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Theorem imasrng 15680
Description: The image structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasrng.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasrng.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasrng.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
imasrng.t  |-  .x.  =  ( .r `  R )
imasrng.o  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
imasrng.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasrng.e1  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
imasrng.e2  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .x.  b )
)  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
imasrng.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
Assertion
Ref Expression
imasrng  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Ring  /\  ( F `  .1.  )  =  ( 1r `  U ) ) )
Distinct variable groups:    q, p,  .+    a, b, p, q, ph    U, a, b, p, q    .1. , p, q    B, p, q    F, a, b, p, q    R, p, q    V, a, b, p, q    .x. , p, q
Allowed substitution hints:    B( a, b)    .+ ( a, b)    R( a, b)    .x. ( a, b)    .1. ( a, b)

Proof of Theorem imasrng
Dummy variables  u  v  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasrng.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasrng.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasrng.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasrng.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Ring )
51, 2, 3, 4imasbas 13693 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
6 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
)  =  ( +g  `  U ) )
7 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( .r `  U
)  =  ( .r
`  U ) )
8 imasrng.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( +g  `  R )
98a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .+  =  ( +g  `  R ) )
10 imasrng.e1 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
11 rnggrp 15624 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  R  e. 
Grp )
124, 11syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  Grp )
13 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( 0g
`  R )  =  ( 0g `  R
)
141, 2, 9, 3, 10, 12, 13imasgrp 14889 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Grp  /\  ( F `  ( 0g `  R ) )  =  ( 0g `  U ) ) )
1514simpld 446 . . 3  |-  ( ph  ->  U  e.  Grp )
16 imasrng.e2 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .x.  b )
)  =  ( F `
 ( p  .x.  q ) ) ) )
17 imasrng.t . . . . 5  |-  .x.  =  ( .r `  R )
18 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( .r
`  U )  =  ( .r `  U
)
194adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  ->  R  e.  Ring )
20 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  ->  u  e.  V )
212adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  ->  V  =  ( Base `  R ) )
2220, 21eleqtrd 2480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  ->  u  e.  ( Base `  R ) )
23 simprr 734 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
v  e.  V )
2423, 21eleqtrd 2480 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
v  e.  ( Base `  R ) )
25 eqid 2404 . . . . . . . . 9  |-  ( Base `  R )  =  (
Base `  R )
2625, 17rngcl 15632 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  u  e.  ( Base `  R
)  /\  v  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( u  .x.  v )  e.  (
Base `  R )
)
2719, 22, 24, 26syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
( u  .x.  v
)  e.  ( Base `  R ) )
2827, 21eleqtrrd 2481 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
( u  .x.  v
)  e.  V )
2928caovclg 6198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .x.  q
)  e.  V )
303, 16, 1, 2, 4, 17, 18, 29imasmulf 13716 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( .r `  U
) : ( B  X.  B ) --> B )
31 fovrn 6175 . . . 4  |-  ( ( ( .r `  U
) : ( B  X.  B ) --> B  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( .r `  U
) v )  e.  B )
3230, 31syl3an1 1217 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( .r `  U
) v )  e.  B )
33 forn 5615 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
343, 33syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
3534eleq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <-> 
u  e.  B ) )
3634eleq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ran  F  <-> 
v  e.  B ) )
3734eleq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  F  <-> 
w  e.  B ) )
3835, 36, 373anbi123d 1254 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
39 fofn 5614 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
403, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
41 fvelrnb 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
42 fvelrnb 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
v  e.  ran  F  <->  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v ) )
43 fvelrnb 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
w  e.  ran  F  <->  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
4441, 42, 433anbi123d 1254 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  (
( u  e.  ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
4540, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
4638, 45bitr3d 247 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
47 3reeanv 2836 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  (
( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
4846, 47syl6bbr 255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `  x )  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w ) ) )
494adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  R  e.  Ring )
50 simp2 958 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  x  e.  V )
5123ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  V  =  ( Base `  R )
)
5250, 51eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  x  e.  ( Base `  R )
)
53523adant3r3 1164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  x  e.  ( Base `  R ) )
54 simp3 959 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  y  e.  V )
5554, 51eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  y  e.  ( Base `  R )
)
56553adant3r3 1164 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
y  e.  ( Base `  R ) )
57 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
582adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  V  =  ( Base `  R ) )
5957, 58eleqtrd 2480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  ( Base `  R ) )
6025, 17rngass 15635 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( x  .x.  y
)  .x.  z )  =  ( x  .x.  ( y  .x.  z
) ) )
6149, 53, 56, 59, 60syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( x  .x.  y )  .x.  z
)  =  ( x 
.x.  ( y  .x.  z ) ) )
6261fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .x.  y
)  .x.  z )
)  =  ( F `
 ( x  .x.  ( y  .x.  z
) ) ) )
63 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  ph )
6428caovclg 6198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  V )
65643adantr3 1118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .x.  y
)  e.  V )
663, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .x.  y )  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  ( x  .x.  y ) ) ( .r `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.x.  z ) ) )
6763, 65, 57, 66syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .x.  y ) ) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .x.  z
) ) )
68 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
6928caovclg 6198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .x.  z
)  e.  V )
70693adantr1 1116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .x.  z
)  e.  V )
713, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( y  .x.  z )  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( .r `  U
) ( F `  ( y  .x.  z
) ) )  =  ( F `  (
x  .x.  ( y  .x.  z ) ) ) )
7263, 68, 70, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  ( y 
.x.  z ) ) )  =  ( F `
 ( x  .x.  ( y  .x.  z
) ) ) )
7362, 67, 723eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .x.  y ) ) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  (
y  .x.  z )
) ) )
743, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( .r `  U
) ( F `  y ) )  =  ( F `  (
x  .x.  y )
) )
75743adant3r3 1164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  y ) )  =  ( F `
 ( x  .x.  y ) ) )
7675oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  y
) ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  ( x 
.x.  y ) ) ( .r `  U
) ( F `  z ) ) )
773, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  y )
( .r `  U
) ( F `  z ) )  =  ( F `  (
y  .x.  z )
) )
78773adant3r1 1162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  y ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( F `
 ( y  .x.  z ) ) )
7978oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( ( F `  y
) ( .r `  U ) ( F `
 z ) ) )  =  ( ( F `  x ) ( .r `  U
) ( F `  ( y  .x.  z
) ) ) )
8073, 76, 793eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  y
) ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) ( .r `  U
) ( ( F `
 y ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) ) )
81 simp1 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  x )  =  u )
82 simp2 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  y )  =  v )
8381, 82oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 y ) )  =  ( u ( .r `  U ) v ) )
84 simp3 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  z )  =  w )
8583, 84oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  y ) ) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( .r `  U ) w ) )
8682, 84oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  y
) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( v ( .r `  U ) w ) )
8781, 86oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( ( F `  y ) ( .r `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) )
8885, 87eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  y
) ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) ( .r `  U
) ( ( F `
 y ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) )  <->  ( (
u ( .r `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( u ( .r
`  U ) ( v ( .r `  U ) w ) ) ) )
8980, 88syl5ibcom 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( .r
`  U ) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) ) )
90893exp2 1171 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  V  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( .r
`  U ) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) ) ) ) ) )
9190imp32 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( .r
`  U ) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) ) ) )
