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Theorem imasvscafn 14458
Description: The image structure's scalar multiplication is a function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasvscaf.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasvscaf.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasvscaf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasvscaf.g  |-  G  =  (Scalar `  R )
imasvscaf.k  |-  K  =  ( Base `  G
)
imasvscaf.q  |-  .x.  =  ( .s `  R )
imasvscaf.s  |-  .xb  =  ( .s `  U )
imasvscaf.e  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
imasvscafn  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( K  X.  B ) )
Distinct variable groups:    p, a,
q, F    K, a, p, q    ph, a, p, q    B, p, q    R, p, q    .x. , p, q    .xb , a, p, q    V, a, p, q
Allowed substitution hints:    B( a)    R( a)    .x. ( a)    U( q, p, a)    G( q, p, a)    Z( q, p, a)

Proof of Theorem imasvscafn
Dummy variables  w  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2433 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  =  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
2 fvex 5689 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 ( p  .x.  q ) )  e. 
_V
31, 2fnmpt2i 6632 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  Fn  ( K  X.  { ( F `
 q ) } )
4 fnrel 5497 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  Fn  ( K  X.  { ( F `
 q ) } )  ->  Rel  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
53, 4ax-mp 5 . . . . . 6  |-  Rel  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
65rgenw 2773 . . . . 5  |-  A. q  e.  V  Rel  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
7 reliun 4947 . . . . 5  |-  ( Rel  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  <->  A. q  e.  V  Rel  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
86, 7mpbir 209 . . . 4  |-  Rel  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
9 imasvscaf.u . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
10 imasvscaf.v . . . . . 6  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
11 imasvscaf.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
12 imasvscaf.r . . . . . 6  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
13 imasvscaf.g . . . . . 6  |-  G  =  (Scalar `  R )
14 imasvscaf.k . . . . . 6  |-  K  =  ( Base `  G
)
15 imasvscaf.q . . . . . 6  |-  .x.  =  ( .s `  R )
16 imasvscaf.s . . . . . 6  |-  .xb  =  ( .s `  U )
179, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16imasvsca 14441 . . . . 5  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
1817releqd 4911 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Rel  .xb  <->  Rel  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) ) )
198, 18mpbiri 233 . . 3  |-  ( ph  ->  Rel  .xb  )
20 dffn2 5548 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  Fn  ( K  X.  { ( F `
 q ) } )  <->  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `
 q ) } ) --> _V )
213, 20mpbi 208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `
 q ) } ) --> _V
22 fssxp 5558 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `  q ) } ) --> _V  ->  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  {
( F `  q
) } )  X. 
_V ) )
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  C_  ( ( K  X.  { ( F `
 q ) } )  X.  _V )
24 fof 5608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
2511, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
2625ffvelrnda 5831 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  ( F `  q )  e.  B )
2726snssd 4006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  { ( F `  q ) }  C_  B )
28 xpss2 4936 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( { ( F `  q
) }  C_  B  ->  ( K  X.  {
( F `  q
) } )  C_  ( K  X.  B
) )
29 xpss1 4935 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  X.  { ( F `  q ) } )  C_  ( K  X.  B )  -> 
( ( K  X.  { ( F `  q ) } )  X.  _V )  C_  ( ( K  X.  B )  X.  _V ) )
3027, 28, 293syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
( K  X.  {
( F `  q
) } )  X. 
_V )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
3123, 30syl5ss 3355 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
3231ralrimiva 2789 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
33 iunss 4199 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ q  e.  V  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )  <->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
3432, 33sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
3517, 34eqsstrd 3378 . . . . . . 7  |-  ( ph  -> 
.xb  C_  ( ( K  X.  B )  X. 
