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Theorem imasncls 20319
Description: If a relation graph is closed, then an image set of a singleton is also closed. Corollary of proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
imasnopn.1  |-  X  = 
U. J
imasnopn.2  |-  Y  = 
U. K
Assertion
Ref Expression
imasncls  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( cls `  K ) `  ( R " { A } ) )  C_  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } ) )

Proof of Theorem imasncls
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasnopn.2 . . . . . . 7  |-  Y  = 
U. K
21toptopon 19561 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
32biimpi 194 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  Y )
)
43ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  K  e.  (TopOn `  Y ) )
5 imasnopn.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
65toptopon 19561 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
76biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
87ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
9 simprr 757 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
104, 8, 9cnmptc 20289 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  A )  e.  ( K  Cn  J ) )
114cnmptid 20288 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  y )  e.  ( K  Cn  K ) )
124, 10, 11cnmpt1t 20292 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  Y  |->  <. A , 
y >. )  e.  ( K  Cn  ( J 
tX  K ) ) )
13 simprl 756 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  R  C_  ( X  X.  Y ) )
145, 1txuni 20219 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( X  X.  Y
)  =  U. ( J  tX  K ) )
1514adantr 465 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( X  X.  Y )  =  U. ( J  tX  K ) )
1613, 15sseqtrd 3535 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  R  C_  U. ( J  tX  K ) )
17 eqid 2457 . . . 4  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
1817cncls2i 19898 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  Y  |-> 
<. A ,  y >.
)  e.  ( K  Cn  ( J  tX  K ) )  /\  R  C_  U. ( J 
tX  K ) )  ->  ( ( cls `  K ) `  ( `' ( y  e.  Y  |->  <. A ,  y
>. ) " R ) )  C_  ( `' ( y  e.  Y  |-> 
<. A ,  y >.
) " ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) ) )
1912, 16, 18syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( cls `  K ) `  ( `' ( y  e.  Y  |->  <. A ,  y
>. ) " R ) )  C_  ( `' ( y  e.  Y  |-> 
<. A ,  y >.
) " ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) ) )
20 nfv 1708 . . . . 5  |-  F/ y ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X ) )
21 nfcv 2619 . . . . 5  |-  F/_ y
( R " { A } )
22 nfrab1 3038 . . . . 5  |-  F/_ y { y  e.  Y  |  <. A ,  y
>.  e.  R }
23 imass1 5381 . . . . . . . . . . 11  |-  ( R 
C_  ( X  X.  Y )  ->  ( R " { A }
)  C_  ( ( X  X.  Y ) " { A } ) )
2413, 23syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } ) 
C_  ( ( X  X.  Y ) " { A } ) )
25 xpimasn 5459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  X  ->  (
( X  X.  Y
) " { A } )  =  Y )
2625ad2antll 728 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( X  X.  Y ) " { A } )  =  Y )
2724, 26sseqtrd 3535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } ) 
C_  Y )
2827sseld 3498 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  ->  y  e.  Y ) )
2928pm4.71rd 635 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  ( y  e.  Y  /\  y  e.  ( R " { A } ) ) ) )
30 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
31 elimasng 5373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  R ) )
3230, 31mpan2 671 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  X  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  <->  <. A ,  y
>.  e.  R ) )
3332ad2antll 728 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  R ) )
3433anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
y  e.  Y  /\  y  e.  ( R " { A } ) )  <->  ( y  e.  Y  /\  <. A , 
y >.  e.  R ) ) )
3529, 34bitrd 253 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  ( y  e.  Y  /\  <. A , 
y >.  e.  R ) ) )
36 rabid 3034 . . . . . 6  |-  ( y  e.  { y  e.  Y  |  <. A , 
y >.  e.  R }  <->  ( y  e.  Y  /\  <. A ,  y >.  e.  R ) )
3735, 36syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  y  e.  { y  e.  Y  |  <. A ,  y >.  e.  R } ) )
3820, 21, 22, 37eqrd 3517 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } )  =  { y  e.  Y  |  <. A , 
y >.  e.  R }
)
39 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( y  e.  Y  |->  <. A , 
y >. )  =  ( y  e.  Y  |->  <. A ,  y >. )
4039mptpreima 5506 . . . 4  |-  ( `' ( y  e.  Y  |-> 
<. A ,  y >.
