Theorem imasring 17395

Description: The image structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasring.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasring.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasring.p	|- .+ = ( +g ` R )
imasring.t	|- .x. = ( .r ` R )
imasring.o	|- .1. = ( 1r ` R )
imasring.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasring.e1	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasring.e2	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
imasring.r	|- ( ph -> R e. Ring )

Assertion

Ref	Expression
imasring	|- ( ph -> ( U e. Ring /\ ( F ` .1. ) = ( 1r ` U ) ) )

Distinct variable groups:   q, p, .+   a, b, p, q, ph   U, a, b, p, q   .1. , p, q   B, p, q   F, a, b, p, q   R, p, q   V, a, b, p, q   .x. , p, q

Allowed substitution hints:   B( a, b)   .+ ( a, b)   R( a, b)   .x. ( a, b)   .1. ( a, b)

Proof of Theorem imasring

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasring.u	. . . 4 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasring.v	. . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasring.f	. . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4		imasring.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
5	1, 2, 3, 4	imasbas 14929	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
6		eqidd 2458	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` U ) = ( +g ` U ) )
7		eqidd 2458	. . 3 |- ( ph -> ( .r ` U ) = ( .r ` U ) )
8		imasring.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` R )
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
10		imasring.e1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
11		ringgrp 17330	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
12	4, 11	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Grp )
13		eqid 2457	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
14	1, 2, 9, 3, 10, 12, 13	imasgrp 16313	. . . 4 |- ( ph -> ( U e. Grp /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` U ) ) )
15	14	simpld 459	. . 3 |- ( ph -> U e. Grp )
16		imasring.e2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
17		imasring.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
18		eqid 2457	. . . . 5 |- ( .r ` U ) = ( .r ` U )
19	4	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> R e. Ring )
20		simprl 756	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> u e. V )
21	2	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> V = ( Base ` R ) )
22	20, 21	eleqtrd 2547	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> u e. ( Base ` R ) )
23		simprr 757	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> v e. V )
24	23, 21	eleqtrd 2547	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> v e. ( Base ` R ) )
25		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
26	25, 17	ringcl 17339	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) -> ( u .x. v ) e. ( Base ` R ) )
27	19, 22, 24, 26	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .x. v ) e. ( Base ` R ) )
28	27, 21	eleqtrrd 2548	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .x. v ) e. V )
29	28	caovclg 6466	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .x. q ) e. V )
30	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18, 29	imasmulf 14953	. . . 4 |- ( ph -> ( .r ` U ) : ( B X. B ) --> B )
31		fovrn 6444	. . . 4 |- ( ( ( .r ` U ) : ( B X. B ) --> B /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( .r ` U ) v ) e. B )
32	30, 31	syl3an1 1261	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( .r ` U ) v ) e. B )
33		forn 5804	. . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
34	3, 33	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran F = B )
35	34	eleq2d 2527	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> u e. B ) )
36	34	eleq2d 2527	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( v e. ran F <-> v e. B ) )
37	34	eleq2d 2527	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. ran F <-> w e. B ) )
38	35, 36, 37	3anbi123d 1299	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
39		fofn 5803	. . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
40	3, 39	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn V )
41		fvelrnb 5920	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
42		fvelrnb 5920	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( v e. ran F <-> E. y e. V ( F ` y ) = v ) )
43		fvelrnb 5920	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( w e. ran F <-> E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
44	41, 42, 43	3anbi123d 1299	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
45	40, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
46	38, 45	bitr3d 255	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
47		3reeanv 3026	. . . . . 6 |- ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
48	46, 47	syl6bbr 263	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) ) )
49	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> R e. Ring )
50		simp2 997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> x e. V )
51	2	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> V = ( Base ` R ) )
52	50, 51	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> x e. ( Base ` R ) )
53	52	3adant3r3 1207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
54		simp3 998	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> y e. V )
55	54, 51	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> y e. ( Base ` R ) )
56	55	3adant3r3 1207	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
57		simpr3 1004	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
58	2	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> V = ( Base ` R ) )
59	57, 58	eleqtrd 2547	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. ( Base ` R ) )
60	25, 17	ringass 17342	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
61	49, 53, 56, 59, 60	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
62	61	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
63		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ph )
64	28	caovclg 6466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .x. y ) e. V )
65	64	3adantr3 1157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. y ) e. V )
66	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 14952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .x. y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) )
67	63, 65, 57, 66	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) )
