MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasplusg Structured version   Unicode version

Theorem imasplusg 14474
Description: The group operation in an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasbas.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasbas.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasbas.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasplusg.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
imasplusg.a  |-  .+b  =  ( +g  `  U )
Assertion
Ref Expression
imasplusg  |-  ( ph  -> 
.+b  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.+  q ) )
>. } )
Distinct variable groups:    q, p, F    R, p, q    ph, p, q    V, p, q
Allowed substitution hints:    B( q, p)    .+ ( q, p)    .+b ( q, p)    U( q, p)    Z( q, p)

Proof of Theorem imasplusg
Dummy variables  g  h  i  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasbas.v . . 3  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasplusg.p . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  R )
4 eqid 2443 . . 3  |-  ( .r
`  R )  =  ( .r `  R
)
5 eqid 2443 . . 3  |-  (Scalar `  R )  =  (Scalar `  R )
6 eqid 2443 . . 3  |-  ( Base `  (Scalar `  R )
)  =  ( Base `  (Scalar `  R )
)
7 eqid 2443 . . 3  |-  ( .s
`  R )  =  ( .s `  R
)
8 eqid 2443 . . 3  |-  ( .i
`  R )  =  ( .i `  R
)
9 eqid 2443 . . 3  |-  ( TopOpen `  R )  =  (
TopOpen `  R )
10 eqid 2443 . . 3  |-  ( dist `  R )  =  (
dist `  R )
11 eqid 2443 . . 3  |-  ( le
`  R )  =  ( le `  R
)
12 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. }  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. } )
13 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p ( .r
`  R ) q ) ) >. }  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p ( .r
`  R ) q ) ) >. } )
14 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ q  e.  V  ( p  e.  ( Base `  (Scalar `  R
) ) ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p ( .s `  R
) q ) ) )  =  U_ q  e.  V  ( p  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) ) ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p ( .s
`  R ) q ) ) ) )
15 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( p
( .i `  R
) q ) >. }  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( p ( .i `  R ) q )
>. } )
16 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( TopOpen `  R
) qTop  F )  =  ( ( TopOpen `  R ) qTop  F ) )
17 imasbas.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
18 imasbas.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
19 eqid 2443 . . . 4  |-  ( dist `  U )  =  (
dist `  U )
201, 2, 17, 18, 10, 19imasds 14470 . . 3  |-  ( ph  ->  ( dist `  U
)  =  ( x  e.  B ,  y  e.  B  |->  sup ( U_ n  e.  NN  ran  ( g  e.  {
h  e.  ( ( V  X.  V )  ^m  ( 1 ... n ) )  |  ( ( F `  ( 1st `  ( h `
 1 ) ) )  =  x  /\  ( F `  ( 2nd `  ( h `  n
) ) )  =  y  /\  A. i  e.  ( 1 ... (
n  -  1 ) ) ( F `  ( 2nd `  ( h `
 i ) ) )  =  ( F `
 ( 1st `  (
h `  ( i  +  1 ) ) ) ) ) } 
|->  ( RR*s  gsumg  ( (
dist `  R )  o.  g ) ) ) ,  RR* ,  `'  <  ) ) )
21 eqidd 2444 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
)  =  ( ( F  o.  ( le
`  R ) )  o.  `' F ) )
221, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20, 21, 17, 18imasval 14468 . 2  |-  ( ph  ->  U  =  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.+  q ) )
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p ( .r
`  R ) q ) ) >. } >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  (Scalar `  R ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  U_ q  e.  V  ( p  e.  ( Base `  (Scalar `  R
) ) ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p ( .s `  R
) q ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( p
( .i `  R
) q ) >. } >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  ( ( TopOpen
`  R ) qTop  F
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  U
) >. } ) )
23 eqid 2443 . . 3  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.+  q ) )
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p ( .r
`  R ) q ) ) >. } >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  (Scalar `  R ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  U_ q  e.  V  ( p  e.  ( Base `  (Scalar `  R
) ) ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p ( .s `  R
) q ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( p
( .i `  R
) q ) >. } >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  ( ( TopOpen
`  R ) qTop  F
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  U
) >. } )  =  ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p ( .r `  R
) q ) )
>. } >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  R ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  U_ q  e.  V  ( p  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) ) ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p ( .s
`  R ) q ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( p ( .i `  R ) q )
>. } >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  ( ( TopOpen
`  R ) qTop  F
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  U
) >. } )
2423imasvalstr 14409 . 2  |-  ( ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.+  q ) )
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p ( .r
`  R ) q ) ) >. } >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  (Scalar `  R ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  U_ q  e.  V  ( p  e.  ( Base `  (Scalar `  R
) ) ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p ( .s `  R
) q ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( p
( .i `  R
) q ) >. } >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  ( ( TopOpen
`  R ) qTop  F
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  U
) >. } ) Struct  <. 1 , ; 1 2 >.
25 plusgid 14292 . 2  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
26 snsstp2 4044 . . . 4  |-  { <. ( +g  `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. } >. } 
C_  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p ( .r `  R
) q ) )
>. } >. }
27 ssun1 3538 . . . 4  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p ( .r `  R
) q ) )
>. } >. }  C_  ( { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.+  q ) )
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p ( .r
`  R ) q ) ) >. } >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  (Scalar `  R ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  U_ q  e.  V  ( p  e.  ( Base `  (Scalar `  R
) ) ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p ( .s `  R
) q ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( p
( .i `  R
) q ) >. } >. } )
2826, 27sstri 3384 . . 3  |-  { <. ( +g  `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. } >. } 
C_  ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p ( .r `  R
) q ) )
>. } >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  R ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  U_ q  e.  V  ( p  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) ) ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p ( .s
`  R ) q ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( p ( .i `  R ) q )
>. } >. } )
29 ssun1 3538 . . 3  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.+  q ) )
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p ( .r
`  R ) q ) ) >. } >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  (Scalar `  R ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  U_ q  e.  V  ( p  e.  ( Base `  (Scalar `  R
) ) ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p ( .s `  R
) q ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( p
( .i `  R
) q ) >. } >. } )  C_  ( ( { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. } >. , 
<. ( .r `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p ( .r `  R
) q ) )
>. } >. }  u.  { <. (Scalar `  ndx ) ,  (Scalar `  R ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  U_ q  e.  V  ( p  e.  ( Base `  (Scalar `  R ) ) ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p ( .s
`  R ) q ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( p ( .i `  R ) q )
>. } >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  ( ( TopOpen
`  R ) qTop  F
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  U
) >. } )
3028, 29sstri 3384 . 2  |-  { <. ( +g  `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. } >. } 
C_  ( ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.+  q ) )
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p ( .r
`  R ) q ) ) >. } >. }  u.  { <. (Scalar ` 
ndx ) ,  (Scalar `  R ) >. ,  <. ( .s `  ndx ) ,  U_ q  e.  V  ( p  e.  ( Base `  (Scalar `  R
) ) ,  x  e.  { ( F `  q ) }  |->  ( F `  ( p ( .s `  R
) q ) ) ) >. ,  <. ( .i `  ndx ) , 
U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( p
( .i `  R
) q ) >. } >. } )  u. 
{ <. (TopSet `  ndx ) ,  ( ( TopOpen
`  R ) qTop  F
) >. ,  <. ( le `  ndx ) ,  ( ( F  o.  ( le `  R ) )  o.  `' F
) >. ,  <. ( dist `  ndx ) ,  ( dist `  U
) >. } )
31 fvex 5720 . . . 4  |-  ( Base `  R )  e.  _V
322, 31syl6eqel 2531 . . 3  |-  ( ph  ->  V  e.  _V )
33 snex 4552 . . . . . 6  |-  { <. <.