_V ) )
36 dmss 5026 . . . . . . 7  |-  (  .xb  C_  ( ( K  X.  B )  X.  _V )  ->  dom  .xb  C_  dom  ( ( K  X.  B )  X.  _V ) )
3735, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  dom  (
( K  X.  B
)  X.  _V )
)
38 vn0 3632 . . . . . . 7  |-  _V  =/=  (/)
39 dmxp 5045 . . . . . . 7  |-  ( _V  =/=  (/)  ->  dom  ( ( K  X.  B )  X.  _V )  =  ( K  X.  B
) )
4038, 39ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  (
( K  X.  B
)  X.  _V )  =  ( K  X.  B )
4137, 40syl6sseq 3390 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  ( K  X.  B ) )
42 forn 5611 . . . . . . 7  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
4311, 42syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
4443xpeq2d 4851 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( K  X.  ran  F )  =  ( K  X.  B ) )
4541, 44sseqtr4d 3381 . . . 4  |-  ( ph  ->  dom  .xb  C_  ( K  X.  ran  F ) )
46 df-br 4281 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
p ,  ( F `
 a ) >.  .xb  w  <->  <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
.xb  )
4717eleq2d 2500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
.xb 
<-> 
<. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) ) )
4847adantr 462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
.xb 
<-> 
<. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) ) )
49 eliun 4163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  <->  E. q  e.  V  <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) )
50 df-3an 960 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )  <->  ( ( p  e.  K  /\  a  e.  V
)  /\  q  e.  V ) )
511mpt2fun 6181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  Fun  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
52 funopfv 5719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( Fun  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  ( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) `  <. p ,  ( F `  a ) >. )  =  w ) )
5351, 52ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) `  <. p ,  ( F `  a ) >. )  =  w )
54 df-ov 6083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( p ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) ( F `
 a ) )  =  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) `  <. p ,  ( F `  a ) >. )
55 opex 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  <. p ,  ( F `  a ) >.  e.  _V
56 vex 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  w  e. 
_V
5755, 56opeldm 5030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  <. p ,  ( F `  a ) >.  e.  dom  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) )
581, 2dmmpt2 6633 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  dom  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  =  ( K  X.  { ( F `  q ) } )
5957, 58syl6eleq 2523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  <. p ,  ( F `  a ) >.  e.  ( K  X.  { ( F `  q ) } ) )
60 opelxp 4856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( <.
p ,  ( F `
 a ) >.  e.  ( K  X.  {
( F `  q
) } )  <->  ( p  e.  K  /\  ( F `  a )  e.  { ( F `  q ) } ) )
6159, 60sylib 196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
p  e.  K  /\  ( F `  a )  e.  { ( F `
 q ) } ) )
62 oveq1 6087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( z  =  p  ->  (
z  .x.  q )  =  ( p  .x.  q ) )
6362fveq2d 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  p  ->  ( F `  ( z  .x.  q ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
64 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( F `  ( p  .x.  q ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
6563equcoms 1732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( p  =  z  ->  ( F `  ( z  .x.  q ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
6665eqcomd 2438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( p  =  z  ->  ( F `  ( p  .x.  q ) )  =  ( F `  (
z  .x.  q )
) )
67 eqidd 2434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( x  =  y  ->  ( F `  ( z  .x.  q ) )  =  ( F `  (
z  .x.  q )
) )
6866, 67cbvmpt2v 6155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  =  ( z  e.  K ,  y  e.  { ( F `
 q ) } 
|->  ( F `  (
z  .x.  q )
) )
6963, 64, 68, 2ovmpt2 6215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( p  e.  K  /\  ( F `  a )  e.  { ( F `
 q ) } )  ->  ( p
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) ( F `
 a ) )  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
7061, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
p ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) ( F `  a ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
7154, 70syl5eqr 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  (
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) `  <. p ,  ( F `  a ) >. )  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
7253, 71eqtr3d 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
7372adantl 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )
)  /\  <. <. p ,  ( F `  a ) >. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )
7461simprd 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  ( F `  a )  e.  { ( F `  q ) } )
75 elsni 3890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( F `  a )  e.  { ( F `
 q ) }  ->  ( F `  a )  =  ( F `  q ) )
7674, 75syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( <. <. p ,  ( F `
 a ) >. ,  w >.  e.  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  ( F `  a )  =  ( F `  q ) )
77 imasvscaf.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
7877imp 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )
)  /\  ( F `  a )  =  ( F `  q ) )  ->  ( F `  ( p  .x.  a
) )  =  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
7976, 78sylan2 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )
)  /\  <. <. p ,  ( F `  a ) >. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `  (
p  .x.  q )
) )
8073, 79eqtr4d 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V )
)  /\  <. <. p ,  ( F `  a ) >. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) )
8180ex 434 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8250, 81sylan2br 473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( (
p  e.  K  /\  a  e.  V )  /\  q  e.  V
) )  ->  ( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8382anassrs 641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
p  e.  K  /\  a  e.  V )
)  /\  q  e.  V )  ->  ( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8483rexlimdva 2831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( E. q  e.  V  <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e.  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8549, 84syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8648, 85sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( <. <. p ,  ( F `  a )
>. ,  w >.  e. 