68		simpr1 1002	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. V )
69	28	caovclg 6466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .x. z ) e. V )
70	69	3adantr1 1155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .x. z ) e. V )
71	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 14952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
72	63, 68, 70, 71	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
73	62, 67, 72	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
74	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 14952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .x. y ) ) )
75	74	3adant3r3 1207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .x. y ) ) )
76	75	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) )
77	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 14952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .x. z ) ) )
78	77	3adant3r1 1205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .x. z ) ) )
79	78	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
80	73, 76, 79	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
81		simp1 996	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` x ) = u )
82		simp2 997	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` y ) = v )
83	81, 82	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( .r ` U ) v ) )
84		simp3 998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` z ) = w )
85	83, 84	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) )
86	82, 84	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( .r ` U ) w ) )
87	81, 86	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
88	85, 87	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
89	80, 88	syl5ibcom 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
90	89	3exp2 1214	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
91	90	imp32 433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
92	91	rexlimdv 2947	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
93	92	rexlimdvva 2956	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
94	48, 93	sylbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
95	94	imp 429	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
96	25, 8, 17	ringdi 17344	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
97	49, 53, 56, 59, 96	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
98	97	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
99	25, 8	ringacl 17353	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) -> ( u .+ v ) e. ( Base ` R ) )
100	19, 22, 24, 99	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .+ v ) e. ( Base ` R ) )
101	100, 21	eleqtrrd 2548	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .+ v ) e. V )
102	101	caovclg 6466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
103	102	3adantr1 1155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
104	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 14952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .+ z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) )
105	63, 68, 103, 104	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) )
106	28	caovclg 6466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. z ) e. V )
107	106	3adantr2 1156	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. z ) e. V )
108		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
109	3, 10, 1, 2, 4, 8, 108	imasaddval 14949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .x. y ) e. V /\ ( x .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
110	63, 65, 107, 109	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
111	98, 105, 110	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) )
112	3, 10, 1, 2, 4, 8, 108	imasaddval 14949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
113	112	3adant3r1 1205	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
114	113	oveq2d 6312	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
115	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 14952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( x .x. z ) ) )
116	115	3adant3r2 1206	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( x .x. z ) ) )
117	75, 116	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) )
118	111, 114, 117	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
119	82, 84	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( +g ` U ) w ) )
120	81, 119	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
121	81, 84	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( u ( .r ` U ) w ) )
122	83, 121	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) )
123	120, 122	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
124	118, 123	syl5ibcom 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
125	124	3exp2 1214	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
126	125	imp32 433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
127	126	rexlimdv 2947	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
128	127	rexlimdvva 2956	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
129	48, 128	sylbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
130	129	imp 429	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) )
131	25, 8, 17	ringdir 17345	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
132	49, 53, 56, 59, 131	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
133	132	fveq2d 5876	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
134	101	caovclg 6466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
135	134	3adantr3 1157	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
136	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 14952	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .+ y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) )
137	63, 135, 57, 136	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) )
138	3, 10, 1, 2, 4, 8, 108	imasaddval 14949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .x. z ) e. V /\ ( y .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
139	63, 107, 70, 138	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
140	133, 137, 139	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
141	3, 10, 1, 2, 4, 8, 108	imasaddval 14949	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
142	141	3adant3r3 1207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
143	142	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) )
144	116, 78	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
