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Theorem imasmnd2 15771
Description: The image structure of a monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasmnd.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasmnd.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasmnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
imasmnd.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasmnd.e  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
imasmnd2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
imasmnd2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x  .+  y )  e.  V
)
imasmnd2.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
imasmnd2.3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
imasmnd2.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  x
) )
imasmnd2.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( x  .+  .0.  ) )  =  ( F `  x
) )
Assertion
Ref Expression
imasmnd2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Mnd  /\  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, x, y,  .+    a, b, p, q, x, y, z, ph    U, a, b, p, q, x, y, z    .0. , p, q, x    B, p, q    F, a, b, p, q, x, y, z    R, p, q    V, a, b, p, q, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, a, b)    .+ ( z,
a, b)    R( x, y, z, a, b)    W( x, y, z, q, p, a, b)    .0. ( y,
z, a, b)

Proof of Theorem imasmnd2
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasmnd.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasmnd.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasmnd.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasmnd2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
51, 2, 3, 4imasbas 14763 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
6 eqidd 2468 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
)  =  ( +g  `  U ) )
7 imasmnd.e . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
8 imasmnd.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
9 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
10 imasmnd2.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x  .+  y )  e.  V
)
11103expb 1197 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
1211caovclg 6449 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .+  q
)  e.  V )
133, 7, 1, 2, 4, 8, 9, 12imasaddf 14784 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
) : ( B  X.  B ) --> B )
14 fovrn 6427 . . . 4  |-  ( ( ( +g  `  U
) : ( B  X.  B ) --> B  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  U ) v )  e.  B
)
1513, 14syl3an1 1261 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  U ) v )  e.  B
)
16 forn 5796 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
173, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
1817eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <-> 
u  e.  B ) )
1917eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ran  F  <-> 
v  e.  B ) )
2017eleq2d 2537 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  F  <-> 
w  e.  B ) )
2118, 19, 203anbi123d 1299 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
22 fofn 5795 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
233, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
24 fvelrnb 5913 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
25 fvelrnb 5913 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
v  e.  ran  F  <->  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v ) )
26 fvelrnb 5913 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
w  e.  ran  F  <->  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
2724, 25, 263anbi123d 1299 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  (
( u  e.  ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
2823, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
2921, 28bitr3d 255 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
30 3reeanv 3030 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  (
( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
3129, 30syl6bbr 263 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `  x )  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w ) ) )
32 imasmnd2.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
33 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  ph )
34103adant3r3 1207 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
35 simpr3 1004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
363, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 14783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .+  y )  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( ( x  .+  y ) 
.+  z ) ) )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
) )
38 simpr1 1002 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
3912caovclg 6449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
40393adantr1 1155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
413, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 14783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( y  .+  z )  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) )  =  ( F `  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) ) )
4233, 38, 40, 41syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 ( y  .+  z ) ) )  =  ( F `  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) ) )
4332, 37, 423eqtr4d 2518 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 ( y  .+  z ) ) ) )
443, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 14783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  y
) )  =  ( F `  ( x 
.+  y ) ) )
45443adant3r3 1207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) )  =  ( F `  ( x  .+  y ) ) )
4645oveq1d 6297 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) ) )
473, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 14783 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  y )
( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( y 
.+  z ) ) )
48473adant3r1 1205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( y  .+  z
) ) )
4948oveq2d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) ) )
5043, 46, 493eqtr4d 2518 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) ) ) )
51 simp1 996 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  x )  =  u )
52 simp2 997 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  y )  =  v )
5351, 52oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  y ) )  =  ( u ( +g  `  U ) v ) )
54 simp3 998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  z )  =  w )
5553, 54oveq12d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U ) w ) )
5652, 54oveq12d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( v ( +g  `  U ) w ) )
5751, 56oveq12d 6300 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( ( F `
 y ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) ) )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) )
5855, 57eqeq12d 2489 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) ) )  <->  ( ( u ( +g  `  U
) v ) ( +g  `  U ) w )  =  ( u ( +g  `  U
) ( v ( +g  `  U ) w ) ) ) )
5950, 58syl5ibcom 220 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
60593exp2 1214 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  V  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) ) ) ) )
6160imp32 433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) ) )
6261rexlimdv 2953 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
6362rexlimdvva 2962 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
6431, 63sylbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
6564imp 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U ) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U ) w ) ) )
66 fof 5793 . . . . 5  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
673, 66syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
68 imasmnd2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
6967, 68ffvelrnd 6020 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  e.  B )
7023, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
7118, 70bitr3d 255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
72 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ph )
7368adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  .0.  e.  V )
74 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
753, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 14783 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  .0.  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  (  .0.  .+  x ) ) )
7672, 73, 74, 75syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  (  .0.  .+  x ) ) )
77 imasmnd2.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  x
) )
7876, 77eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
79 oveq2 6290 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u ) )
80 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  ( F `  x )  =  u )
8179, 80eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  x
)  <->  ( ( F `
 .0.  ) ( +g  `  U ) u )  =  u ) )
8278, 81syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  -> 
( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u ) )
8382rexlimdva 2955 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  ( ( F `
 .0.  ) ( +g  `  U ) u )  =  u ) )
8471, 83sylbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u ) )
8584imp 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u )
863, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 14783 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  .0.  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  .0.  ) )  =  ( F `  ( x 
.+  .0.  ) )
)
8773, 86mpd3an3 1325 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) )  =  ( F `  ( x 
.+  .0.  ) )
)
88 imasmnd2.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( x  .+  .0.  ) )  =  ( F `  x
) )
8987, 88eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) )  =  ( F `  x ) )
90 oveq1 6289 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) )  =  ( u ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) ) )
9190, 80eqeq12d 2489 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 .0.  ) )  =  ( F `  x )  <->  ( u
( +g  `  U ) ( F `  .0.  ) )  =  u ) )
9289, 91syl5ibcom 220 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  -> 
( u ( +g  `  U ) ( F `
 .0.  ) )  =  u ) )
9392rexlimdva 2955 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  ( u ( +g  `  U ) ( F `  .0.  ) )  =  u ) )
9471, 93sylbid 215 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( u ( +g  `  U ) ( F `
 .0.  ) )  =  u ) )
9594imp 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) )  =  u )
965, 6, 15, 65, 69, 85, 95ismndd 15757 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  Mnd )
975, 6, 69, 85, 95grpidd 15756 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) )
9896, 97jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Mnd  /\  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E.wrex 2815    X. cxp 4997   ran crn 5000    Fn wfn 5581   -->wf 5582   -onto->wfo 5584   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   0gc0g 14691    "s cimas 14755   Mndcmnd 15722
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-sup 7897  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10973  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-mulr 14565  df-sca 14567  df-vsca 14568  df-ip 14569  df-tset 14570  df-ple 14571  df-ds 14573  df-0g 14693  df-imas 14759  df-mnd 15728
This theorem is referenced by:  imasmnd  15772
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