MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaval Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem imasvscaval 15444
Description: The value of an image structure's scalar multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasvscaf.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasvscaf.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasvscaf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasvscaf.g  |-  G  =  (Scalar `  R )
imasvscaf.k  |-  K  =  ( Base `  G
)
imasvscaf.q  |-  .x.  =  ( .s `  R )
imasvscaf.s  |-  .xb  =  ( .s `  U )
imasvscaf.e  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
imasvscaval  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  ( X  .xb  ( F `  Y
) )  =  ( F `  ( X 
.x.  Y ) ) )
Distinct variable groups:    p, a,
q, F    K, a, p, q    ph, a, p, q    B, p, q    R, p, q    .x. , p, q    .xb , a, p, q    V, a, p, q    X, p    Y, p, q
Allowed substitution hints:    B( a)    R( a)    .x. ( a)    U( q, p, a)    G( q, p, a)    X( q, a)    Y( a)    Z( q, p, a)

Proof of Theorem imasvscaval
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasvscaf.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasvscaf.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasvscaf.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 imasvscaf.g . . . . . . 7  |-  G  =  (Scalar `  R )
6 imasvscaf.k . . . . . . 7  |-  K  =  ( Base `  G
)
7 imasvscaf.q . . . . . . 7  |-  .x.  =  ( .s `  R )
8 imasvscaf.s . . . . . . 7  |-  .xb  =  ( .s `  U )
9 imasvscaf.e . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 15443 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( K  X.  B ) )
11 fnfun 5673 . . . . . 6  |-  (  .xb  Fn  ( K  X.  B
)  ->  Fun  .xb  )
1210, 11syl 17 . . . . 5  |-  ( ph  ->  Fun  .xb  )
13123ad2ant1 1029 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  Fun  .xb  )
14 eqidd 2452 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Y  ->  K  =  K )
15 fveq2 5865 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Y  ->  ( F `  q )  =  ( F `  Y ) )
1615sneqd 3980 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Y  ->  { ( F `  q ) }  =  { ( F `  Y ) } )
17 oveq2 6298 . . . . . . . . 9  |-  ( q  =  Y  ->  (
p  .x.  q )  =  ( p  .x.  Y ) )
1817fveq2d 5869 . . . . . . . 8  |-  ( q  =  Y  ->  ( F `  ( p  .x.  q ) )  =  ( F `  (
p  .x.  Y )
) )
1914, 16, 18mpt2eq123dv 6353 . . . . . . 7  |-  ( q  =  Y  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  =  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) )
2019ssiun2s 4322 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  V  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) )  C_  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
21203ad2ant3 1031 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  Y ) ) )  C_  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 15421 . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
23223ad2ant1 1029 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  .xb  =  U_ q  e.  V  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) )
2421, 23sseqtr4d 3469 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  Y ) ) )  C_  .xb  )
25 simp2 1009 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  X  e.  K )
26 fvex 5875 . . . . . . 7  |-  ( F `
 Y )  e. 
_V
2726snid 3996 . . . . . 6  |-  ( F `
 Y )  e. 
{ ( F `  Y ) }
28 opelxpi 4866 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  K  /\  ( F `  Y )  e.  { ( F `
 Y ) } )  ->  <. X , 
( F `  Y
) >.  e.  ( K  X.  { ( F `
 Y ) } ) )
2925, 27, 28sylancl 668 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  <. X , 
( F `  Y
) >.  e.  ( K  X.  { ( F `
 Y ) } ) )
30 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  Y ) ) )  =  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  Y ) ) )
31 fvex 5875 . . . . . 6  |-  ( F `
 ( p  .x.  Y ) )  e. 
_V
3230, 31dmmpt2 6863 . . . . 5  |-  dom  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) )  =  ( K  X.  { ( F `  Y ) } )
3329, 32syl6eleqr 2540 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  <. X , 
( F `  Y
) >.  e.  dom  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) )
34 funssfv 5880 . . . 4  |-  ( ( Fun  .xb  /\  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) )  C_  .xb  /\  <. X ,  ( F `  Y ) >.  e.  dom  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) )  -> 
(  .xb  `  <. X , 
( F `  Y
) >. )  =  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) `  <. X ,  ( F `  Y ) >. )
)
3513, 24, 33, 34syl3anc 1268 . . 3  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  (  .xb  ` 
<. X ,  ( F `
 Y ) >.
)  =  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) `  <. X ,  ( F `  Y ) >. )
)
36 df-ov 6293 . . 3  |-  ( X 
.xb  ( F `  Y ) )  =  (  .xb  `  <. X , 
( F `  Y
) >. )
37 df-ov 6293 . . 3  |-  ( X ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) ( F `
 Y ) )  =  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  Y ) ) ) `  <. X , 
( F `  Y
) >. )
3835, 36, 373eqtr4g 2510 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  ( X  .xb  ( F `  Y
) )  =  ( X ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  Y ) ) ) ( F `  Y ) ) )
39 oveq1 6297 . . . . 5  |-  ( p  =  X  ->  (
p  .x.  Y )  =  ( X  .x.  Y ) )
4039fveq2d 5869 . . . 4  |-  ( p  =  X  ->  ( F `  ( p  .x.  Y ) )  =  ( F `  ( X  .x.  Y ) ) )
41 eqidd 2452 . . . 4  |-  ( x  =  ( F `  Y )  ->  ( F `  ( X  .x.  Y ) )  =  ( F `  ( X  .x.  Y ) ) )
42 fvex 5875 . . . 4  |-  ( F `
 ( X  .x.  Y ) )  e. 
_V
4340, 41, 30, 42ovmpt2 6432 . . 3  |-  ( ( X  e.  K  /\  ( F `  Y )  e.  { ( F `
 Y ) } )  ->  ( X
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) ( F `
 Y ) )  =  ( F `  ( X  .x.  Y ) ) )
4425, 27, 43sylancl 668 . 2  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  ( X
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  Y ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  Y ) ) ) ( F `
 Y ) )  =  ( F `  ( X  .x.  Y ) ) )
4538, 44eqtrd 2485 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  K  /\  Y  e.  V
)  ->  ( X  .xb  ( F `  Y
) )  =  ( F `  ( X 
.x.  Y ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887    C_ wss 3404   {csn 3968   <.cop 3974   U_ciun 4278    X. cxp 4832   dom cdm 4834   Fun wfun 5576    Fn wfn 5577   -onto->wfo 5580   ` cfv 5582  (class class class)co 6290    |-> cmpt2 6292   Basecbs 15121  Scalarcsca 15193   .scvsca 15194    "s cimas 15402
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-imas 15407
This theorem is referenced by:  xpsvsca  15485
  Copyright terms: Public domain W3C validator