145	140, 143, 144	3eqtr4d 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
146	81, 82	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( +g ` U ) v ) )
147	146, 84	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) )
148	121, 86	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
149	147, 148	eqeq12d 2479	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
150	145, 149	syl5ibcom 220	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
151	150	3exp2 1214	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
152	151	imp32 433	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
153	152	rexlimdv 2947	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
154	153	rexlimdvva 2956	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
155	48, 154	sylbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
156	155	imp 429	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
157		fof 5801	. . . . 5 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
158	3, 157	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> F : V --> B )
159		imasring.o	. . . . . . 7 |- .1. = ( 1r ` R )
160	25, 159	ringidcl 17346	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
161	4, 160	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> .1. e. ( Base ` R ) )
162	161, 2	eleqtrrd 2548	. . . 4 |- ( ph -> .1. e. V )
163	158, 162	ffvelrnd 6033	. . 3 |- ( ph -> ( F ` .1. ) e. B )
164	40, 41	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
165	35, 164	bitr3d 255	. . . . 5 |- ( ph -> ( u e. B <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
166		simpl 457	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ph )
167	162	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> .1. e. V )
168		simpr 461	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. V )
169	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 14952	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ .1. e. V /\ x e. V ) -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .1. .x. x ) ) )
170	166, 167, 168, 169	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .1. .x. x ) ) )
171	4	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> R e. Ring )
172	2	eleq2d 2527	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. V <-> x e. ( Base ` R ) ) )
173	172	biimpa 484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` R ) )
174	25, 17, 159	ringlidm 17349	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( .1. .x. x ) = x )
175	171, 173, 174	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( .1. .x. x ) = x )
176	175	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .1. .x. x ) ) = ( F ` x ) )
177	170, 176	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
178		oveq2 6304	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) )
179		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( F ` x ) = u )
180	178, 179	eqeq12d 2479	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) <-> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u ) )
181	177, 180	syl5ibcom 220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u ) )
182	181	rexlimdva 2949	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u ) )
183	165, 182	sylbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u ) )
184	183	imp 429	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u )
185	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 14952	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V /\ .1. e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( F ` ( x .x. .1. ) ) )
186	167, 185	mpd3an3 1325	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( F ` ( x .x. .1. ) ) )
187	25, 17, 159	ringridm 17350	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x .x. .1. ) = x )
188	171, 173, 187	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( x .x. .1. ) = x )
189	188	fveq2d 5876	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( x .x. .1. ) ) = ( F ` x ) )
190	186, 189	eqtrd 2498	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( F ` x ) )
191		oveq1 6303	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) )
192	191, 179	eqeq12d 2479	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( F ` x ) <-> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
193	190, 192	syl5ibcom 220	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
194	193	rexlimdva 2949	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
195	165, 194	sylbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
196	195	imp 429	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u )
197	5, 6, 7, 15, 32, 95, 130, 156, 163, 184, 196	isringd 17360	. 2 |- ( ph -> U e. Ring )
198	163, 5	eleqtrd 2547	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` .1. ) e. ( Base ` U ) )
199	5	eleq2d 2527	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. B <-> u e. ( Base ` U ) ) )
200	183, 195	jcad 533	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. B -> ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) ) )
201	199, 200	sylbird 235	. . . . 5 |- ( ph -> ( u e. ( Base ` U ) -> ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) ) )
202	201	ralrimiv 2869	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. ( Base ` U ) ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
203		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
204		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( 1r ` U ) = ( 1r ` U )
205	203, 18, 204	isringid 17351	. . . . 5 |- ( U e. Ring -> ( ( ( F ` .1. ) e. ( Base ` U ) /\ A. u e. ( Base ` U ) ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) ) <-> ( 1r ` U ) = ( F ` .1. ) ) )
206	197, 205	syl 16	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` .1. ) e. ( Base ` U ) /\ A. u e. ( Base ` U ) ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) ) <-> ( 1r ` U ) = ( F ` .1. ) ) )
207	198, 202, 206	mpbi2and 921	. . 3 |- ( ph -> ( 1r ` U ) = ( F ` .1. ) )
208	207	eqcomd 2465	. 2 |- ( ph -> ( F ` .1. ) = ( 1r ` U ) )
209	197, 208	jca 532	1 |- ( ph -> ( U e. Ring /\ ( F ` .1. ) = ( 1r ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   A.wral 2807   E.wrex 2808   X. cxp 5006   ran crn 5009   Fn wfn 5589   -->wf 5590   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   .rcmulr 14713   0gc0g 14857   "_s cimas 14921   Grpcgrp 16180   1rcur 17280   Ringcrg 17325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-0g 14859  df-imas 14925  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-mgp 17269  df-ur 17281  df-ring 17327

This theorem is referenced by:  qusring2  17396