Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvscaf Structured version   Unicode version

Theorem imasvscaf 15396
 Description: The image structure's scalar multiplication is closed in the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasvscaf.u s
imasvscaf.v
imasvscaf.f
imasvscaf.r
imasvscaf.g Scalar
imasvscaf.k
imasvscaf.q
imasvscaf.s
imasvscaf.e
imasvscaf.c
Assertion
Ref Expression
imasvscaf
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,,,   ,,   ,,   ,,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   (,,)   (,,)   (,,)

Proof of Theorem imasvscaf
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasvscaf.u . . 3 s
2 imasvscaf.v . . 3
3 imasvscaf.f . . 3
4 imasvscaf.r . . 3
5 imasvscaf.g . . 3 Scalar
6 imasvscaf.k . . 3
7 imasvscaf.q . . 3
8 imasvscaf.s . . 3
9 imasvscaf.e . . 3
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9imasvscafn 15394 . 2
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8imasvsca 15377 . . 3
12 imasvscaf.c . . . . . . . . . . . 12
13 fof 5810 . . . . . . . . . . . . . 14
143, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
1514ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . . . 12
1612, 15syldan 472 . . . . . . . . . . 11
1716ralrimivw 2847 . . . . . . . . . 10
1817anass1rs 814 . . . . . . . . 9
1918ralrimiva 2846 . . . . . . . 8
20 eqid 2429 . . . . . . . . 9
2120fmpt2 6874 . . . . . . . 8
2219, 21sylib 199 . . . . . . 7
23 fssxp 5758 . . . . . . 7
2422, 23syl 17 . . . . . 6
2514ffvelrnda 6037 . . . . . . . 8
2625snssd 4148 . . . . . . 7
27 xpss2 4964 . . . . . . 7
28 xpss1 4963 . . . . . . 7
2926, 27, 283syl 18 . . . . . 6
3024, 29sstrd 3480 . . . . 5
3130ralrimiva 2846 . . . 4
32 iunss 4343 . . . 4
3331, 32sylibr 215 . . 3
3411, 33eqsstrd 3504 . 2
35 dff2 6049 . 2
3610, 34, 35sylanbrc 668 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782   wss 3442  csn 4002  ciun 4302   cxp 4852   wfn 5596  wf 5597  wfo 5599  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307  cbs 15084  Scalarcsca 15155  cvsca 15156   s cimas 15361 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-imas 15365 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator