Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasring Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem imasring 17847
 Description: The image structure of a ring is a ring. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasring.u s
imasring.v
imasring.p
imasring.t
imasring.o
imasring.f
imasring.e1
imasring.e2
imasring.r
Assertion
Ref Expression
imasring
Distinct variable groups:   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem imasring
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasring.u . . . 4 s
2 imasring.v . . . 4
3 imasring.f . . . 4
4 imasring.r . . . 4
51, 2, 3, 4imasbas 15413 . . 3
6 eqidd 2452 . . 3
7 eqidd 2452 . . 3
8 imasring.p . . . . . 6
98a1i 11 . . . . 5
10 imasring.e1 . . . . 5
11 ringgrp 17785 . . . . . 6
124, 11syl 17 . . . . 5
13 eqid 2451 . . . . 5
141, 2, 9, 3, 10, 12, 13imasgrp 16802 . . . 4
1514simpld 461 . . 3
16 imasring.e2 . . . . 5
17 imasring.t . . . . 5
18 eqid 2451 . . . . 5
194adantr 467 . . . . . . . 8
20 simprl 764 . . . . . . . . 9
212adantr 467 . . . . . . . . 9
2220, 21eleqtrd 2531 . . . . . . . 8
23 simprr 766 . . . . . . . . 9
2423, 21eleqtrd 2531 . . . . . . . 8
25 eqid 2451 . . . . . . . . 9
2625, 17ringcl 17794 . . . . . . . 8
2719, 22, 24, 26syl3anc 1268 . . . . . . 7
2827, 21eleqtrrd 2532 . . . . . 6
2928caovclg 6461 . . . . 5
303, 16, 1, 2, 4, 17, 18, 29imasmulf 15442 . . . 4
31 fovrn 6439 . . . 4
3230, 31syl3an1 1301 . . 3
33 forn 5796 . . . . . . . . . 10
343, 33syl 17 . . . . . . . . 9
3534eleq2d 2514 . . . . . . . 8
3634eleq2d 2514 . . . . . . . 8
3734eleq2d 2514 . . . . . . . 8
3835, 36, 373anbi123d 1339 . . . . . . 7
39 fofn 5795 . . . . . . . . 9
403, 39syl 17 . . . . . . . 8
41 fvelrnb 5912 . . . . . . . . 9
42 fvelrnb 5912 . . . . . . . . 9
43 fvelrnb 5912 . . . . . . . . 9
4441, 42, 433anbi123d 1339 . . . . . . . 8
4540, 44syl 17 . . . . . . 7
4638, 45bitr3d 259 . . . . . 6
47 3reeanv 2959 . . . . . 6
4846, 47syl6bbr 267 . . . . 5
494adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14
50 simp2 1009 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5123ad2ant1 1029 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5250, 51eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . 15
53523adant3r3 1219 . . . . . . . . . . . . . 14
54 simp3 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5554, 51eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . . 15
56553adant3r3 1219 . . . . . . . . . . . . . 14
57 simpr3 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15
582adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15
5957, 58eleqtrd 2531 . . . . . . . . . . . . . 14
6025, 17ringass 17797 . . . . . . . . . . . . . 14
6149, 53, 56, 59, 60syl13anc 1270 . . . . . . . . . . . . 13
6261fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12
63 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13
6428caovclg 6461 . . . . . . . . . . . . . 14
65643adantr3 1169 . . . . . . . . . . . . 13
663, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 15441 . . . . . . . . . . . . 13
6763, 65, 57, 66syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12
68 simpr1 1014 . . . . . . . . . . . . 13
6928caovclg 6461 . . . . . . . . . . . . . 14
70693adantr1 1167 . . . . . . . . . . . . 13
713, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 15441 . . . . . . . . . . . . 13
7263, 68, 70, 71syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12
7362, 67, 723eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . 11
743, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 15441 . . . . . . . . . . . . 13
75743adant3r3 1219 . . . . . . . . . . . 12
7675oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11
773, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 15441 . . . . . . . . . . . . 13
78773adant3r1 1217 . . . . . . . . . . . 12
7978oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11
8073, 76, 793eqtr4d 2495 . . . . . . . . . 10
81 simp1 1008 . . . . . . . . . . . . 13
82 simp2 1009 . . . . . . . . . . . . 13
8381, 82oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12
84 simp3 1010 . . . . . . . . . . . 12
8583, 84oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11
8682, 84oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12
8781, 86oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11
8885, 87eqeq12d 2466 . . . . . . . . . 10
8980, 88syl5ibcom 224 . . . . . . . . 9
90893exp2 1227 . . . . . . . 8
9190imp32 435 . . . . . . 7
9291rexlimdv 2877 . . . . . 6
9392rexlimdvva 2886 . . . . 5
9448, 93sylbid 219 . . . 4
9594imp 431 . . 3
9625, 8, 17ringdi 17799 . . . . . . . . . . . . . 14
9749, 53, 56, 59, 96syl13anc 1270 . . . . . . . . . . . . 13
9897fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12
9925, 8ringacl 17808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10019, 22, 24, 99syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . . . . . 16
101100, 21eleqtrrd 2532 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101caovclg 6461 . . . . . . . . . . . . . 14
1031023adantr1 1167 . . . . . . . . . . . . 13
1043, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 15441 . . . . . . . . . . . . 13
