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Theorem imasncls 19264
Description: If a relation graph is closed, then an image set of a singleton is also closed. Corollary of proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
imasnopn.1  |-  X  = 
U. J
imasnopn.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
imasncls  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( cls `  K ) `  ( R " { A } ) )  C_  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } ) )

Proof of Theorem imasncls
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasnopn.2 . . . . . . 7  |-  Y  = 
U. K
21toptopon 18537 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
32biimpi 194 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
43ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
5 imasnopn.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
65toptopon 18537 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
76biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
87ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
104, 8, 9cnmptc 19234 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  J ) )
114cnmptid 19233 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  y )  e.  ( K  Cn  K ) )
124, 10, 11cnmpt1t 19237 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  <. A , 
y >. )  e.  ( K  Cn  ( J 
tX  K ) ) )
13 simprl 755 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  R  C_  ( X  X.  Y ) )
145, 1txuni 19164 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( J  tX  K ) )
1514adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( J  tX  K ) )
1613, 15sseqtrd 3391 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  R  C_  U. ( J  tX  K ) )
17 eqid 2442 . . . 4  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
1817cncls2i 18873 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  Y  |-> 
<. A ,  y >.
)  e.  ( K  Cn  ( J  tX  K ) )  /\  R  C_  U. ( J 
tX  K ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  ( `' ( y  e.  Y  |->  <. A ,  y
>. ) " R ) )  C_  ( `' ( y  e.  Y  |-> 
<. A ,  y >.
) " ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) ) )
1912, 16, 18syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( cls `  K ) `  ( `' ( y  e.  Y  |->  <. A ,  y
>. ) " R ) )  C_  ( `' ( y  e.  Y  |-> 
<. A ,  y >.
) " ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) ) )
20 nfv 1673 . . . . 5  |-  F/ y ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X ) )
21 nfcv 2578 . . . . 5  |-  F/_ y
( R " { A } )
22 nfrab1 2900 . . . . 5  |-  F/_ y { y  e.  Y  |  <. A ,  y
>.  e.  R }
23 imass1 5202 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R 
C_  ( X  X.  Y )  ->  ( R " { A }
)  C_  ( ( X  X.  Y ) " { A } ) )
2413, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } ) 
C_  ( ( X  X.  Y ) " { A } ) )
25 xpimasn 5282 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  X  ->  (
( X  X.  Y
) " { A } )  =  Y )
2625ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( X  X.  Y ) " { A } )  =  Y )
2724, 26sseqtrd 3391 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } ) 
C_  Y )
2827sseld 3354 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  ->  y  e.  Y ) )
2928pm4.71rd 635 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  ( y  e.  Y  /\  y  e.  ( R " { A } ) ) ) )
30 vex 2974 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
31 elimasng 5194 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  R ) )
3230, 31mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  <->  <. A ,  y
>.  e.  R ) )
3332ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  R ) )
3433anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
y  e.  Y  /\  y  e.  ( R " { A } ) )  <->  ( y  e.  Y  /\  <. A , 
y >.  e.  R ) ) )
3529, 34bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  ( y  e.  Y  /\  <. A , 
y >.  e.  R ) ) )
36 rabid 2896 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { y  e.  Y  |  <. A , 
y >.  e.  R }  <->  ( y  e.  Y  /\  <. A ,  y >.  e.  R ) )
3735, 36syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  y  e.  { y  e.  Y  |  <. A ,  y >.  e.  R } ) )
3820, 21, 22, 37eqrd 3373 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } )  =  { y  e.  Y  |  <. A , 
y >.  e.  R }
)
39 eqid 2442 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  <. A , 
y >. )  =  ( y  e.  Y  |->  <. A ,  y >. )
4039mptpreima 5330 . . . 4  |-  ( `' ( y  e.  Y  |-> 
<. A ,  y >.
) " R )  =  { y  e.  Y  |  <. A , 
y >.  e.  R }
4138, 40syl6eqr 2492 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } )  =  ( `' ( y  e.  Y  |->  <. A ,  y >. )
" R ) )
4241fveq2d 5694 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( cls `  K ) `  ( R " { A } ) )  =  ( ( cls `  K
) `  ( `' ( y  e.  Y  |-> 
<. A ,  y >.
) " R ) ) )
43 nfcv 2578 . . . 4  |-  F/_ y
( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } )
44 nfrab1 2900 . . . 4  |-  F/_ y { y  e.  Y  |  <. A ,  y
>.  e.  ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) }
45 txtop 19141 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  tX  K
)  e.  Top )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  Top )
4717clsss3 18662 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  Top  /\  R  C_  U. ( J 
tX  K ) )  ->  ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
)  C_  U. ( J  tX  K ) )
4846, 16, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( cls `  ( J  tX  K ) ) `  R )  C_  U. ( J  tX  K ) )
4948, 15sseqtr4d 3392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( cls `  ( J  tX  K ) ) `  R )  C_  ( X  X.  Y ) )
50 imass1 5202 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R )  C_  ( X  X.  Y
)  ->  ( (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  C_  ( ( X  X.  Y ) " { A } ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  C_  ( ( X  X.  Y ) " { A } ) )
5251, 26sseqtrd 3391 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  C_  Y )
5352sseld 3354 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } )  ->  y  e.  Y ) )
5453pm4.71rd 635 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } )  <->  ( y  e.  Y  /\  y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } ) ) ) )
55 elimasng 5194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) ) )
5630, 55mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  (
y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) ) )
5756ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) ) )
5857anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
y  e.  Y  /\  y  e.  ( (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } ) )  <-> 
( y  e.  Y  /\  <. A ,  y
>.  e.  ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) ) ) )
5954, 58bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } )  <->  ( y  e.  Y  /\  <. A , 
y >.  e.  ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) ) ) )
60 rabid 2896 . . . . 5  |-  ( y  e.  { y  e.  Y  |  <. A , 
y >.  e.  ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) }  <-> 
( y  e.  Y  /\  <. A ,  y
>.  e.  ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) ) )
6159, 60syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } )  <->  y  e.  { y  e.  Y  |  <. A ,  y >.  e.  ( ( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) } ) )
6220, 43, 44, 61eqrd 3373 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  =  { y  e.  Y  |  <. A ,  y
>.  e.  ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) } )
6339mptpreima 5330 . . 3  |-  ( `' ( y  e.  Y  |-> 
<. A ,  y >.
) " ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) )  =  { y  e.  Y  |  <. A , 
y >.  e.  ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) }
6462, 63syl6eqr 2492 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  =  ( `' ( y  e.  Y  |->  <. A , 
y >. ) " (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) ) )
6519, 42, 643sstr4d 3398 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( cls `  K ) `  ( R " { A } ) )  C_  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2718   _Vcvv 2971    C_ wss 3327   {csn 3876   <.cop 3882   U.cuni 4090    e. cmpt 4349    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   "cima 4842   ` cfv 5417  (class class class)co 6090   Topctop 18497  TopOnctopon 18498   clsccl 18621    Cn ccn 18827    tX ctx 19132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-map 7215  df-topgen 14381  df-top 18502  df-bases 18504  df-topon 18505  df-cld 18622  df-cls 18624  df-cn 18830  df-cnp 18831  df-tx 19134
This theorem is referenced by:  utopreg  19826
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