9291rexlimdv 2789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( .r
`  U ) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) ) )
9392rexlimdvva 2797 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( .r
`  U ) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) ) )
9448, 93sylbid 207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( .r
`  U ) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( .r
`  U ) w ) ) ) )
9594imp 419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( .r `  U ) v ) ( .r
`  U ) w )  =  ( u ( .r `  U
) ( v ( .r `  U ) w ) ) )
9625, 8, 17rngdi 15637 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
x  .x.  ( y  .+  z ) )  =  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
) )
9749, 53, 56, 59, 96syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .x.  (
y  .+  z )
)  =  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) ) )
9897fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
x  .x.  ( y  .+  z ) ) )  =  ( F `  ( ( x  .x.  y )  .+  (
x  .x.  z )
) ) )
9925, 8rngacl 15646 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  u  e.  ( Base `  R
)  /\  v  e.  ( Base `  R )
)  ->  ( u  .+  v )  e.  (
Base `  R )
)
10019, 22, 24, 99syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
( u  .+  v
)  e.  ( Base `  R ) )
101100, 21eleqtrrd 2481 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  V  /\  v  e.  V ) )  -> 
( u  .+  v
)  e.  V )
102101caovclg 6198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
1031023adantr1 1116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
1043, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( y  .+  z )  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( .r `  U
) ( F `  ( y  .+  z
) ) )  =  ( F `  (
x  .x.  ( y  .+  z ) ) ) )
10563, 68, 103, 104syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  ( y 
.+  z ) ) )  =  ( F `
 ( x  .x.  ( y  .+  z
) ) ) )
10628caovclg 6198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .x.  z
)  e.  V )
1071063adantr2 1117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .x.  z
)  e.  V )
108 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
1093, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 13712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .x.  y )  e.  V  /\  ( x  .x.  z
)  e.  V )  ->  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  (
x  .x.  z )
) )  =  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) ) ) )
11063, 65, 107, 109syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .x.  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  ( x  .x.  z ) ) )  =  ( F `  ( ( x  .x.  y ) 
.+  ( x  .x.  z ) ) ) )
11198, 105, 1103eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  ( y 
.+  z ) ) )  =  ( ( F `  ( x 
.x.  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  ( x  .x.  z ) ) ) )
1123, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 13712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  y )
( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( y 
.+  z ) ) )
1131123adant3r1 1162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( y  .+  z
) ) )
114113oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( ( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) ) )
1153, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( .r `  U
) ( F `  z ) )  =  ( F `  (
x  .x.  z )
) )
1161153adant3r2 1163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( F `
 ( x  .x.  z ) ) )
11775, 116oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( ( F `  x ) ( .r `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( F `
 ( x  .x.  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  (
x  .x.  z )
) ) )
118111, 114, 1173eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( ( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( ( F `  x ) ( .r `  U
) ( F `  y ) ) ( +g  `  U ) ( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) ) ) )
11982, 84oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( v ( +g  `  U ) w ) )
12081, 119oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U ) w ) ) )
12181, 84oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( u ( .r `  U ) w ) )
12283, 121oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  y ) ) ( +g  `  U
) ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) )  =  ( ( u ( .r `  U ) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r `  U
) w ) ) )
123120, 122eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( ( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( ( F `  x ) ( .r `  U
) ( F `  y ) ) ( +g  `  U ) ( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) ) )  <->  ( u
( .r `  U
) ( v ( +g  `  U ) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U ) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r `  U
) w ) ) ) )
124118, 123syl5ibcom 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) ) )
1251243exp2 1171 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  V  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) ) ) ) ) )
126125imp32 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) ) ) )
127126rexlimdv 2789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) ) )
128127rexlimdvva 2797 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) ) )
12948, 128sylbid 207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
u ( .r `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) ) )
130129imp 419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( u ( .r
`  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) )  =  ( ( u ( .r `  U
) v ) ( +g  `  U ) ( u ( .r
`  U ) w ) ) )
13125, 8, 17rngdir 15638 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  (
x  e.  ( Base `  R )  /\  y  e.  ( Base `  R
)  /\  z  e.  ( Base `  R )
) )  ->  (
( x  .+  y
)  .x.  z )  =  ( ( x 
.x.  z )  .+  ( y  .x.  z
) ) )
13249, 53, 56, 59, 131syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( x  .+  y )  .x.  z
)  =  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) )
133132fveq2d 5691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .x.  z )
)  =  ( F `
 ( ( x 
.x.  z )  .+  ( y  .x.  z
) ) ) )
134101caovclg 6198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
1351343adantr3 1118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
1363, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13715 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .+  y )  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( .r `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( ( x  .+  y ) 
.x.  z ) ) )
13763, 135, 57, 136syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( ( x  .+  y )  .x.  z
) ) )
1383, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 13712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .x.  z )  e.  V  /\  ( y  .x.  z
)  e.  V )  ->  ( ( F `
 ( x  .x.  z ) ) ( +g  `  U ) ( F `  (
y  .x.  z )
) )  =  ( F `  ( ( x  .x.  z ) 
.+  ( y  .x.  z ) ) ) )
13963, 107, 70, 138syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .x.  z ) ) ( +g  `  U
) ( F `  ( y  .x.  z
) ) )  =  ( F `  (
( x  .x.  z
)  .+  ( y  .x.  z ) ) ) )
140133, 137, 1393eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( .r `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 ( x  .x.  z ) ) ( +g  `  U ) ( F `  (
y  .x.  z )
) ) )
1413, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 13712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  y
) )  =  ( F `  ( x 
.+  y ) ) )
1421413adant3r3 1164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) )  =  ( F `  ( x  .+  y ) ) )
143142oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  ( x 
.+  y ) ) ( .r `  U
) ( F `  z ) ) )
144116, 78oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( .r `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( F `
 ( x  .x.  z ) ) ( +g  `  U ) ( F `  (
y  .x.  z )
) ) )
145140, 143, 1443eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( ( ( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 z ) ) ( +g  `  U
) ( ( F `
 y ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) ) )
14681, 82oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  y ) )  =  ( u ( +g  `  U ) v ) )
147146, 84oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) ) ( .r `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( u ( +g  `  U ) v ) ( .r
`  U ) w ) )
148121, 86oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) ) ( +g  `  U
) ( ( F `
 y ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) )
149147, 148eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( .r
`  U ) ( F `  z ) )  =  ( ( ( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 z ) ) ( +g  `  U
) ( ( F `
 y ) ( .r `  U ) ( F `  z
) ) )  <->  ( (
u ( +g  `  U
) v ) ( .r `  U ) w )  =  ( ( u ( .r
`  U ) w ) ( +g  `  U
) ( v ( .r `  U ) w ) ) ) )
150145, 149syl5ibcom 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) ) )
1511503exp2 1171 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  V  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) ) ) ) ) )
152151imp32 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) ) ) )
153152rexlimdv 2789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) ) )
154153rexlimdvva 2797 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) ) )
15548, 154sylbid 207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( .r `  U
) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U ) ( v ( .r `  U
) w ) ) ) )
156155imp 419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  U ) v ) ( .r
`  U ) w )  =  ( ( u ( .r `  U ) w ) ( +g  `  U
) ( v ( .r `  U ) w ) ) )
157 fof 5612 . . . . 5  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
1583, 157syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
159 imasrng.o . . . . . . 7  |-  .1.  =  ( 1r `  R )
16025, 159rngidcl 15639 . . . . . 6  |-  ( R  e.  Ring  ->  .1.  e.  ( Base `  R )
)
1614, 160syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .1.  e.  ( Base `  R ) )
162161, 2eleqtrrd 2481 . . . 4  |-  ( ph  ->  .1.  e.  V )
163158, 162ffvelrnd 5830 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  e.  B )
16440, 41syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
16535, 164bitr3d 247 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
166 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ph )
167162adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  .1.  e.  V )
168 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
1693, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13715 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  .1.  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( F `  .1.  ) ( .r `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  (  .1. 
