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Theorem imasnopn 20705
Description: If a relation graph is open, then an image set of a singleton is also open. Corollary of proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
imasnopn.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
imasnopn  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( R " { A }
)  e.  K )

Proof of Theorem imasnopn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1761 . . . 4  |-  F/ y ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X ) )
2 nfcv 2592 . . . 4  |-  F/_ y
( R " { A } )
3 nfrab1 2971 . . . 4  |-  F/_ y { y  e.  U. K  |  <. A , 
y >.  e.  R }
4 txtop 20584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  tX  K
)  e.  Top )
54adantr 467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( J  tX  K )  e. 
Top )
6 simprl 764 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  R  e.  ( J  tX  K
) )
7 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
87eltopss 19937 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  Top  /\  R  e.  ( J  tX  K ) )  ->  R  C_  U. ( J 
tX  K ) )
95, 6, 8syl2anc 667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  R  C_ 
U. ( J  tX  K ) )
10 imasnopn.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  = 
U. J
11 eqid 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. K  =  U. K
1210, 11txuni 20607 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( X  X.  U. K )  =  U. ( J  tX  K ) )
1312adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( X  X.  U. K )  =  U. ( J 
tX  K ) )
149, 13sseqtr4d 3469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  R  C_  ( X  X.  U. K ) )
15 imass1 5203 . . . . . . . . . 10  |-  ( R 
C_  ( X  X.  U. K )  ->  ( R " { A }
)  C_  ( ( X  X.  U. K )
" { A }
) )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( R " { A }
)  C_  ( ( X  X.  U. K )
" { A }
) )
17 xpimasn 5282 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  X  ->  (
( X  X.  U. K ) " { A } )  =  U. K )
1817ad2antll 735 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
( X  X.  U. K ) " { A } )  =  U. K )
1916, 18sseqtrd 3468 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( R " { A }
)  C_  U. K )
2019sseld 3431 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  ->  y  e.  U. K ) )
2120pm4.71rd 641 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  <->  ( y  e. 
U. K  /\  y  e.  ( R " { A } ) ) ) )
22 vex 3048 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
23 elimasng 5194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  R ) )
2422, 23mpan2 677 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  <->  <. A ,  y
>.  e.  R ) )
2524ad2antll 735 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  <->  <. A ,  y
>.  e.  R ) )
2625anbi2d 710 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
( y  e.  U. K  /\  y  e.  ( R " { A } ) )  <->  ( y  e.  U. K  /\  <. A ,  y >.  e.  R
) ) )
2721, 26bitrd 257 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  <->  ( y  e. 
U. K  /\  <. A ,  y >.  e.  R
) ) )
28 rabid 2967 . . . . 5  |-  ( y  e.  { y  e. 
U. K  |  <. A ,  y >.  e.  R } 
<->  ( y  e.  U. K  /\  <. A ,  y
>.  e.  R ) )
2927, 28syl6bbr 267 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  <->  y  e.  {
y  e.  U. K  |  <. A ,  y
>.  e.  R } ) )
301, 2, 3, 29eqrd 3450 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( R " { A }
)  =  { y  e.  U. K  |  <. A ,  y >.  e.  R } )
31 eqid 2451 . . . 4  |-  ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y >. )  =  ( y  e. 
U. K  |->  <. A , 
y >. )
3231mptpreima 5328 . . 3  |-  ( `' ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y
>. ) " R )  =  { y  e. 
U. K  |  <. A ,  y >.  e.  R }
3330, 32syl6eqr 2503 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( R " { A }
)  =  ( `' ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y
>. ) " R ) )
3411toptopon 19948 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3534biimpi 198 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3635ad2antlr 733 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3710toptopon 19948 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3837biimpi 198 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3938ad2antrr 732 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
40 simprr 766 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  A  e.  X )
4136, 39, 40cnmptc 20677 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  U. K  |->  A )  e.  ( K  Cn  J ) )
4236cnmptid 20676 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  U. K  |->  y )  e.  ( K  Cn  K ) )
4336, 41, 42cnmpt1t 20680 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  U. K  |-> 
<. A ,  y >.
)  e.  ( K  Cn  ( J  tX  K ) ) )
44 cnima 20281 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y
>. )  e.  ( K  Cn  ( J  tX  K ) )  /\  R  e.  ( J  tX  K ) )  -> 
( `' ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y >. )
" R )  e.  K )
4543, 6, 44syl2anc 667 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( `' ( y  e. 
U. K  |->  <. A , 
y >. ) " R
)  e.  K )
4633, 45eqeltrd 2529 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( R " { A }
)  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   {crab 2741   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   {csn 3968   <.cop 3974   U.cuni 4198    |-> cmpt 4461    X. cxp 4832   `'ccnv 4833   "cima 4837   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Topctop 19917  TopOnctopon 19918    Cn ccn 20240    tX ctx 20575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-map 7474  df-topgen 15342  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-tx 20577
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