Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasmulr Structured version   Unicode version

Theorem imasmulr 15375
 Description: The ring multiplication in an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u s
imasbas.v
imasbas.f
imasbas.r
imasmulr.p
imasmulr.t
Assertion
Ref Expression
imasmulr
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem imasmulr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 s
2 imasbas.v . . 3
3 eqid 2429 . . 3
4 imasmulr.p . . 3
5 eqid 2429 . . 3 Scalar Scalar
6 eqid 2429 . . 3 Scalar Scalar
7 eqid 2429 . . 3
8 eqid 2429 . . 3
9 eqid 2429 . . 3
10 eqid 2429 . . 3
11 eqid 2429 . . 3
12 imasbas.f . . . 4
13 imasbas.r . . . 4
14 eqid 2429 . . . 4
151, 2, 12, 13, 3, 14imasplusg 15374 . . 3
16 eqidd 2430 . . 3
17 eqidd 2430 . . 3 Scalar Scalar
18 eqidd 2430 . . 3
19 eqidd 2430 . . 3 qTop qTop
20 eqid 2429 . . . 4
211, 2, 12, 13, 10, 20imasds 15370 . . 3 g
22 eqidd 2430 . . 3
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 12, 13imasval 15368 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
24 eqid 2429 . . 3 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
2524imasvalstr 15309 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop Struct ;
26 mulrid 15202 . 2 Slot
27 snsstp3 4156 . . . 4
28 ssun1 3635 . . . 4 Scalar Scalar Scalar
2927, 28sstri 3479 . . 3 Scalar Scalar Scalar
30 ssun1 3635 . . 3 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
3129, 30sstri 3479 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
32 fvex 5891 . . . 4
332, 32syl6eqel 2525 . . 3
34 snex 4663 . . . . . 6
3534rgenw 2793 . . . . 5
36 iunexg 6783 . . . . 5
3733, 35, 36sylancl 666 . . . 4
3837ralrimivw 2847 . . 3
39 iunexg 6783 . . 3
4033, 38, 39syl2anc 665 . 2
41 imasmulr.t . 2
4223, 25, 26, 31, 40, 41strfv3 15121 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1437   wcel 1870  wral 2782  cvv 3087   cun 3440  csn 4002  ctp 4006  cop 4008  ciun 4302  ccnv 4853   ccom 4858  wfo 5599  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307  c1 9539  c2 10659  ;cdc 11051  cnx 15081  cbs 15084   cplusg 15152  cmulr 15153  Scalarcsca 15155  cvsca 15156  cip 15157  TopSetcts 15158  cple 15159  cds 15161  ctopn 15279   qTop cqtop 15360   s cimas 15361 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-mulr 15166  df-sca 15168  df-vsca 15169  df-ip 15170  df-tset 15171  df-ple 15172  df-ds 15174  df-imas 15365 This theorem is referenced by:  imassca  15376  imasvsca  15377  imasip  15378  imastset  15379  imasle  15380  imasmulfn  15391  imasmulval  15392  imasmulf  15393  qusmulval  15412  qusmulf  15413
 Copyright terms: Public domain W3C validator