) " R )  =  { y  e.  Y  |  <. A , 
y >.  e.  R }
4138, 40syl6eqr 2516 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } )  =  ( `' ( y  e.  Y  |->  <. A ,  y >. )
" R ) )
4241fveq2d 5876 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( cls `  K ) `  ( R " { A } ) )  =  ( ( cls `  K
) `  ( `' ( y  e.  Y  |-> 
<. A ,  y >.
) " R ) ) )
43 nfcv 2619 . . . 4  |-  F/_ y
( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } )
44 nfrab1 3038 . . . 4  |-  F/_ y { y  e.  Y  |  <. A ,  y
>.  e.  ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) }
45 txtop 20196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( J  tX  K
)  e.  Top )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( J  tX  K )  e.  Top )
4717clsss3 19687 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  tX  K
)  e.  Top  /\  R  C_  U. ( J 
tX  K ) )  ->  ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
)  C_  U. ( J  tX  K ) )
4846, 16, 47syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( cls `  ( J  tX  K ) ) `  R )  C_  U. ( J  tX  K ) )
4948, 15sseqtr4d 3536 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( cls `  ( J  tX  K ) ) `  R )  C_  ( X  X.  Y ) )
50 imass1 5381 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R )  C_  ( X  X.  Y
)  ->  ( (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  C_  ( ( X  X.  Y ) " { A } ) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  C_  ( ( X  X.  Y ) " { A } ) )
5251, 26sseqtrd 3535 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  C_  Y )
5352sseld 3498 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } )  ->  y  e.  Y ) )
5453pm4.71rd 635 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } )  <->  ( y  e.  Y  /\  y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } ) ) ) )
55 elimasng 5373 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) ) )
5630, 55mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  (
y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) ) )
5756ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) ) )
5857anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
y  e.  Y  /\  y  e.  ( (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } ) )  <-> 
( y  e.  Y  /\  <. A ,  y
>.  e.  ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) ) ) )
5954, 58bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } )  <->  ( y  e.  Y  /\  <. A , 
y >.  e.  ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) ) ) )
60 rabid 3034 . . . . 5  |-  ( y  e.  { y  e.  Y  |  <. A , 
y >.  e.  ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) }  <-> 
( y  e.  Y  /\  <. A ,  y
>.  e.  ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) ) )
6159, 60syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } )  <->  y  e.  { y  e.  Y  |  <. A ,  y >.  e.  ( ( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) } ) )
6220, 43, 44, 61eqrd 3517 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  =  { y  e.  Y  |  <. A ,  y
>.  e.  ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) } )
6339mptpreima 5506 . . 3  |-  ( `' ( y  e.  Y  |-> 
<. A ,  y >.
) " ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) )  =  { y  e.  Y  |  <. A , 
y >.  e.  ( ( cls `  ( J 
tX  K ) ) `
 R ) }
6462, 63syl6eqr 2516 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) " { A } )  =  ( `' ( y  e.  Y  |->  <. A , 
y >. ) " (
( cls `  ( J  tX  K ) ) `
 R ) ) )
6519, 42, 643sstr4d 3542 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  C_  ( X  X.  Y )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( cls `  K ) `  ( R " { A } ) )  C_  ( ( ( cls `  ( J  tX  K
) ) `  R
) " { A } ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   {csn 4032   <.cop 4038   U.cuni 4251    |-> cmpt 4515    X. cxp 5006   `'ccnv 5007   "cima 5011   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Topctop 19521  TopOnctopon 19522   clsccl 19646    Cn ccn 19852    tX ctx 20187
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-map 7440  df-topgen 14861  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-cld 19647  df-cls 19649  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-tx 20189
This theorem is referenced by:  utopreg  20881
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