.x.  x ) ) )
170166, 167, 168, 169syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .1.  ) ( .r `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  (  .1.  .x.  x )
) )
1714adantr 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  R  e.  Ring )
1722eleq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  <->  x  e.  ( Base `  R
) ) )
173172biimpa 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  ( Base `  R
) )
17425, 17, 159rnglidm 15642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  (  .1.  .x.  x )  =  x )
175171, 173, 174syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (  .1.  .x.  x )  =  x )
176175fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .1.  .x.  x ) )  =  ( F `  x
) )
177170, 176eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .1.  ) ( .r `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  x ) )
178 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( F `  .1.  ) ( .r `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( ( F `
 .1.  ) ( .r `  U ) u ) )
179 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  ( F `  x )  =  u )
180178, 179eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( ( F `  .1.  ) ( .r `  U ) ( F `
 x ) )  =  ( F `  x )  <->  ( ( F `  .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u ) )
181177, 180syl5ibcom 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  -> 
( ( F `  .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u ) )
182181rexlimdva 2790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  ( ( F `
 .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u ) )
183165, 182sylbid 207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( ( F `  .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u ) )
184183imp 419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
( F `  .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u )
1853, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 13715 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  .1.  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( .r `  U
) ( F `  .1.  ) )  =  ( F `  ( x 
.x.  .1.  ) )
)
186167, 185mpd3an3 1280 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 .1.  ) )  =  ( F `  ( x  .x.  .1.  )
) )
18725, 17, 159rngridm 15643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( R  e.  Ring  /\  x  e.  ( Base `  R
) )  ->  (
x  .x.  .1.  )  =  x )
188171, 173, 187syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
x  .x.  .1.  )  =  x )
189188fveq2d 5691 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( x  .x.  .1.  ) )  =  ( F `  x
) )
190186, 189eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 .1.  ) )  =  ( F `  x ) )
191 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( F `  x
) ( .r `  U ) ( F `
 .1.  ) )  =  ( u ( .r `  U ) ( F `  .1.  ) ) )
192191, 179eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( ( F `  x ) ( .r
`  U ) ( F `  .1.  )
)  =  ( F `
 x )  <->  ( u
( .r `  U
) ( F `  .1.  ) )  =  u ) )
193190, 192syl5ibcom 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  -> 
( u ( .r
`  U ) ( F `  .1.  )
)  =  u ) )
194193rexlimdva 2790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  ( u ( .r `  U ) ( F `  .1.  ) )  =  u ) )
195165, 194sylbid 207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( u ( .r
`  U ) ( F `  .1.  )
)  =  u ) )
196195imp 419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
u ( .r `  U ) ( F `
 .1.  ) )  =  u )
1975, 6, 7, 15, 32, 95, 130, 156, 163, 184, 196isrngd 15653 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  Ring )
198163, 5eleqtrd 2480 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  e.  ( Base `  U ) )
1995eleq2d 2471 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  <->  u  e.  ( Base `  U
) ) )
200183, 195jcad 520 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( ( ( F `
 .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  U ) ( F `  .1.  ) )  =  u ) ) )
201199, 200sylbird 227 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( u  e.  (
Base `  U )  ->  ( ( ( F `
 .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  U ) ( F `  .1.  ) )  =  u ) ) )
202201ralrimiv 2748 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. u  e.  (
Base `  U )
( ( ( F `
 .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  U ) ( F `  .1.  ) )  =  u ) )
203 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
204 eqid 2404 . . . . . 6  |-  ( 1r
`  U )  =  ( 1r `  U
)
205203, 18, 204isrngid 15644 . . . . 5  |-  ( U  e.  Ring  ->  ( ( ( F `  .1.  )  e.  ( Base `  U )  /\  A. u  e.  ( Base `  U ) ( ( ( F `  .1.  ) ( .r `  U ) u )  =  u  /\  (
u ( .r `  U ) ( F `
 .1.  ) )  =  u ) )  <-> 
( 1r `  U
)  =  ( F `
 .1.  ) ) )
206197, 205syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( F `
 .1.  )  e.  ( Base `  U
)  /\  A. u  e.  ( Base `  U
) ( ( ( F `  .1.  )
( .r `  U
) u )  =  u  /\  ( u ( .r `  U
) ( F `  .1.  ) )  =  u ) )  <->  ( 1r `  U )  =  ( F `  .1.  )
) )
207198, 202, 206mpbi2and 888 . . 3  |-  ( ph  ->  ( 1r `  U
)  =  ( F `
 .1.  ) )
208207eqcomd 2409 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  .1.  )  =  ( 1r `  U ) )
209197, 208jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Ring  /\  ( F `  .1.  )  =  ( 1r `  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    X. cxp 4835   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   .rcmulr 13485   0gc0g 13678    "s cimas 13685   Grpcgrp 14640   Ringcrg 15615   1rcur 15617
This theorem is referenced by:  divsrng2  15681
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-0g 13682  df-imas 13689  df-mnd 14645  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-mgp 15604  df-rng 15618  df-ur 15620
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