Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvsca Structured version   Unicode version

Theorem imasvsca 15134
 Description: The scalar multiplication operation of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u s
imasbas.v
imasbas.f
imasbas.r
imassca.g Scalar
imasvsca.k
imasvsca.q
imasvsca.s
Assertion
Ref Expression
imasvsca
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   ,   ,   ,,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,)   (,,)   (,)   (,,)   ()   ()   (,,)

Proof of Theorem imasvsca
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 s
2 imasbas.v . . 3
3 eqid 2402 . . 3
4 eqid 2402 . . 3
5 eqid 2402 . . 3 Scalar Scalar
6 imasvsca.k . . . 4
7 imassca.g . . . . 5 Scalar
87fveq2i 5852 . . . 4 Scalar
96, 8eqtri 2431 . . 3 Scalar
10 imasvsca.q . . 3
11 eqid 2402 . . 3
12 eqid 2402 . . 3
13 eqid 2402 . . 3
14 eqid 2402 . . 3
15 imasbas.f . . . 4
16 imasbas.r . . . 4
17 eqid 2402 . . . 4
181, 2, 15, 16, 3, 17imasplusg 15131 . . 3
19 eqid 2402 . . . 4
201, 2, 15, 16, 4, 19imasmulr 15132 . . 3
21 eqidd 2403 . . 3
22 eqidd 2403 . . 3
23 eqidd 2403 . . 3 qTop qTop
24 eqid 2402 . . . 4
251, 2, 15, 16, 13, 24imasds 15127 . . 3 g
26 eqidd 2403 . . 3
271, 2, 3, 4, 5, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 18, 20, 21, 22, 23, 25, 26, 15, 16imasval 15125 . 2 Scalar Scalar TopSet qTop
28 eqid 2402 . . 3 Scalar Scalar TopSet qTop Scalar Scalar TopSet qTop
2928imasvalstr 15066 . 2 Scalar Scalar TopSet qTop Struct ;
30 vscaid 14976 . 2 Slot
31 snsstp2 4124 . . 3 Scalar Scalar
32 ssun2 3607 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar
33 ssun1 3606 . . . 4 Scalar Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
3432, 33sstri 3451 . . 3 Scalar Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
3531, 34sstri 3451 . 2 Scalar Scalar TopSet qTop
36 fvex 5859 . . . 4
372, 36syl6eqel 2498 . . 3
38 fvex 5859 . . . . . 6
396, 38eqeltri 2486 . . . . 5
40 snex 4632 . . . . 5
4139, 40mpt2ex 6861 . . . 4
4241rgenw 2765 . . 3
43 iunexg 6760 . . 3
4437, 42, 43sylancl 660 . 2
45 imasvsca.s . 2
4627, 29, 30, 35, 44, 45strfv3 14878 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1405   wcel 1842  wral 2754  cvv 3059   cun 3412  csn 3972  ctp 3976  cop 3978  ciun 4271  ccnv 4822   ccom 4827  wfo 5567  cfv 5569  (class class class)co 6278   cmpt2 6280  c1 9523  c2 10626  ;cdc 11019  cnx 14838  cbs 14841   cplusg 14909  cmulr 14910  Scalarcsca 14912  cvsca 14913  cip 14914  TopSetcts 14915  cple 14916  cds 14918  ctopn 15036   qTop cqtop 15117   s cimas 15118 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-sup 7935  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-imas 15122 This theorem is referenced by:  imasip  15135  imastset  15136  imasle  15137  imasvscafn  15151  imasvscaval  15152  imasvscaf  15153
 Copyright terms: Public domain W3C validator