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Theorem imasncld 19276
Description: If a relation graph is closed, then an image set of a singleton is also closed. Corollary of proposition 4 of [BourbakiTop1] p. I.26. (Contributed by Thierry Arnoux, 14-Jan-2018.)
Hypothesis
Ref Expression
imasnopn.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
imasncld  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } )  e.  ( Clsd `  K
) )

Proof of Theorem imasncld
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfv 1673 . . . 4  |-  F/ y ( ( J  e. 
Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K
) )  /\  A  e.  X ) )
2 nfcv 2589 . . . 4  |-  F/_ y
( R " { A } )
3 nfrab1 2913 . . . 4  |-  F/_ y { y  e.  U. K  |  <. A , 
y >.  e.  R }
4 simprl 755 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  R  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K ) ) )
5 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. ( J  tX  K )  = 
U. ( J  tX  K )
65cldss 18645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( R  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K ) )  ->  R  C_  U. ( J  tX  K ) )
74, 6syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  R  C_  U. ( J  tX  K ) )
8 imasnopn.1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  X  = 
U. J
9 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. K  =  U. K
108, 9txuni 19177 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  ->  ( X  X.  U. K )  =  U. ( J  tX  K ) )
1110adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( X  X.  U. K )  = 
U. ( J  tX  K ) )
127, 11sseqtr4d 3405 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  R  C_  ( X  X.  U. K ) )
13 imass1 5215 . . . . . . . . . 10  |-  ( R 
C_  ( X  X.  U. K )  ->  ( R " { A }
)  C_  ( ( X  X.  U. K )
" { A }
) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } ) 
C_  ( ( X  X.  U. K )
" { A }
) )
15 xpimasn 5295 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  X  ->  (
( X  X.  U. K ) " { A } )  =  U. K )
1615ad2antll 728 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( ( X  X.  U. K )
" { A }
)  =  U. K
)
1714, 16sseqtrd 3404 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } ) 
C_  U. K )
1817sseld 3367 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  ->  y  e.  U. K ) )
1918pm4.71rd 635 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  ( y  e.  U. K  /\  y  e.  ( R " { A } ) ) ) )
20 vex 2987 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
21 elimasng 5207 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  X  /\  y  e.  _V )  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  R ) )
2220, 21mpan2 671 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  X  ->  (
y  e.  ( R
" { A }
)  <->  <. A ,  y
>.  e.  R ) )
2322ad2antll 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  <. A , 
y >.  e.  R ) )
2423anbi2d 703 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( (
y  e.  U. K  /\  y  e.  ( R " { A }
) )  <->  ( y  e.  U. K  /\  <. A ,  y >.  e.  R
) ) )
2519, 24bitrd 253 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  ( y  e.  U. K  /\  <. A ,  y >.  e.  R
) ) )
26 rabid 2909 . . . . 5  |-  ( y  e.  { y  e. 
U. K  |  <. A ,  y >.  e.  R } 
<->  ( y  e.  U. K  /\  <. A ,  y
>.  e.  R ) )
2725, 26syl6bbr 263 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  ( R " { A } )  <->  y  e.  { y  e.  U. K  |  <. A ,  y
>.  e.  R } ) )
281, 2, 3, 27eqrd 3386 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } )  =  { y  e. 
U. K  |  <. A ,  y >.  e.  R } )
29 eqid 2443 . . . 4  |-  ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y >. )  =  ( y  e. 
U. K  |->  <. A , 
y >. )
3029mptpreima 5343 . . 3  |-  ( `' ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y
>. ) " R )  =  { y  e. 
U. K  |  <. A ,  y >.  e.  R }
3128, 30syl6eqr 2493 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } )  =  ( `' ( y  e.  U. K  |-> 
<. A ,  y >.
) " R ) )
329toptopon 18550 . . . . . 6  |-  ( K  e.  Top  <->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3332biimpi 194 . . . . 5  |-  ( K  e.  Top  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
3433ad2antlr 726 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  K  e.  (TopOn `  U. K ) )
358toptopon 18550 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  X ) )
3635biimpi 194 . . . . . 6  |-  ( J  e.  Top  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
3736ad2antrr 725 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  J  e.  (TopOn `  X ) )
38 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  A  e.  X )
3934, 37, 38cnmptc 19247 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  U. K  |->  A )  e.  ( K  Cn  J ) )
4034cnmptid 19246 . . . 4  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  U. K  |->  y )  e.  ( K  Cn  K ) )
4134, 39, 40cnmpt1t 19250 . . 3  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( y  e.  U. K  |->  <. A , 
y >. )  e.  ( K  Cn  ( J 
tX  K ) ) )
42 cnclima 18884 . . 3  |-  ( ( ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y
>. )  e.  ( K  Cn  ( J  tX  K ) )  /\  R  e.  ( Clsd `  ( J  tX  K
) ) )  -> 
( `' ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y >. )
" R )  e.  ( Clsd `  K
) )
4341, 4, 42syl2anc 661 . 2  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( `' ( y  e.  U. K  |->  <. A ,  y
>. ) " R )  e.  ( Clsd `  K
) )
4431, 43eqeltrd 2517 1  |-  ( ( ( J  e.  Top  /\  K  e.  Top )  /\  ( R  e.  (
Clsd `  ( J  tX  K ) )  /\  A  e.  X )
)  ->  ( R " { A } )  e.  ( Clsd `  K
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2731   _Vcvv 2984    C_ wss 3340   {csn 3889   <.cop 3895   U.cuni 4103    e. cmpt 4362    X. cxp 4850   `'ccnv 4851   "cima 4855   ` cfv 5430  (class class class)co 6103   Topctop 18510  TopOnctopon 18511   Clsdccld 18632    Cn ccn 18840    tX ctx 19145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4425  ax-nul 4433  ax-pow 4482  ax-pr 4543  ax-un 6384
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2620  df-ral 2732  df-rex 2733  df-rab 2736  df-v 2986  df-sbc 3199  df-csb 3301  df-dif 3343  df-un 3345  df-in 3347  df-ss 3354  df-nul 3650  df-if 3804  df-pw 3874  df-sn 3890  df-pr 3892  df-op 3896  df-uni 4104  df-iun 4185  df-br 4305  df-opab 4363  df-mpt 4364  df-id 4648  df-xp 4858  df-rel 4859  df-cnv 4860  df-co 4861  df-dm 4862  df-rn 4863  df-res 4864  df-ima 4865  df-iota 5393  df-fun 5432  df-fn 5433  df-f 5434  df-f1 5435  df-fo 5436  df-f1o 5437  df-fv 5438  df-ov 6106  df-oprab 6107  df-mpt2 6108  df-1st 6589  df-2nd 6590  df-map 7228  df-topgen 14394  df-top 18515  df-bases 18517  df-topon 18518  df-cld 18635  df-cn 18843  df-cnp 18844  df-tx 19147
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