Theorem imasring 17847

Description: The image structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
imasring.u	|- ( ph -> U = ( F "s R ) )
imasring.v	|- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
imasring.p	|- .+ = ( +g ` R )
imasring.t	|- .x. = ( .r ` R )
imasring.o	|- .1. = ( 1r ` R )
imasring.f	|- ( ph -> F : V -onto-> B )
imasring.e1	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
imasring.e2	|- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
imasring.r	|- ( ph -> R e. Ring )

Assertion

Ref	Expression
imasring	|- ( ph -> ( U e. Ring /\ ( F ` .1. ) = ( 1r ` U ) ) )

Distinct variable groups:   q, p, .+   a, b, p, q, ph   U, a, b, p, q   .1. , p, q   B, p, q   F, a, b, p, q   R, p, q   V, a, b, p, q   .x. , p, q

Allowed substitution hints:   B( a, b)   .+ ( a, b)   R( a, b)   .x. ( a, b)   .1. ( a, b)

Proof of Theorem imasring

Dummy variables u v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		imasring.u	. . . 4 |- ( ph -> U = ( F "s R ) )
2		imasring.v	. . . 4 |- ( ph -> V = ( Base ` R ) )
3		imasring.f	. . . 4 |- ( ph -> F : V -onto-> B )
4		imasring.r	. . . 4 |- ( ph -> R e. Ring )
5	1, 2, 3, 4	imasbas 15413	. . 3 |- ( ph -> B = ( Base ` U ) )
6		eqidd 2452	. . 3 |- ( ph -> ( +g ` U ) = ( +g ` U ) )
7		eqidd 2452	. . 3 |- ( ph -> ( .r ` U ) = ( .r ` U ) )
8		imasring.p	. . . . . 6 |- .+ = ( +g ` R )
9	8	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> .+ = ( +g ` R ) )
10		imasring.e1	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .+ b ) ) = ( F ` ( p .+ q ) ) ) )
11		ringgrp 17785	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> R e. Grp )
12	4, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> R e. Grp )
13		eqid 2451	. . . . 5 |- ( 0g ` R ) = ( 0g ` R )
14	1, 2, 9, 3, 10, 12, 13	imasgrp 16802	. . . 4 |- ( ph -> ( U e. Grp /\ ( F ` ( 0g ` R ) ) = ( 0g ` U ) ) )
15	14	simpld 461	. . 3 |- ( ph -> U e. Grp )
16		imasring.e2	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( a e. V /\ b e. V ) /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( ( ( F ` a ) = ( F ` p ) /\ ( F ` b ) = ( F ` q ) ) -> ( F ` ( a .x. b ) ) = ( F ` ( p .x. q ) ) ) )
17		imasring.t	. . . . 5 |- .x. = ( .r ` R )
18		eqid 2451	. . . . 5 |- ( .r ` U ) = ( .r ` U )
19	4	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> R e. Ring )
20		simprl 764	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> u e. V )
21	2	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> V = ( Base ` R ) )
22	20, 21	eleqtrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> u e. ( Base ` R ) )
23		simprr 766	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> v e. V )
24	23, 21	eleqtrd 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> v e. ( Base ` R ) )
25		eqid 2451	. . . . . . . . 9 |- ( Base ` R ) = ( Base ` R )
26	25, 17	ringcl 17794	. . . . . . . 8 |- ( ( R e. Ring /\ u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) -> ( u .x. v ) e. ( Base ` R ) )
27	19, 22, 24, 26	syl3anc 1268	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .x. v ) e. ( Base ` R ) )
28	27, 21	eleqtrrd 2532	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .x. v ) e. V )
29	28	caovclg 6461	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( p e. V /\ q e. V ) ) -> ( p .x. q ) e. V )
30	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18, 29	imasmulf 15442	. . . 4 |- ( ph -> ( .r ` U ) : ( B X. B ) --> B )
31		fovrn 6439	. . . 4 |- ( ( ( .r ` U ) : ( B X. B ) --> B /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( .r ` U ) v ) e. B )
32	30, 31	syl3an1 1301	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B /\ v e. B ) -> ( u ( .r ` U ) v ) e. B )
33		forn 5796	. . . . . . . . . 10 |- ( F : V -onto-> B -> ran F = B )
34	3, 33	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( ph -> ran F = B )
35	34	eleq2d 2514	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> u e. B ) )
36	34	eleq2d 2514	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( v e. ran F <-> v e. B ) )
37	34	eleq2d 2514	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. ran F <-> w e. B ) )
38	35, 36, 37	3anbi123d 1339	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) )
39		fofn 5795	. . . . . . . . 9 |- ( F : V -onto-> B -> F Fn V )
40	3, 39	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ph -> F Fn V )
41		fvelrnb 5912	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
42		fvelrnb 5912	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( v e. ran F <-> E. y e. V ( F ` y ) = v ) )
43		fvelrnb 5912	. . . . . . . . 9 |- ( F Fn V -> ( w e. ran F <-> E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
44	41, 42, 43	3anbi123d 1339	. . . . . . . 8 |- ( F Fn V -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
45	40, 44	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ( u e. ran F /\ v e. ran F /\ w e. ran F ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
46	38, 45	bitr3d 259	. . . . . 6 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) ) )
47		3reeanv 2959	. . . . . 6 |- ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) <-> ( E. x e. V ( F ` x ) = u /\ E. y e. V ( F ` y ) = v /\ E. z e. V ( F ` z ) = w ) )
48	46, 47	syl6bbr 267	. . . . 5 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) <-> E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) ) )
49	4	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> R e. Ring )
50		simp2 1009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> x e. V )
51	2	3ad2ant1 1029	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> V = ( Base ` R ) )
52	50, 51	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> x e. ( Base ` R ) )
