Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasmulr Structured version   Unicode version

Theorem imasmulr 14576
 Description: The ring multiplication in an image structure. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 11-Jul-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
imasbas.u s
imasbas.v
imasbas.f
imasbas.r
imasmulr.p
imasmulr.t
Assertion
Ref Expression
imasmulr
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)   (,)   (,)   (,)

Proof of Theorem imasmulr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasbas.u . . 3 s
2 imasbas.v . . 3
3 eqid 2454 . . 3
4 imasmulr.p . . 3
5 eqid 2454 . . 3 Scalar Scalar
6 eqid 2454 . . 3 Scalar Scalar
7 eqid 2454 . . 3
8 eqid 2454 . . 3
9 eqid 2454 . . 3
10 eqid 2454 . . 3
11 eqid 2454 . . 3
12 imasbas.f . . . 4
13 imasbas.r . . . 4
14 eqid 2454 . . . 4
151, 2, 12, 13, 3, 14imasplusg 14575 . . 3
16 eqidd 2455 . . 3
17 eqidd 2455 . . 3 Scalar Scalar
18 eqidd 2455 . . 3
19 eqidd 2455 . . 3 qTop qTop
20 eqid 2454 . . . 4
211, 2, 12, 13, 10, 20imasds 14571 . . 3 g
22 eqidd 2455 . . 3
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 22, 12, 13imasval 14569 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
24 eqid 2454 . . 3 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
2524imasvalstr 14510 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop Struct ;
26 mulrid 14404 . 2 Slot
27 snsstp3 4135 . . . 4
28 ssun1 3628 . . . 4 Scalar Scalar Scalar
2927, 28sstri 3474 . . 3 Scalar Scalar Scalar
30 ssun1 3628 . . 3 Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
3129, 30sstri 3474 . 2 Scalar Scalar Scalar TopSet qTop
32 fvex 5810 . . . 4
332, 32syl6eqel 2550 . . 3
34 snex 4642 . . . . . 6
3534rgenw 2901 . . . . 5
36 iunexg 6664 . . . . 5
3733, 35, 36sylancl 662 . . . 4
3837ralrimivw 2831 . . 3
39 iunexg 6664 . . 3
4033, 38, 39syl2anc 661 . 2
41 imasmulr.t . 2
4223, 25, 26, 31, 40, 41strfv3 14328 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1370   wcel 1758  wral 2799  cvv 3078   cun 3435  csn 3986  ctp 3990  cop 3992  ciun 4280  ccnv 4948   ccom 4953  wfo 5525  cfv 5527  (class class class)co 6201   cmpt2 6203  c1 9395  c2 10483  ;cdc 10867  cnx 14290  cbs 14293   cplusg 14358  cmulr 14359  Scalarcsca 14361  cvsca 14362  cip 14363  TopSetcts 14364  cple 14365  cds 14367  ctopn 14480   qTop cqtop 14561   s cimas 14562 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-sup 7803  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-10 10500  df-n0 10692  df-z 10759  df-dec 10868  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-plusg 14371  df-mulr 14372  df-sca 14374  df-vsca 14375  df-ip 14376  df-tset 14377  df-ple 14378  df-ds 14380  df-imas 14566 This theorem is referenced by:  imassca  14577  imasvsca  14578  imasip  14579  imastset  14580  imasle  14581  imasmulfn  14592  imasmulval  14593  imasmulf  14594  divsmulval  14613  divsmulf  14614
 Copyright terms: Public domain W3C validator