( F `  p
) ,  ( F `
 q ) >. ,  ( F `  ( p  .+  q ) ) >. }  e.  _V
3433rgenw 2802 . . . . 5  |-  A. q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.+  q ) )
>. }  e.  _V
35 iunexg 6572 . . . . 5  |-  ( ( V  e.  _V  /\  A. q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. }  e.  _V )  ->  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.+  q ) )
>. }  e.  _V )
3632, 34, 35sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. }  e.  _V )
3736ralrimivw 2819 . . 3  |-  ( ph  ->  A. p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. }  e.  _V )
38 iunexg 6572 . . 3  |-  ( ( V  e.  _V  /\  A. p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. }  e.  _V )  ->  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.+  q ) )
>. }  e.  _V )
3932, 37, 38syl2anc 661 . 2  |-  ( ph  ->  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q )
>. ,  ( F `  ( p  .+  q
) ) >. }  e.  _V )
40 imasplusg.a . 2  |-  .+b  =  ( +g  `  U )
4122, 24, 25, 30, 39, 40strfv3 14228 1  |-  ( ph  -> 
.+b  =  U_ p  e.  V  U_ q  e.  V  { <. <. ( F `  p ) ,  ( F `  q ) >. ,  ( F `  ( p 
.+  q ) )
>. } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2734   _Vcvv 2991    u. cun 3345   {csn 3896   {ctp 3900   <.cop 3902   U_ciun 4190   `'ccnv 4858    o. ccom 4863   -onto->wfo 5435   ` cfv 5437  (class class class)co 6110    e. cmpt2 6112   1c1 9302   2c2 10390  ;cdc 10774   ndxcnx 14190   Basecbs 14193   +g cplusg 14257   .rcmulr 14258  Scalarcsca 14260   .scvsca 14261   .icip 14262  TopSetcts 14263   lecple 14264   distcds 14266   TopOpenctopn 14379   qTop cqtop 14460    "s cimas 14461
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4422  ax-sep 4432  ax-nul 4440  ax-pow 4489  ax-pr 4550  ax-un 6391  ax-cnex 9357  ax-resscn 9358  ax-1cn 9359  ax-icn 9360  ax-addcl 9361  ax-addrcl 9362  ax-mulcl 9363  ax-mulrcl 9364  ax-mulcom 9365  ax-addass 9366  ax-mulass 9367  ax-distr 9368  ax-i2m1 9369  ax-1ne0 9370  ax-1rid 9371  ax-rnegex 9372  ax-rrecex 9373  ax-cnre 9374  ax-pre-lttri 9375  ax-pre-lttrn 9376  ax-pre-ltadd 9377  ax-pre-mulgt0 9378
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2739  df-rex 2740  df-reu 2741  df-rab 2743  df-v 2993  df-sbc 3206  df-csb 3308  df-dif 3350  df-un 3352  df-in 3354  df-ss 3361  df-pss 3363  df-nul 3657  df-if 3811  df-pw 3881  df-sn 3897  df-pr 3899  df-tp 3901  df-op 3903  df-uni 4111  df-int 4148  df-iun 4192  df-br 4312  df-opab 4370  df-mpt 4371  df-tr 4405  df-eprel 4651  df-id 4655  df-po 4660  df-so 4661  df-fr 4698  df-we 4700  df-ord 4741  df-on 4742  df-lim 4743  df-suc 4744  df-xp 4865  df-rel 4866  df-cnv 4867  df-co 4868  df-dm 4869  df-rn 4870  df-res 4871  df-ima 4872  df-iota 5400  df-fun 5439  df-fn 5440  df-f 5441  df-f1 5442  df-fo 5443  df-f1o 5444  df-fv 5445  df-riota 6071  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-om 6496  df-1st 6596  df-2nd 6597  df-recs 6851  df-rdg 6885  df-1o 6939  df-oadd 6943  df-er 7120  df-en 7330  df-dom 7331  df-sdom 7332  df-fin 7333  df-sup 7710  df-pnf 9439  df-mnf 9440  df-xr 9441  df-ltxr 9442  df-le 9443  df-sub 9616  df-neg 9617  df-nn 10342  df-2 10399  df-3 10400  df-4 10401  df-5 10402  df-6 10403  df-7 10404  df-8 10405  df-9 10406  df-10 10407  df-n0 10599  df-z 10666  df-dec 10775  df-uz 10881  df-fz 11457  df-struct 14195  df-ndx 14196  df-slot 14197  df-base 14198  df-plusg 14270  df-mulr 14271  df-sca 14273  df-vsca 14274  df-ip 14275  df-tset 14276  df-ple 14277  df-ds 14279  df-imas 14465
This theorem is referenced by:  imasmulr  14475  imassca  14476  imasvsca  14477  imasip  14478  imastset  14479  imasle  14480  imasaddfn  14488  imasaddval  14489  imasaddf  14490  divsaddval  14510  divsaddf  14511
  Copyright terms: Public domain W3C validator