53	52	3adant3r3 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. ( Base ` R ) )
54		simp3 1010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> y e. V )
55	54, 51	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> y e. ( Base ` R ) )
56	55	3adant3r3 1219	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> y e. ( Base ` R ) )
57		simpr3 1016	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. V )
58	2	adantr 467	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> V = ( Base ` R ) )
59	57, 58	eleqtrd 2531	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> z e. ( Base ` R ) )
60	25, 17	ringass 17797	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
61	49, 53, 56, 59, 60	syl13anc 1270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x .x. y ) .x. z ) = ( x .x. ( y .x. z ) ) )
62	61	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
63		simpl 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ph )
64	28	caovclg 6461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .x. y ) e. V )
65	64	3adantr3 1169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. y ) e. V )
66	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 15441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .x. y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) )
67	63, 65, 57, 66	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .x. z ) ) )
68		simpr1 1014	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> x e. V )
69	28	caovclg 6461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .x. z ) e. V )
70	69	3adantr1 1167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .x. z ) e. V )
71	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 15441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
72	63, 68, 70, 71	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .x. z ) ) ) )
73	62, 67, 72	3eqtr4d 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
74	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 15441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .x. y ) ) )
75	74	3adant3r3 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .x. y ) ) )
76	75	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) )
77	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 15441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .x. z ) ) )
78	77	3adant3r1 1217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .x. z ) ) )
79	78	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
80	73, 76, 79	3eqtr4d 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
81		simp1 1008	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` x ) = u )
82		simp2 1009	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` y ) = v )
83	81, 82	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( .r ` U ) v ) )
84		simp3 1010	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( F ` z ) = w )
85	83, 84	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) )
86	82, 84	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( .r ` U ) w ) )
87	81, 86	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
88	85, 87	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
89	80, 88	syl5ibcom 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
90	89	3exp2 1227	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
91	90	imp32 435	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
92	91	rexlimdv 2877	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
93	92	rexlimdvva 2886	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
94	48, 93	sylbid 219	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
95	94	imp 431	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( .r ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
96	25, 8, 17	ringdi 17799	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
97	49, 53, 56, 59, 96	syl13anc 1270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. ( y .+ z ) ) = ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) )
98	97	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
99	25, 8	ringacl 17808	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( R e. Ring /\ u e. ( Base ` R ) /\ v e. ( Base ` R ) ) -> ( u .+ v ) e. ( Base ` R ) )
100	19, 22, 24, 99	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .+ v ) e. ( Base ` R ) )
101	100, 21	eleqtrrd 2532	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ ( u e. V /\ v e. V ) ) -> ( u .+ v ) e. V )
102	101	caovclg 6461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
103	102	3adantr1 1167	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( y .+ z ) e. V )
104	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 15441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ ( y .+ z ) e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) )
105	63, 68, 103, 104	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( F ` ( x .x. ( y .+ z ) ) ) )
106	28	caovclg 6461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. z ) e. V )
107	106	3adantr2 1168	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .x. z ) e. V )
108		eqid 2451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
109	3, 10, 1, 2, 4, 8, 108	imasaddval 15438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .x. y ) e. V /\ ( x .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
110	63, 65, 107, 109	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. y ) .+ ( x .x. z ) ) ) )
111	98, 105, 110	3eqtr4d 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) )
112	3, 10, 1, 2, 4, 8, 108	imasaddval 15438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ y e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
