MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaf Structured version   Unicode version

Theorem imasvscaf 15396
Description: The image structure's scalar multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasvscaf.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasvscaf.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasvscaf.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasvscaf.g  |-  G  =  (Scalar `  R )
imasvscaf.k  |-  K  =  ( Base `  G
)
imasvscaf.q  |-  .x.  =  ( .s `  R )
imasvscaf.s  |-  .xb  =  ( .s `  U )
imasvscaf.e  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
imasvscaf.c  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .x.  q
)  e.  V )
Assertion
Ref Expression
imasvscaf  |-  ( ph  -> 
.xb  : ( K  X.  B ) --> B )
Distinct variable groups:    p, a,
q, F    K, a, p, q    ph, a, p, q    B, p, q    R, p, q    .x. , p, q    .xb , a, p, q    V, a, p, q
Allowed substitution hints:    B( a)    R( a)    .x. ( a)    U( q, p, a)    G( q, p, a)    Z( q, p, a)

Proof of Theorem imasvscaf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasvscaf.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasvscaf.f . . 3  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasvscaf.r . . 3  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
5 imasvscaf.g . . 3  |-  G  =  (Scalar `  R )
6 imasvscaf.k . . 3  |-  K  =  ( Base `  G
)
7 imasvscaf.q . . 3  |-  .x.  =  ( .s `  R )
8 imasvscaf.s . . 3  |-  .xb  =  ( .s `  U )
9 imasvscaf.e . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  a  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( ( F `  a )  =  ( F `  q )  ->  ( F `  ( p  .x.  a ) )  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 15394 . 2  |-  ( ph  -> 
.xb  Fn  ( K  X.  B ) )
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 15377 . . 3  |-  ( ph  -> 
.xb  =  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) )
12 imasvscaf.c . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .x.  q
)  e.  V )
13 fof 5810 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
1514ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( p  .x.  q )  e.  V
)  ->  ( F `  ( p  .x.  q
) )  e.  B
)
1612, 15syldan 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  -> 
( F `  (
p  .x.  q )
)  e.  B )
1716ralrimivw 2847 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  K  /\  q  e.  V ) )  ->  A. x  e.  { ( F `  q ) }  ( F `  ( p  .x.  q ) )  e.  B )
1817anass1rs 814 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  q  e.  V )  /\  p  e.  K )  ->  A. x  e.  { ( F `  q ) }  ( F `  ( p  .x.  q ) )  e.  B )
1918ralrimiva 2846 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  A. p  e.  K  A. x  e.  { ( F `  q ) }  ( F `  ( p  .x.  q ) )  e.  B )
20 eqid 2429 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )  =  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) )
2120fmpt2 6874 . . . . . . . 8  |-  ( A. p  e.  K  A. x  e.  { ( F `  q ) }  ( F `  ( p  .x.  q ) )  e.  B  <->  ( p  e.  K ,  x  e. 
{ ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p 
.x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `
 q ) } ) --> B )
2219, 21sylib 199 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `  q ) } ) --> B )
23 fssxp 5758 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) ) : ( K  X.  { ( F `  q ) } ) --> B  -> 
( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  {
( F `  q
) } )  X.  B ) )
2422, 23syl 17 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  {
( F `  q
) } )  X.  B ) )
2514ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  ( F `  q )  e.  B )
2625snssd 4148 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  { ( F `  q ) }  C_  B )
27 xpss2 4964 . . . . . . 7  |-  ( { ( F `  q
) }  C_  B  ->  ( K  X.  {
( F `  q
) } )  C_  ( K  X.  B
) )
28 xpss1 4963 . . . . . . 7  |-  ( ( K  X.  { ( F `  q ) } )  C_  ( K  X.  B )  -> 
( ( K  X.  { ( F `  q ) } )  X.  B )  C_  ( ( K  X.  B )  X.  B
) )
2926, 27, 283syl 18 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
( K  X.  {
( F `  q
) } )  X.  B )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B ) )
3024, 29sstrd 3480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  q  e.  V )  ->  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B ) )
3130ralrimiva 2846 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B ) )
32 iunss 4343 . . . 4  |-  ( U_ q  e.  V  (
p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B )  <->  A. q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B ) )
3331, 32sylibr 215 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ q  e.  V  ( p  e.  K ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p  .x.  q ) ) )  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B ) )
3411, 33eqsstrd 3504 . 2  |-  ( ph  -> 
.xb  C_  ( ( K  X.  B )  X.  B ) )
35 dff2 6049 . 2  |-  (  .xb  : ( K  X.  B
) --> B  <->  (  .xb  Fn  ( K  X.  B
)  /\  .xb  C_  (
( K  X.  B
)  X.  B ) ) )
3610, 34, 35sylanbrc 668 1  |-  ( ph  -> 
.xb  : ( K  X.  B ) --> B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782    C_ wss 3442   {csn 4002   U_ciun 4302    X. cxp 4852    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -onto->wfo 5599   ` cfv 5601  (class class class)co 6305    |-> cmpt2 6307   Basecbs 15084  Scalarcsca 15155   .scvsca 15156    "s cimas 15361
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-imas 15365
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator