MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastps Structured version   Unicode version

Theorem imastps 19429
Description: The image of a topological space under a function is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imastps.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imastps.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imastps.r  |-  ( ph  ->  R  e.  TopSp )
Assertion
Ref Expression
imastps  |-  ( ph  ->  U  e.  TopSp )

Proof of Theorem imastps
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imastps.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imastps.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imastps.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  TopSp )
5 eqid 2454 . . . 4  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  R )
6 eqid 2454 . . . 4  |-  ( TopOpen `  U )  =  (
TopOpen `  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6imastopn 19428 . . 3  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  U )  =  ( ( TopOpen `  R ) qTop  F )
)
8 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
98, 5istps 18676 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
104, 9sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
112fveq2d 5806 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (TopOn `  V )  =  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
1210, 11eleqtrrd 2545 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  V )
)
13 qtoptopon 19412 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  V )  /\  F : V -onto-> B
)  ->  ( ( TopOpen
`  R ) qTop  F
)  e.  (TopOn `  B ) )
1412, 3, 13syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen `  R
) qTop  F )  e.  (TopOn `  B ) )
151, 2, 3, 4imasbas 14572 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
1615fveq2d 5806 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopOn `  B )  =  (TopOn `  ( Base `  U ) ) )
1714, 16eleqtrd 2544 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen `  R
) qTop  F )  e.  (TopOn `  ( Base `  U
) ) )
187, 17eqeltrd 2542 . 2  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  U )  e.  (TopOn `  ( Base `  U ) ) )
19 eqid 2454 . . 3  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
2019, 6istps 18676 . 2  |-  ( U  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  U )  e.  (TopOn `  ( Base `  U ) ) )
2118, 20sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  U  e.  TopSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1370    e. wcel 1758   -onto->wfo 5527   ` cfv 5529  (class class class)co 6203   Basecbs 14295   TopOpenctopn 14482   qTop cqtop 14563    "s cimas 14564  TopOnctopon 18634   TopSpctps 18636
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-sup 7805  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-10 10502  df-n0 10694  df-z 10761  df-dec 10870  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-mulr 14374  df-sca 14376  df-vsca 14377  df-ip 14378  df-tset 14379  df-ple 14380  df-ds 14382  df-rest 14483  df-topn 14484  df-qtop 14567  df-imas 14568  df-top 18638  df-topon 18641  df-topsp 18642
This theorem is referenced by:  divstps  19430  xpstps  19518
  Copyright terms: Public domain W3C validator