.xb  ->  w  =  ( F `  ( p 
.x.  a ) ) ) )
8746, 86syl5bi 217 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  -> 
( <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w  ->  w  =  ( F `  ( p  .x.  a ) ) ) )
8887alrimiv 1684 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  ->  A. w ( <. p ,  ( F `  a ) >.  .xb  w  ->  w  =  ( F `
 ( p  .x.  a ) ) ) )
89 mo2icl 3127 . . . . . . . 8  |-  ( A. w ( <. p ,  ( F `  a ) >.  .xb  w  ->  w  =  ( F `
 ( p  .x.  a ) ) )  ->  E* w <. p ,  ( F `  a ) >.  .xb  w
)
9088, 89syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V ) )  ->  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w )
9190ralrimivva 2798 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  K  A. a  e.  V  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w )
92 fofn 5610 . . . . . . . 8  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
93 opeq2 4048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  <. p ,  y >.  =  <. p ,  ( F `  a ) >. )
9493breq1d 4290 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( <. p ,  y >.  .xb  w  <->  <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w ) )
9594mobidv 2275 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  ( F `  a )  ->  ( E* w <. p ,  y
>.  .xb  w  <->  E* w <. p ,  ( F `
 a ) >.  .xb  w ) )
9695ralrn 5834 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F E* w <. p ,  y >.  .xb  w  <->  A. a  e.  V  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w ) )
9711, 92, 963syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F E* w <. p ,  y >.  .xb  w  <->  A. a  e.  V  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w ) )
9897ralbidv 2725 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  K  A. y  e. 
ran  F E* w <. p ,  y >.  .xb  w  <->  A. p  e.  K  A. a  e.  V  E* w <. p ,  ( F `  a )
>.  .xb  w ) )
9991, 98mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. p  e.  K  A. y  e.  ran  F E* w <. p ,  y >.  .xb  w
)
100 breq1 4283 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. p ,  y
>.  ->  ( x  .xb  w 
<-> 
<. p ,  y >.  .xb  w ) )
101100mobidv 2275 . . . . . 6  |-  ( x  =  <. p ,  y
>.  ->  ( E* w  x  .xb  w  <->  E* w <. p ,  y >.  .xb  w ) )
102101ralxp 4968 . . . . 5  |-  ( A. x  e.  ( K  X.  ran  F ) E* w  x  .xb  w  <->  A. p  e.  K  A. y  e.  ran  F E* w <. p ,  y
>.  .xb  w )
10399, 102sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K  X.  ran  F
) E* w  x 
.xb  w )
104 ssralv 3404 . . . 4  |-  ( dom  .xb  C_  ( K  X.  ran  F )  ->  ( A. x  e.  ( K  X.  ran  F ) E* w  x  .xb  w  ->  A. x  e.  dom  .xb 
E* w  x  .xb  w ) )
10545, 103, 104sylc 60 . . 3  |-  ( ph  ->  A. x  e.  dom  .xb 
E* w  x  .xb  w )
106 dffun7 5432 . . 3  |-  ( Fun  .xb 
<->  ( Rel  .xb  /\  A. x  e.  dom  .xb  E* w  x  .xb  w ) )
10719, 105, 106sylanbrc 657 . 2  |-  ( ph  ->  Fun  .xb  )
108 eqimss2 3397 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  (  .xb  =  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  ->  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  C_  .xb  )
10917, 108syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  )
110 iunss 4199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( U_ q  e.  V  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  <->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  C_  .xb  )
111109, 110sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  )
112111r19.21bi 2804 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  )
113112adantrl 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  )
114 dmss 5026 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  .xb  ->  dom  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  dom  .xb  )
115113, 114syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  dom  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  dom  .xb  )
11658, 115syl5eqssr 3389 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  -> 
( K  X.  {
( F `  q
) } )  C_  dom  .xb  )
117 simprl 748 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  p  e.  K )
118 fvex 5689 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F `
 q )  e. 
_V
119118snid 3893 . . . . . . . . . 10  |-  ( F `
 q )  e. 
{ ( F `  q ) }
120 opelxpi 4858 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  e.  K  /\  ( F `  q )  e.  { ( F `
 q ) } )  ->  <. p ,  ( F `  q
) >.  e.  ( K  X.  { ( F `
 q ) } ) )
121117, 119, 120sylancl 655 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  <. p ,  ( F `
 q ) >.  e.  ( K  X.  {
( F `  q
) } ) )
122116, 121sseldd 3345 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  <. p ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
123122ralrimivva 2798 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. p  e.  K  A. q  e.  V  <. p ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  )
124 opeq2 4048 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  ( F `  q )  ->  <. p ,  y >.  =  <. p ,  ( F `  q ) >. )
125124eleq1d 2499 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  ( F `  q )  ->  ( <. p ,  y >.  e.  dom  .xb  <->  <. p ,  ( F `  q )
>.  e.  dom  .xb  )
)
126125ralrn 5834 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  ( A. y  e.  ran  F
<. p ,  y >.  e.  dom  .xb  <->  A. q  e.  V  <. p ,  ( F `
 q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
12711, 92, 1263syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  F <. p ,  y >.  e.  dom  .xb  <->  A. q  e.  V  <. p ,  ( F `  q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
128127ralbidv 2725 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. p  e.  K  A. y  e. 