10563, 68, 103, 104syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12
10628caovclg 6461 . . . . . . . . . . . . . 14
1071063adantr2 1168 . . . . . . . . . . . . 13
108 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . . 14
1093, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 15438 . . . . . . . . . . . . 13
11063, 65, 107, 109syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12
11198, 105, 1103eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . 11
1123, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 15438 . . . . . . . . . . . . 13
1131123adant3r1 1217 . . . . . . . . . . . 12
114113oveq2d 6306 . . . . . . . . . . 11
1153, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 15441 . . . . . . . . . . . . 13
1161153adant3r2 1218 . . . . . . . . . . . 12
11775, 116oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11
118111, 114, 1173eqtr4d 2495 . . . . . . . . . 10
11982, 84oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12
12081, 119oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11
12181, 84oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12
12283, 121oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11
123120, 122eqeq12d 2466 . . . . . . . . . 10
124118, 123syl5ibcom 224 . . . . . . . . 9
1251243exp2 1227 . . . . . . . 8
126125imp32 435 . . . . . . 7
127126rexlimdv 2877 . . . . . 6
128127rexlimdvva 2886 . . . . 5
12948, 128sylbid 219 . . . 4
130129imp 431 . . 3
13125, 8, 17ringdir 17800 . . . . . . . . . . . . . 14
13249, 53, 56, 59, 131syl13anc 1270 . . . . . . . . . . . . 13
133132fveq2d 5869 . . . . . . . . . . . 12
134101caovclg 6461 . . . . . . . . . . . . . 14
1351343adantr3 1169 . . . . . . . . . . . . 13
1363, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 15441 . . . . . . . . . . . . 13
13763, 135, 57, 136syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12
1383, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 15438 . . . . . . . . . . . . 13
13963, 107, 70, 138syl3anc 1268 . . . . . . . . . . . 12
140133, 137, 1393eqtr4d 2495 . . . . . . . . . . 11
1413, 10, 1, 2, 4, 8, 108imasaddval 15438 . . . . . . . . . . . . 13
1421413adant3r3 1219 . . . . . . . . . . . 12
143142oveq1d 6305 . . . . . . . . . . 11
144116, 78oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11
145140, 143, 1443eqtr4d 2495 . . . . . . . . . 10
14681, 82oveq12d 6308 . . . . . . . . . . . 12
147146, 84oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11
148121, 86oveq12d 6308 . . . . . . . . . . 11
149147, 148eqeq12d 2466 . . . . . . . . . 10
150145, 149syl5ibcom 224 . . . . . . . . 9
1511503exp2 1227 . . . . . . . 8
152151imp32 435 . . . . . . 7
153152rexlimdv 2877 . . . . . 6
154153rexlimdvva 2886 . . . . 5
15548, 154sylbid 219 . . . 4
156155imp 431 . . 3
157 fof 5793 . . . . 5
1583, 157syl 17 . . . 4
159 imasring.o . . . . . . 7
16025, 159ringidcl 17801 . . . . . 6
1614, 160syl 17 . . . . 5
162161, 2eleqtrrd 2532 . . . 4
163158, 162ffvelrnd 6023 . . 3
16440, 41syl 17 . . . . . 6
16535, 164bitr3d 259 . . . . 5
166 simpl 459 . . . . . . . . 9
167162adantr 467 . . . . . . . . 9
168 simpr 463 . . . . . . . . 9
1693, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 15441 . . . . . . . . 9
170166, 167, 168, 169syl3anc 1268 . . . . . . . 8
1714adantr 467 . . . . . . . . . 10
1722eleq2d 2514 . . . . . . . . . . 11
173172biimpa 487 . . . . . . . . . 10
17425, 17, 159ringlidm 17804 . . . . . . . . . 10
175171, 173, 174syl2anc 667 . . . . . . . . 9
176175fveq2d 5869 . . . . . . . 8
177170, 176eqtrd 2485 . . . . . . 7
178 oveq2 6298 . . . . . . . 8
179 id 22 . . . . . . . 8
180178, 179eqeq12d 2466 . . . . . . 7
181177, 180syl5ibcom 224 . . . . . 6
182181rexlimdva 2879 . . . . 5
183165, 182sylbid 219 . . . 4
184183imp 431 . . 3
1853, 16, 1, 2, 4, 17, 18imasmulval 15441 . . . . . . . . 9
186167, 185mpd3an3 1365 . . . . . . . 8
18725, 17, 159ringridm 17805 . . . . . . . . . 10
188171, 173, 187syl2anc 667 . . . . . . . . 9
189188fveq2d 5869 . . . . . . . 8
190186, 189eqtrd 2485 . . . . . . 7
191 oveq1 6297 . . . . . . . 8
192191, 179eqeq12d 2466 . . . . . . 7
193190, 192syl5ibcom 224 . . . . . 6
194193rexlimdva 2879 . . . . 5
195165, 194sylbid 219 . . . 4
196195imp 431 . . 3
1975, 6, 7, 15, 32, 95, 130, 156, 163, 184, 196isringd 17815 . 2
198163, 5eleqtrd 2531 . . . 4
1995eleq2d 2514 . . . . . 6
200183, 195jcad 536 . . . . . 6
201199, 200sylbird 239 . . . . 5
202201ralrimiv 2800 . . . 4
203 eqid 2451 . . . . . 6
204 eqid 2451 . . . . . 6
205203, 18, 204isringid 17806 . . . . 5
206197, 205syl 17 . . . 4
207198, 202, 206mpbi2and 932 . . 3
208207eqcomd 2457 . 2
209197, 208jca 535 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   w3a 985   wceq 1444   wcel 1887  wral 2737  wrex 2738   cxp 4832   crn 4835   wfn 5577  wf 5578  wfo 5580  cfv 5582  (class class class)co 6290  cbs 15121   cplusg 15190  cmulr 15191  c0g 15338   s cimas 15402  cgrp 16669  cur 17735  crg 17780 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-0g 15340  df-imas 15407  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-mgp 17724  df-ur 17736  df-ring 17782 This theorem is referenced by:  qusring2  17848
 Copyright terms: Public domain W3C validator