Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasncls Structured version   Unicode version

Theorem imasncls 20319
 Description: If a relation graph is closed, then an image set of a singleton is also closed. Corollary of proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
imasnopn.1
imasnopn.2
Assertion
Ref Expression
imasncls

Proof of Theorem imasncls
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasnopn.2 . . . . . . 7
21toptopon 19561 . . . . . 6 TopOn
32biimpi 194 . . . . 5 TopOn
43ad2antlr 726 . . . 4 TopOn
5 imasnopn.1 . . . . . . . 8
65toptopon 19561 . . . . . . 7 TopOn
76biimpi 194 . . . . . 6 TopOn
87ad2antrr 725 . . . . 5 TopOn
9 simprr 757 . . . . 5
104, 8, 9cnmptc 20289 . . . 4
114cnmptid 20288 . . . 4
124, 10, 11cnmpt1t 20292 . . 3
13 simprl 756 . . . 4
145, 1txuni 20219 . . . . 5
1514adantr 465 . . . 4
1613, 15sseqtrd 3535 . . 3
17 eqid 2457 . . . 4
1817cncls2i 19898 . . 3
1912, 16, 18syl2anc 661 . 2
20 nfv 1708 . . . . 5
21 nfcv 2619 . . . . 5
22 nfrab1 3038 . . . . 5
23 imass1 5381 . . . . . . . . . . 11
2413, 23syl 16 . . . . . . . . . 10
25 xpimasn 5459 . . . . . . . . . . 11
2625ad2antll 728 . . . . . . . . . 10
2724, 26sseqtrd 3535 . . . . . . . . 9
2827sseld 3498 . . . . . . . 8
2928pm4.71rd 635 . . . . . . 7
30 vex 3112 . . . . . . . . . 10
31 elimasng 5373 . . . . . . . . . 10
3230, 31mpan2 671 . . . . . . . . 9
3332ad2antll 728 . . . . . . . 8
3433anbi2d 703 . . . . . . 7
3529, 34bitrd 253 . . . . . 6
36 rabid 3034 . . . . . 6
3735, 36syl6bbr 263 . . . . 5
3820, 21, 22, 37eqrd 3517 . . . 4
39 eqid 2457 . . . . 5
4039mptpreima 5506 . . . 4
4138, 40syl6eqr 2516 . . 3
4241fveq2d 5876 . 2
43 nfcv 2619 . . . 4
44 nfrab1 3038 . . . 4
45 txtop 20196 . . . . . . . . . . . . 13
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . 12
4717clsss3 19687 . . . . . . . . . . . 12
4846, 16, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11
4948, 15sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . 10
50 imass1 5381 . . . . . . . . . 10
5149, 50syl 16 . . . . . . . . 9
5251, 26sseqtrd 3535 . . . . . . . 8
5352sseld 3498 . . . . . . 7
5453pm4.71rd 635 . . . . . 6
55 elimasng 5373 . . . . . . . . 9
5630, 55mpan2 671 . . . . . . . 8
5756ad2antll 728 . . . . . . 7
5857anbi2d 703 . . . . . 6
5954, 58bitrd 253 . . . . 5
60 rabid 3034 . . . . 5
6159, 60syl6bbr 263 . . . 4
6220, 43, 44, 61eqrd 3517 . . 3
6339mptpreima 5506 . . 3
6462, 63syl6eqr 2516 . 2
6519, 42, 643sstr4d 3542 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  crab 2811  cvv 3109   wss 3471  csn 4032  cop 4038  cuni 4251   cmpt 4515   cxp 5006  ccnv 5007  cima 5011  cfv 5594  (class class class)co 6296  ctop 19521  TopOnctopon 19522  ccl 19646   ccn 19852   ctx 20187 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-map 7440  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-cls 19649  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-tx 20189 This theorem is referenced by:  utopreg  20881
 Copyright terms: Public domain W3C validator