MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasvalstr Structured version   Unicode version

Theorem imasvalstr 14710
Description: Structure product value is a structure. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
imasvalstr.u  |-  U  =  ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )
Assertion
Ref Expression
imasvalstr  |-  U Struct  <. 1 , ; 1 2 >.

Proof of Theorem imasvalstr
StepHypRef Expression
1 imasvalstr.u . 2  |-  U  =  ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  =  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
.+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
.X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )
32ipsstr 14629 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } ) Struct  <. 1 ,  8 >.
4 9nn 10701 . . . 4  |-  9  e.  NN
5 tsetndx 14645 . . . 4  |-  (TopSet `  ndx )  =  9
6 9lt10 10739 . . . 4  |-  9  <  10
7 10nn 10702 . . . 4  |-  10  e.  NN
8 plendx 14652 . . . 4  |-  ( le
`  ndx )  =  10
9 dec10 11007 . . . . 5  |-  10  = ; 1 0
10 1nn0 10812 . . . . . 6  |-  1  e.  NN0
11 0nn0 10811 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
12 2nn 10694 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
13 2pos 10628 . . . . . 6  |-  0  <  2
1410, 11, 12, 13declt 10998 . . . . 5  |- ; 1 0  < ; 1 2
159, 14eqbrtri 4466 . . . 4  |-  10  < ; 1 2
1610, 12decnncl 10990 . . . 4  |- ; 1 2  e.  NN
17 dsndx 14661 . . . 4  |-  ( dist `  ndx )  = ; 1 2
184, 5, 6, 7, 8, 15, 16, 17strle3 14591 . . 3  |-  { <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } Struct  <. 9 , ; 1 2 >.
19 8lt9 10731 . . 3  |-  8  <  9
203, 18, 19strleun 14588 . 2  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  .+  >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  .X.  >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  S >. ,  <. ( .s `  ndx ) , 
.x.  >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
.,  >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  O >. , 
<. ( le `  ndx ) ,  L >. , 
<. ( dist `  ndx ) ,  D >. } ) Struct  <. 1 , ; 1 2 >.
211, 20eqbrtri 4466 1  |-  U Struct  <. 1 , ; 1 2 >.
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    = wceq 1379    u. cun 3474   {ctp 4031   <.cop 4033   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   0cc0 9493   1c1 9494    < clt 9629   2c2 10586   8c8 10592   9c9 10593   10c10 10594  ;cdc 10977   Struct cstr 14489   ndxcnx 14490   Basecbs 14493   +g cplusg 14558   .rcmulr 14559  Scalarcsca 14561   .scvsca 14562   .icip 14563  TopSetcts 14564   lecple 14565   distcds 14567
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-10 10603  df-n0 10797  df-z 10866  df-dec 10978  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-plusg 14571  df-mulr 14572  df-sca 14574  df-vsca 14575  df-ip 14576  df-tset 14577  df-ple 14578  df-ds 14580
This theorem is referenced by:  prdsvalstr  14711  imasbas  14770  imasds  14771  imasplusg  14775  imasmulr  14776  imassca  14777  imasvsca  14778  imasip  14779  imastset  14780  imasle  14781
  Copyright terms: Public domain W3C validator