MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvalstr Structured version   Unicode version

Theorem imasvalstr 14512
Description: Structure product value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
imasvalstr.u  |-  U  =  ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )
Assertion
Ref Expression
imasvalstr  |-  U Struct  <. 1 , ; 1 2 >.

Proof of Theorem imasvalstr
StepHypRef Expression
1 imasvalstr.u . 2  |-  U  =  ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )
2 eqid 2454 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )
32ipsstr 14431 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } ) Struct  <. 1 ,  8 >.
4 9nn 10600 . . . 4  |-  9  e.  NN
5 tsetndx 14447 . . . 4  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
6 9lt10 10638 . . . 4  |-  9  <  10
7 10nn 10601 . . . 4  |-  10  e.  NN
8 plendx 14454 . . . 4  |-  ( le
`  ndx )  =  10
9 dec10 10899 . . . . 5  |-  10  = ; 1 0
10 1nn0 10709 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
11 0nn0 10708 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
12 2nn 10593 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
13 2pos 10527 . . . . . 6  |-  0  <  2
1410, 11, 12, 13declt 10890 . . . . 5  |- ; 1 0  < ; 1 2
159, 14eqbrtri 4422 . . . 4  |-  10  < ; 1 2
1610, 12decnncl 10882 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN
17 dsndx 14463 . . . 4  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
184, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17strle3 14393 . . 3  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } Struct  <. 9 , ; 1 2 >.
19 8lt9 10630 . . 3  |-  8  <  9
203, 18, 19strleun 14390 . 2  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } ) Struct  <. 1 , ; 1 2 >.
211, 20eqbrtri 4422 1  |-  U Struct  <. 1 , ; 1 2 >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1370    u. cun 3437   {ctp 3992   <.cop 3994   class class class wbr 4403   ` cfv 5529   0cc0 9396   1c1 9397    < clt 9532   2c2 10485   8c8 10491   9c9 10492   10c10 10493  ;cdc 10869   Struct cstr 14291   ndxcnx 14292   Basecbs 14295   +g cplusg 14360   .rcmulr 14361  Scalarcsca 14363   .scvsca 14364   .icip 14365  TopSetcts 14366   lecple 14367   distcds 14369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382
This theorem is referenced by:  prdsvalstr  14513  imasbas  14572  imasds  14573  imasplusg  14577  imasmulr  14578  imassca  14579  imasvsca  14580  imasip  14581  imastset  14582  imasle  14583
  Copyright terms: Public domain W3C validator