ran  F <. p ,  y >.  e.  dom  .xb  <->  A. p  e.  K  A. q  e.  V  <. p ,  ( F `  q ) >.  e.  dom  .xb  ) )
129123, 128mpbird 232 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. p  e.  K  A. y  e.  ran  F
<. p ,  y >.  e.  dom  .xb  )
130 eleq1 2493 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. p ,  y
>.  ->  ( x  e. 
dom  .xb  <->  <. p ,  y
>.  e.  dom  .xb  )
)
131130ralxp 4968 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  ( K  X.  ran  F ) x  e.  dom  .xb  <->  A. p  e.  K  A. y  e.  ran  F <. p ,  y >.  e.  dom  .xb  )
132129, 131sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ( K  X.  ran  F
) x  e.  dom  .xb  )
133 dfss3 3334 . . . . 5  |-  ( ( K  X.  ran  F
)  C_  dom  .xb  <->  A. x  e.  ( K  X.  ran  F ) x  e.  dom  .xb  )
134132, 133sylibr 212 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( K  X.  ran  F )  C_  dom  .xb  )
13544, 134eqsstr3d 3379 . . 3  |-  ( ph  ->  ( K  X.  B
)  C_  dom  .xb  )
13641, 135eqssd 3361 . 2  |-  ( ph  ->  dom  .xb  =  ( K  X.  B ) )
137 df-fn 5409 . 2  |-  (  .xb  Fn  ( K  X.  B
)  <->  ( Fun  .xb  /\  dom  .xb  =  ( K  X.  B ) ) )
138107, 136, 137sylanbrc 657 1  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( K  X.  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 958   A.wal 1360    = wceq 1362    e. wcel 1755   E*wmo 2255    =/= wne 2596   A.wral 2705   E.wrex 2706   _Vcvv 2962    C_ wss 3316   (/)c0 3625   {csn 3865   <.cop 3871   U_ciun 4159   class class class wbr 4280    X. cxp 4825   dom cdm 4827   ran crn 4828   Rel wrel 4832   Fun wfun 5400    Fn wfn 5401   -->wf 5402   -onto->wfo 5404   ` cfv 5406  (class class class)co 6080    e. cmpt2 6082   Basecbs 14157  Scalarcsca 14224   .scvsca 14225    "s cimas 14425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-rep 4391  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-cnex 9326  ax-resscn 9327  ax-1cn 9328  ax-icn 9329  ax-addcl 9330  ax-addrcl 9331  ax-mulcl 9332  ax-mulrcl 9333  ax-mulcom 9334  ax-addass 9335  ax-mulass 9336  ax-distr 9337  ax-i2m1 9338  ax-1ne0 9339  ax-1rid 9340  ax-rnegex 9341  ax-rrecex 9342  ax-cnre 9343  ax-pre-lttri 9344  ax-pre-lttrn 9345  ax-pre-ltadd 9346  ax-pre-mulgt0 9347
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-pss 3332  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-tp 3870  df-op 3872  df-uni 4080  df-int 4117  df-iun 4161  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-tr 4374  df-eprel 4619  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-fr 4666  df-we 4668  df-ord 4709  df-on 4710  df-lim 4711  df-suc 4712  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-om 6466  df-1st 6566  df-2nd 6567  df-recs 6818  df-rdg 6852  df-1o 6908  df-oadd 6912  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-fin 7302  df-sup 7679  df-pnf 9408  df-mnf 9409  df-xr 9410  df-ltxr 9411  df-le 9412  df-sub 9585  df-neg 9586  df-nn 10311  df-2 10368  df-3 10369  df-4 10370  df-5 10371  df-6 10372  df-7 10373  df-8 10374  df-9 10375  df-10 10376  df-n0 10568  df-z 10635  df-dec 10744  df-uz 10850  df-fz 11425  df-struct 14159  df-ndx 14160  df-slot 14161  df-base 14162  df-plusg 14234  df-mulr 14235  df-sca 14237  df-vsca 14238  df-ip 14239  df-tset 14240  df-ple 14241  df-ds 14243  df-imas 14429
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