) - ((Re` A) - (_i x. (Im` A)))) = ((((Re` A) + (_i x. (Im` A))) - (Re` A)) + (_i x. (Im` A))))
1917, 13, 15, 18syl111anc 1100 . . . 4 |- (A e. CC -> (((Re` A) + (_i x. (Im` A))) - ((Re` A) - (_i x. (Im` A)))) = ((((Re` A) + (_i x. (Im` A))) - (Re` A)) + (_i x. (Im` A))))
20 replim 8011 . . . . 5 |- (A e. CC -> A = ((Re` A) + (_i x. (Im` A))))
21 cjval 8013 . . . . 5 |- (A e. CC -> (*` A) = ((Re` A) - (_i x. (Im` A))))
2220, 21opreq12d 4900 . . . 4 |- (A e. CC -> (A - (*` A)) = (((Re` A) + (_i x. (Im` A))) - ((Re` A) - (_i x. (Im` A)))))
23 2times 7188 . . . . . 6 |- ((_i x. (Im` A)) e. CC -> (2 x. (_i x. (Im` A))) = ((_i x. (Im` A)) + (_i x. (Im` A))))
2415, 23syl 12 . . . . 5 |- (A e. CC -> (2 x. (_i x. (Im` A))) = ((_i x. (Im` A)) + (_i x. (Im` A))))
25 mulcom 6459 . . . . . . . 8 |- (((Im` A) e. CC /\ (2 x. _i) e. CC) -> ((Im` A) x. (2 x. _i)) = ((2 x. _i) x. (Im` A)))
265, 25mpan2 760 . . . . . . 7 |- ((Im` A) e. CC -> ((Im` A) x. (2 x. _i)) = ((2 x. _i) x. (Im` A)))
27 mulass 6461 . . . . . . . 8 |- ((2 e. CC /\ _i e. CC /\ (Im` A) e. CC) -> ((2 x. _i) x. (Im` A)) = (2 x. (_i x. (Im` A))))
283, 4, 27mp3an12 1181 . . . . . . 7 |- ((Im` A) e. CC -> ((2 x. _i) x. (Im` A)) = (2 x. (_i x. (Im` A))))
2926, 28eqtrd 1925 . . . . . 6 |- ((Im` A) e. CC -> ((Im` A) x. (2 x. _i)) = (2 x. (_i x. (Im` A))))
302, 29syl 12 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((Im` A) x. (2 x. _i)) = (2 x. (_i x. (Im` A))))
31 pncan2 6558 . . . . . . 7 |- (((Re` A) e. CC /\ (_i x. (Im` A)) e. CC) -> (((Re` A) + (_i x. (Im` A))) - (Re` A)) = (_i x. (Im` A)))
3213, 15, 31syl11anc 524 . . . . . 6 |- (A e. CC -> (((Re` A) + (_i x. (Im` A))) - (Re` A)) = (_i x. (Im` A)))
3332opreq1d 4897 . . . . 5 |- (A e. CC -> ((((Re` A) + (_i x. (Im` A))) - (Re` A)) + (_i x. (Im` A))) = ((_i x. (Im` A)) + (_i x. (Im` A))))
3424, 30, 333eqtr4d 1937 . . . 4 |- (A e. CC -> ((Im` A) x. (2 x. _i)) = ((((Re` A) + (_i x. (Im` A))) - (Re` A)) + (_i x. (Im` A))))
3519, 22, 343eqtr4rd 1939 . . 3 |- (A e. CC -> ((Im` A) x. (2 x. _i)) = (A - (*` A)))
3635opreq1d 4897 . 2 |- (A e. CC -> (((Im` A) x. (2 x. _i)) / (2 x. _i)) = ((A - (*` A)) / (2 x. _i)))
3711, 36eqtr3d 1927 1 |- (A e. CC -> (Im` A) = ((A - (*` A)) / (2 x. _i)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  CCcc 6384  0cc0 6386  _ici 6388   + caddc 6389   x. cmul 6391   - cmin 6445   / cdiv 6447  2c2 7145  Recre 7997  Imcim 7998  *ccj 7999
This theorem is referenced by:  resinval 8698
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731
This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892  df-2 7154  df-re 8001  df-im 8002  df-cj 8003
Copyright terms: Public domain