113	112	3adant3r1 1217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( y .+ z ) ) )
114	113	oveq2d 6306	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` ( y .+ z ) ) ) )
115	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 15441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( x .x. z ) ) )
116	115	3adant3r2 1218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( x .x. z ) ) )
117	75, 116	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. y ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( x .x. z ) ) ) )
118	111, 114, 117	3eqtr4d 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
119	82, 84	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) = ( v ( +g ` U ) w ) )
120	81, 119	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) )
121	81, 84	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( u ( .r ` U ) w ) )
122	83, 121	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) )
123	120, 122	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( ( F ` y ) ( +g ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` y ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
124	118, 123	syl5ibcom 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
125	124	3exp2 1227	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
126	125	imp32 435	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
127	126	rexlimdv 2877	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
128	127	rexlimdvva 2886	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
129	48, 128	sylbid 219	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) ) )
130	129	imp 431	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( u ( .r ` U ) ( v ( +g ` U ) w ) ) = ( ( u ( .r ` U ) v ) ( +g ` U ) ( u ( .r ` U ) w ) ) )
131	25, 8, 17	ringdir 17800	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( R e. Ring /\ ( x e. ( Base ` R ) /\ y e. ( Base ` R ) /\ z e. ( Base ` R ) ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
132	49, 53, 56, 59, 131	syl13anc 1270	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( x .+ y ) .x. z ) = ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) )
133	132	fveq2d 5869	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
134	101	caovclg 6461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
135	134	3adantr3 1169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( x .+ y ) e. V )
136	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 15441	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .+ y ) e. V /\ z e. V ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) )
137	63, 135, 57, 136	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( F ` ( ( x .+ y ) .x. z ) ) )
138	3, 10, 1, 2, 4, 8, 108	imasaddval 15438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x .x. z ) e. V /\ ( y .x. z ) e. V ) -> ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
139	63, 107, 70, 138	syl3anc 1268	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) = ( F ` ( ( x .x. z ) .+ ( y .x. z ) ) ) )
140	133, 137, 139	3eqtr4d 2495	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
141	3, 10, 1, 2, 4, 8, 108	imasaddval 15438	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ x e. V /\ y e. V ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
142	141	3adant3r3 1219	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( F ` ( x .+ y ) ) )
143	142	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( F ` ( x .+ y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) )
144	116, 78	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( F ` ( x .x. z ) ) ( +g ` U ) ( F ` ( y .x. z ) ) ) )
145	140, 143, 144	3eqtr4d 2495	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) )
146	81, 82	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) = ( u ( +g ` U ) v ) )
147	146, 84	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) )
148	121, 86	oveq12d 6308	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
149	147, 148	eqeq12d 2466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( ( ( F ` x ) ( +g ` U ) ( F ` y ) ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) = ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ( +g ` U ) ( ( F ` y ) ( .r ` U ) ( F ` z ) ) ) <-> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
150	145, 149	syl5ibcom 224	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V /\ z e. V ) ) -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
151	150	3exp2 1227	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( x e. V -> ( y e. V -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) ) ) )
152	151	imp32 435	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( z e. V -> ( ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) ) )
153	152	rexlimdv 2877	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. V /\ y e. V ) ) -> ( E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
154	153	rexlimdvva 2886	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V E. y e. V E. z e. V ( ( F ` x ) = u /\ ( F ` y ) = v /\ ( F ` z ) = w ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
155	48, 154	sylbid 219	. . . 4 |- ( ph -> ( ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) ) )
156	155	imp 431	. . 3 |- ( ( ph /\ ( u e. B /\ v e. B /\ w e. B ) ) -> ( ( u ( +g ` U ) v ) ( .r ` U ) w ) = ( ( u ( .r ` U ) w ) ( +g ` U ) ( v ( .r ` U ) w ) ) )
157		fof 5793	. . . . 5 |- ( F : V -onto-> B -> F : V --> B )
158	3, 157	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> F : V --> B )
159		imasring.o	. . . . . . 7 |- .1. = ( 1r ` R )
160	25, 159	ringidcl 17801	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> .1. e. ( Base ` R ) )
