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Theorem imasnopn 19275
Description: If a relation graph is open, then an image set of a singleton is also open. Corollary of proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
imasnopn.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
imasnopn  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( R " { A }
)  e.  K )

Proof of Theorem imasnopn
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1673 . . . 4  |-  F/ y ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X ) )
2 nfcv 2589 . . . 4  |-  F/_ y
( R " { A } )
3 nfrab1 2913 . . . 4  |-  F/_ y { y  e.  U. K  |  <. A , 
y >.  e.  R }
4 txtop 19154 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  tX  K
)  e.  Top )
54adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( J  tX  K )  e. 
Top )
6 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  R  e.  ( J  tX  K
) )
7 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
87eltopss 18532 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  Top  /\  R  e.  ( J  tX  K ) )  ->  R  C_  U. ( J 
tX  K ) )
95, 6, 8syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  R  C_ 
U. ( J  tX  K ) )
10 imasnopn.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  = 
U. J
11 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. K  =  U. K
1210, 11txuni 19177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( X  X.  U. K )  =  U. ( J  tX  K ) )
1312adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( X  X.  U. K )  =  U. ( J 
tX  K ) )
149, 13sseqtr4d 3405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  R  C_  ( X  X.  U. K ) )
15 imass1 5215 . . . . . . . . . 10  |-  ( R 
C_  ( X  X.  U. K )  ->  ( R " { A }
)  C_  ( ( X  X.  U. K )
" { A }
) )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( R " { A }
)  C_  ( ( X  X.  U. K )
" { A }
) )
17 xpimasn 5295 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  X  ->  (
( X  X.  U. K ) " { A } )  =  U. K )
1817ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
( X  X.  U. K ) " { A } )  =  U. K )
1916, 18sseqtrd 3404 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( R " { A }
)  C_  U. K )
2019sseld 3367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  ->  y  e.  U. K ) )
2120pm4.71rd 635 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  <->  ( y  e. 
U. K  /\  y  e.  ( R " { A } ) ) ) )
22 vex 2987 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
23 elimasng 5207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  R ) )
2422, 23mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  <->  <. A ,  y
>.  e.  R ) )
2524ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  <->  <. A ,  y
>.  e.  R ) )
2625anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
( y  e.  U. K  /\  y  e.  ( R " { A } ) )  <->  ( y  e.  U. K  /\  <. A ,  y >.  e.  R
) ) )
2721, 26bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  <->  ( y  e. 
U. K  /\  <. A ,  y >.  e.  R
) ) )
28 rabid 2909 . . . . 5  |-  ( y  e.  { y  e. 
U. K  |  <. A ,  y >.  e.  R } 
<->  ( y  e.  U. K  /\  <. A ,  y
>.  e.  R ) )
2927, 28syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  <->  y  e.  {
y  e.  U. K  |  <. A ,  y
>.  e.  R } ) )
301, 2, 3, 29eqrd 3386 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( R " { A }
)  =  { y  e.  U. K  |  <. A ,  y >.  e.  R } )
31 eqid 2443 . . . 4  |-  ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y >. )  =  ( y  e. 
U. K  |->  <. A , 
y >. )
3231mptpreima 5343 . . 3  |-  ( `' ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y
>. ) " R )  =  { y  e. 
U. K  |  <. A ,  y >.  e.  R }
3330, 32syl6eqr 2493 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( R " { A }
)  =  ( `' ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y
>. ) " R ) )
3411toptopon 18550 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3534biimpi 194 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3635ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3710toptopon 18550 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3837biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3938ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
40 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  A  e.  X )
4136, 39, 40cnmptc 19247 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  U. K  |->  A )  e.  ( K  Cn  J ) )
4236cnmptid 19246 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  U. K  |->  y )  e.  ( K  Cn  K ) )
4336, 41, 42cnmpt1t 19250 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  (
y  e.  U. K  |-> 
<. A ,  y >.
)  e.  ( K  Cn  ( J  tX  K ) ) )
44 cnima 18881 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y
>. )  e.  ( K  Cn  ( J  tX  K ) )  /\  R  e.  ( J  tX  K ) )  -> 
( `' ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y >. )
" R )  e.  K )
4543, 6, 44syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( `' ( y  e. 
U. K  |->  <. A , 
y >. ) " R
)  e.  K )
4633, 45eqeltrd 2517 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( J  tX  K )  /\  A  e.  X
) )  ->  ( R " { A }
)  e.  K )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2731   _Vcvv 2984    C_ wss 3340   {csn 3889   <.cop 3895   U.cuni 4103    e. cmpt 4362    X. cxp 4850   `'ccnv 4851   "cima 4855   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Topctop 18510  TopOnctopon 18511    Cn ccn 18840    tX ctx 19145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-map 7228  df-topgen 14394  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-tx 19147
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