MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imastopn Structured version   Unicode version

Theorem imastopn 20066
Description: The topology of an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imastps.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imastps.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imastps.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imastopn.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
imastopn.j  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
imastopn.o  |-  O  =  ( TopOpen `  U )
Assertion
Ref Expression
imastopn  |-  ( ph  ->  O  =  ( J qTop 
F ) )

Proof of Theorem imastopn
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imastps.u . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imastps.v . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imastps.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imastopn.r . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
5 imastopn.j . . . . . . 7  |-  J  =  ( TopOpen `  R )
6 eqid 2467 . . . . . . 7  |-  (TopSet `  U )  =  (TopSet `  U )
71, 2, 3, 4, 5, 6imastset 14789 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  =  ( J qTop  F
) )
8 fvex 5881 . . . . . . . 8  |-  ( TopOpen `  R )  e.  _V
95, 8eqeltri 2551 . . . . . . 7  |-  J  e. 
_V
10 fofn 5802 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
113, 10syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
12 fvex 5881 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  e.  _V
132, 12syl6eqel 2563 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
14 fnex 6137 . . . . . . . 8  |-  ( ( F  Fn  V  /\  V  e.  _V )  ->  F  e.  _V )
1511, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  F  e.  _V )
16 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  U. J  =  U. J
1716qtopval 20041 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e.  _V  /\  F  e.  _V )  ->  ( J qTop  F )  =  { x  e. 
~P ( F " U. J )  |  ( ( `' F "
x )  i^i  U. J )  e.  J } )
189, 15, 17sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( J qTop  F )  =  { x  e. 
~P ( F " U. J )  |  ( ( `' F "
x )  i^i  U. J )  e.  J } )
197, 18eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  =  { x  e.  ~P ( F " U. J
)  |  ( ( `' F " x )  i^i  U. J )  e.  J } )
20 ssrab2 3590 . . . . . 6  |-  { x  e.  ~P ( F " U. J )  |  ( ( `' F "
x )  i^i  U. J )  e.  J }  C_  ~P ( F
" U. J )
21 imassrn 5353 . . . . . . . 8  |-  ( F
" U. J ) 
C_  ran  F
22 forn 5803 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
233, 22syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
241, 2, 3, 4imasbas 14779 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
2523, 24eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ran  F  =  (
Base `  U )
)
2621, 25syl5sseq 3557 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( F " U. J )  C_  ( Base `  U ) )
27 sspwb 4701 . . . . . . 7  |-  ( ( F " U. J
)  C_  ( Base `  U )  <->  ~P ( F " U. J ) 
C_  ~P ( Base `  U
) )
2826, 27sylib 196 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ~P ( F " U. J )  C_  ~P ( Base `  U )
)
2920, 28syl5ss 3520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  { x  e.  ~P ( F " U. J
)  |  ( ( `' F " x )  i^i  U. J )  e.  J }  C_  ~P ( Base `  U
) )
3019, 29eqsstrd 3543 . . . 4  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  C_ 
~P ( Base `  U
) )
31 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
3231, 6topnid 14703 . . . 4  |-  ( (TopSet `  U )  C_  ~P ( Base `  U )  ->  (TopSet `  U )  =  ( TopOpen `  U
) )
3330, 32syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  =  ( TopOpen `  U
) )
34 imastopn.o . . 3  |-  O  =  ( TopOpen `  U )
3533, 34syl6eqr 2526 . 2  |-  ( ph  ->  (TopSet `  U )  =  O )
3635, 7eqtr3d 2510 1  |-  ( ph  ->  O  =  ( J qTop 
F ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821   _Vcvv 3118    i^i cin 3480    C_ wss 3481   ~Pcpw 4015   U.cuni 4250   `'ccnv 5003   ran crn 5005   "cima 5007    Fn wfn 5588   -onto->wfo 5591   ` cfv 5593  (class class class)co 6294   Basecbs 14502  TopSetcts 14573   TopOpenctopn 14689   qTop cqtop 14770    "s cimas 14771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4563  ax-sep 4573  ax-nul 4581  ax-pow 4630  ax-pr 4691  ax-un 6586  ax-cnex 9558  ax-resscn 9559  ax-1cn 9560  ax-icn 9561  ax-addcl 9562  ax-addrcl 9563  ax-mulcl 9564  ax-mulrcl 9565  ax-mulcom 9566  ax-addass 9567  ax-mulass 9568  ax-distr 9569  ax-i2m1 9570  ax-1ne0 9571  ax-1rid 9572  ax-rnegex 9573  ax-rrecex 9574  ax-cnre 9575  ax-pre-lttri 9576  ax-pre-lttrn 9577  ax-pre-ltadd 9578  ax-pre-mulgt0 9579
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4251  df-int 4288  df-iun 4332  df-br 4453  df-opab 4511  df-mpt 4512  df-tr 4546  df-eprel 4796  df-id 4800  df-po 4805  df-so 4806  df-fr 4843  df-we 4845  df-ord 4886  df-on 4887  df-lim 4888  df-suc 4889  df-xp 5010  df-rel 5011  df-cnv 5012  df-co 5013  df-dm 5014  df-rn 5015  df-res 5016  df-ima 5017  df-iota 5556  df-fun 5595  df-fn 5596  df-f 5597  df-f1 5598  df-fo 5599  df-f1o 5600  df-fv 5601  df-riota 6255  df-ov 6297  df-oprab 6298  df-mpt2 6299  df-om 6695  df-1st 6794  df-2nd 6795  df-recs 7052  df-rdg 7086  df-1o 7140  df-oadd 7144  df-er 7321  df-en 7527  df-dom 7528  df-sdom 7529  df-fin 7530  df-sup 7911  df-pnf 9640  df-mnf 9641  df-xr 9642  df-ltxr 9643  df-le 9644  df-sub 9817  df-neg 9818  df-nn 10547  df-2 10604  df-3 10605  df-4 10606  df-5 10607  df-6 10608  df-7 10609  df-8 10610  df-9 10611  df-10 10612  df-n0 10806  df-z 10875  df-dec 10987  df-uz 11093  df-fz 11683  df-struct 14504  df-ndx 14505  df-slot 14506  df-base 14507  df-plusg 14580  df-mulr 14581  df-sca 14583  df-vsca 14584  df-ip 14585  df-tset 14586  df-ple 14587  df-ds 14589  df-rest 14690  df-topn 14691  df-qtop 14774  df-imas 14775
This theorem is referenced by:  imastps  20067  xpstopnlem2  20157  qustgpopn  20463  qustgplem  20464  qustgphaus  20466  imasf1oxms  20837
  Copyright terms: Public domain W3C validator