MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastps Structured version   Unicode version

Theorem imastps 20404
Description: The image of a topological space under a function is a topological space. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imastps.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imastps.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imastps.r  |-  ( ph  ->  R  e.  TopSp )
Assertion
Ref Expression
imastps  |-  ( ph  ->  U  e.  TopSp )

Proof of Theorem imastps
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imastps.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imastps.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imastps.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  TopSp )
5 eqid 2400 . . . 4  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  R )
6 eqid 2400 . . . 4  |-  ( TopOpen `  U )  =  (
TopOpen `  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6imastopn 20403 . . 3  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  U )  =  ( ( TopOpen `  R ) qTop  F )
)
8 eqid 2400 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
98, 5istps 19619 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
104, 9sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
112fveq2d 5807 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (TopOn `  V )  =  (TopOn `  ( Base `  R ) ) )
1210, 11eleqtrrd 2491 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  V )
)
13 qtoptopon 20387 . . . . 5  |-  ( ( ( TopOpen `  R )  e.  (TopOn `  V )  /\  F : V -onto-> B
)  ->  ( ( TopOpen
`  R ) qTop  F
)  e.  (TopOn `  B ) )
1412, 3, 13syl2anc 659 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen `  R
) qTop  F )  e.  (TopOn `  B ) )
151, 2, 3, 4imasbas 15016 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
1615fveq2d 5807 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopOn `  B )  =  (TopOn `  ( Base `  U ) ) )
1714, 16eleqtrd 2490 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen `  R
) qTop  F )  e.  (TopOn `  ( Base `  U
) ) )
187, 17eqeltrd 2488 . 2  |-  ( ph  ->  ( TopOpen `  U )  e.  (TopOn `  ( Base `  U ) ) )
19 eqid 2400 . . 3  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
2019, 6istps 19619 . 2  |-  ( U  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  U )  e.  (TopOn `  ( Base `  U ) ) )
2118, 20sylibr 212 1  |-  ( ph  ->  U  e.  TopSp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1403    e. wcel 1840   -onto->wfo 5521   ` cfv 5523  (class class class)co 6232   Basecbs 14731   TopOpenctopn 14926   qTop cqtop 15007    "s cimas 15008  TopOnctopon 19577   TopSpctps 19579
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1637  ax-4 1650  ax-5 1723  ax-6 1769  ax-7 1812  ax-8 1842  ax-9 1844  ax-10 1859  ax-11 1864  ax-12 1876  ax-13 2024  ax-ext 2378  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4569  ax-pr 4627  ax-un 6528  ax-cnex 9496  ax-resscn 9497  ax-1cn 9498  ax-icn 9499  ax-addcl 9500  ax-addrcl 9501  ax-mulcl 9502  ax-mulrcl 9503  ax-mulcom 9504  ax-addass 9505  ax-mulass 9506  ax-distr 9507  ax-i2m1 9508  ax-1ne0 9509  ax-1rid 9510  ax-rnegex 9511  ax-rrecex 9512  ax-cnre 9513  ax-pre-lttri 9514  ax-pre-lttrn 9515  ax-pre-ltadd 9516  ax-pre-mulgt0 9517
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 973  df-3an 974  df-tru 1406  df-ex 1632  df-nf 1636  df-sb 1762  df-eu 2240  df-mo 2241  df-clab 2386  df-cleq 2392  df-clel 2395  df-nfc 2550  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2756  df-rex 2757  df-reu 2758  df-rab 2760  df-v 3058  df-sbc 3275  df-csb 3371  df-dif 3414  df-un 3416  df-in 3418  df-ss 3425  df-pss 3427  df-nul 3736  df-if 3883  df-pw 3954  df-sn 3970  df-pr 3972  df-tp 3974  df-op 3976  df-uni 4189  df-int 4225  df-iun 4270  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4487  df-eprel 4731  df-id 4735  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5487  df-fun 5525  df-fn 5526  df-f 5527  df-f1 5528  df-fo 5529  df-f1o 5530  df-fv 5531  df-riota 6194  df-ov 6235  df-oprab 6236  df-mpt2 6237  df-om 6637  df-1st 6736  df-2nd 6737  df-recs 6997  df-rdg 7031  df-1o 7085  df-oadd 7089  df-er 7266  df-en 7473  df-dom 7474  df-sdom 7475  df-fin 7476  df-sup 7853  df-pnf 9578  df-mnf 9579  df-xr 9580  df-ltxr 9581  df-le 9582  df-sub 9761  df-neg 9762  df-nn 10495  df-2 10553  df-3 10554  df-4 10555  df-5 10556  df-6 10557  df-7 10558  df-8 10559  df-9 10560  df-10 10561  df-n0 10755  df-z 10824  df-dec 10938  df-uz 11044  df-fz 11642  df-struct 14733  df-ndx 14734  df-slot 14735  df-base 14736  df-plusg 14812  df-mulr 14813  df-sca 14815  df-vsca 14816  df-ip 14817  df-tset 14818  df-ple 14819  df-ds 14821  df-rest 14927  df-topn 14928  df-qtop 15011  df-imas 15012  df-top 19581  df-topon 19584  df-topsp 19585
This theorem is referenced by:  qustps  20405  xpstps  20493
  Copyright terms: Public domain W3C validator