161	4, 160	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> .1. e. ( Base ` R ) )
162	161, 2	eleqtrrd 2532	. . . 4 |- ( ph -> .1. e. V )
163	158, 162	ffvelrnd 6023	. . 3 |- ( ph -> ( F ` .1. ) e. B )
164	40, 41	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. ran F <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
165	35, 164	bitr3d 259	. . . . 5 |- ( ph -> ( u e. B <-> E. x e. V ( F ` x ) = u ) )
166		simpl 459	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ph )
167	162	adantr 467	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> .1. e. V )
168		simpr 463	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. V )
169	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 15441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ .1. e. V /\ x e. V ) -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .1. .x. x ) ) )
170	166, 167, 168, 169	syl3anc 1268	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` ( .1. .x. x ) ) )
171	4	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> R e. Ring )
172	2	eleq2d 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> ( x e. V <-> x e. ( Base ` R ) ) )
173	172	biimpa 487	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> x e. ( Base ` R ) )
174	25, 17, 159	ringlidm 17804	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( .1. .x. x ) = x )
175	171, 173, 174	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( .1. .x. x ) = x )
176	175	fveq2d 5869	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( .1. .x. x ) ) = ( F ` x ) )
177	170, 176	eqtrd 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) )
178		oveq2 6298	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) )
179		id 22	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( F ` x ) = u )
180	178, 179	eqeq12d 2466	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) ( F ` x ) ) = ( F ` x ) <-> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u ) )
181	177, 180	syl5ibcom 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u ) )
182	181	rexlimdva 2879	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u ) )
183	165, 182	sylbid 219	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u ) )
184	183	imp 431	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u )
185	3, 16, 1, 2, 4, 17, 18	imasmulval 15441	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V /\ .1. e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( F ` ( x .x. .1. ) ) )
186	167, 185	mpd3an3 1365	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( F ` ( x .x. .1. ) ) )
187	25, 17, 159	ringridm 17805	. . . . . . . . . 10 |- ( ( R e. Ring /\ x e. ( Base ` R ) ) -> ( x .x. .1. ) = x )
188	171, 173, 187	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( x .x. .1. ) = x )
189	188	fveq2d 5869	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( F ` ( x .x. .1. ) ) = ( F ` x ) )
190	186, 189	eqtrd 2485	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( F ` x ) )
191		oveq1 6297	. . . . . . . 8 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) )
192	191, 179	eqeq12d 2466	. . . . . . 7 |- ( ( F ` x ) = u -> ( ( ( F ` x ) ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = ( F ` x ) <-> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
193	190, 192	syl5ibcom 224	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ x e. V ) -> ( ( F ` x ) = u -> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
194	193	rexlimdva 2879	. . . . 5 |- ( ph -> ( E. x e. V ( F ` x ) = u -> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
195	165, 194	sylbid 219	. . . 4 |- ( ph -> ( u e. B -> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
196	195	imp 431	. . 3 |- ( ( ph /\ u e. B ) -> ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u )
197	5, 6, 7, 15, 32, 95, 130, 156, 163, 184, 196	isringd 17815	. 2 |- ( ph -> U e. Ring )
198	163, 5	eleqtrd 2531	. . . 4 |- ( ph -> ( F ` .1. ) e. ( Base ` U ) )
199	5	eleq2d 2514	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. B <-> u e. ( Base ` U ) ) )
200	183, 195	jcad 536	. . . . . 6 |- ( ph -> ( u e. B -> ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) ) )
201	199, 200	sylbird 239	. . . . 5 |- ( ph -> ( u e. ( Base ` U ) -> ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) ) )
202	201	ralrimiv 2800	. . . 4 |- ( ph -> A. u e. ( Base ` U ) ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) )
203		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
204		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( 1r ` U ) = ( 1r ` U )
205	203, 18, 204	isringid 17806	. . . . 5 |- ( U e. Ring -> ( ( ( F ` .1. ) e. ( Base ` U ) /\ A. u e. ( Base ` U ) ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) ) <-> ( 1r ` U ) = ( F ` .1. ) ) )
206	197, 205	syl 17	. . . 4 |- ( ph -> ( ( ( F ` .1. ) e. ( Base ` U ) /\ A. u e. ( Base ` U ) ( ( ( F ` .1. ) ( .r ` U ) u ) = u /\ ( u ( .r ` U ) ( F ` .1. ) ) = u ) ) <-> ( 1r ` U ) = ( F ` .1. ) ) )
207	198, 202, 206	mpbi2and 932	. . 3 |- ( ph -> ( 1r ` U ) = ( F ` .1. ) )
208	207	eqcomd 2457	. 2 |- ( ph -> ( F ` .1. ) = ( 1r ` U ) )
209	197, 208	jca 535	1 |- ( ph -> ( U e. Ring /\ ( F ` .1. ) = ( 1r ` U ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   A.wral 2737   E.wrex 2738   X. cxp 4832   ran crn 4835   Fn wfn 5577   -->wf 5578   -onto->wfo 5580   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   +g cplusg 15190   .rcmulr 15191   0gc0g 15338   "_s cimas 15402   Grpcgrp 16669   1rcur 17735   Ringcrg 17780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-0g 15340  df-imas 15407  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782

This theorem is referenced by:  qusring2  17848