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Theorem imasmnd2 14687
Description: The image structure of a monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasmnd.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasmnd.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasmnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
imasmnd.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasmnd.e  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
imasmnd2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
imasmnd2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x  .+  y )  e.  V
)
imasmnd2.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
imasmnd2.3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
imasmnd2.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  x
) )
imasmnd2.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( x  .+  .0.  ) )  =  ( F `  x
) )
Assertion
Ref Expression
imasmnd2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Mnd  /\  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, x, y,  .+    a, b, p, q, x, y, z, ph    U, a, b, p, q, x, y, z    .0. , p, q, x    B, p, q    F, a, b, p, q, x, y, z    R, p, q    V, a, b, p, q, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, a, b)    .+ ( z,
a, b)    R( x, y, z, a, b)    W( x, y, z, q, p, a, b)    .0. ( y,
z, a, b)

Proof of Theorem imasmnd2
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasmnd.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasmnd.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasmnd.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasmnd2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
51, 2, 3, 4imasbas 13693 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
6 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
)  =  ( +g  `  U ) )
7 imasmnd.e . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
8 imasmnd.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
9 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
10 imasmnd2.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x  .+  y )  e.  V
)
11103expb 1154 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
1211caovclg 6198 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .+  q
)  e.  V )
133, 7, 1, 2, 4, 8, 9, 12imasaddf 13713 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
) : ( B  X.  B ) --> B )
14 fovrn 6175 . . . 4  |-  ( ( ( +g  `  U
) : ( B  X.  B ) --> B  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  U ) v )  e.  B
)
1513, 14syl3an1 1217 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  U ) v )  e.  B
)
16 forn 5615 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
173, 16syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
1817eleq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <-> 
u  e.  B ) )
1917eleq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ran  F  <-> 
v  e.  B ) )
2017eleq2d 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  F  <-> 
w  e.  B ) )
2118, 19, 203anbi123d 1254 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
22 fofn 5614 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
233, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
24 fvelrnb 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
25 fvelrnb 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
v  e.  ran  F  <->  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v ) )
26 fvelrnb 5733 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
w  e.  ran  F  <->  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
2724, 25, 263anbi123d 1254 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  (
( u  e.  ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
2823, 27syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
2921, 28bitr3d 247 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
30 3reeanv 2836 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  (
( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
3129, 30syl6bbr 255 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `  x )  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w ) ) )
32 imasmnd2.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
33 simpl 444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  ph )
34103adant3r3 1164 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
35 simpr3 965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
363, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .+  y )  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( ( x  .+  y ) 
.+  z ) ) )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
) )
38 simpr1 963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
3912caovclg 6198 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
40393adantr1 1116 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
413, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( y  .+  z )  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) )  =  ( F `  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) ) )
4233, 38, 40, 41syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 ( y  .+  z ) ) )  =  ( F `  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) ) )
4332, 37, 423eqtr4d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 ( y  .+  z ) ) ) )
443, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  y
) )  =  ( F `  ( x 
.+  y ) ) )
45443adant3r3 1164 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) )  =  ( F `  ( x  .+  y ) ) )
4645oveq1d 6055 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) ) )
473, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  y )
( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( y 
.+  z ) ) )
48473adant3r1 1162 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( y  .+  z
) ) )
4948oveq2d 6056 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) ) )
5043, 46, 493eqtr4d 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) ) ) )
51 simp1 957 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  x )  =  u )
52 simp2 958 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  y )  =  v )
5351, 52oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  y ) )  =  ( u ( +g  `  U ) v ) )
54 simp3 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  z )  =  w )
5553, 54oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U ) w ) )
5652, 54oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( v ( +g  `  U ) w ) )
5751, 56oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( ( F `
 y ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) ) )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) )
5855, 57eqeq12d 2418 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) ) )  <->  ( ( u ( +g  `  U
) v ) ( +g  `  U ) w )  =  ( u ( +g  `  U
) ( v ( +g  `  U ) w ) ) ) )
5950, 58syl5ibcom 212 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
60593exp2 1171 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  V  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) ) ) ) )
6160imp32 423 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) ) )
6261rexlimdv 2789 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
6362rexlimdvva 2797 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
6431, 63sylbid 207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
6564imp 419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U ) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U ) w ) ) )
66 fof 5612 . . . . 5  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
673, 66syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
68 imasmnd2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
6967, 68ffvelrnd 5830 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  e.  B )
7023, 24syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
7118, 70bitr3d 247 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
72 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ph )
7368adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  .0.  e.  V )
74 simpr 448 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
753, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13712 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  .0.  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  (  .0.  .+  x ) ) )
7672, 73, 74, 75syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  (  .0.  .+  x ) ) )
77 imasmnd2.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  x
) )
7876, 77eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
79 oveq2 6048 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u ) )
80 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  ( F `  x )  =  u )
8179, 80eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  x
)  <->  ( ( F `
 .0.  ) ( +g  `  U ) u )  =  u ) )
8278, 81syl5ibcom 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  -> 
( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u ) )
8382rexlimdva 2790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  ( ( F `
 .0.  ) ( +g  `  U ) u )  =  u ) )
8471, 83sylbid 207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u ) )
8584imp 419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u )
863, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 13712 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  .0.  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  .0.  ) )  =  ( F `  ( x 
.+  .0.  ) )
)
8773, 86mpd3an3 1280 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) )  =  ( F `  ( x 
.+  .0.  ) )
)
88 imasmnd2.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( x  .+  .0.  ) )  =  ( F `  x
) )
8987, 88eqtrd 2436 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) )  =  ( F `  x ) )
90 oveq1 6047 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) )  =  ( u ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) ) )
9190, 80eqeq12d 2418 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 .0.  ) )  =  ( F `  x )  <->  ( u
( +g  `  U ) ( F `  .0.  ) )  =  u ) )
9289, 91syl5ibcom 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  -> 
( u ( +g  `  U ) ( F `
 .0.  ) )  =  u ) )
9392rexlimdva 2790 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  ( u ( +g  `  U ) ( F `  .0.  ) )  =  u ) )
9471, 93sylbid 207 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( u ( +g  `  U ) ( F `
 .0.  ) )  =  u ) )
9594imp 419 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) )  =  u )
965, 6, 15, 65, 69, 85, 95ismndd 14674 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  Mnd )
975, 6, 69, 85, 95grpidd 14673 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) )
9896, 97jca 519 1  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Mnd  /\  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   E.wrex 2667    X. cxp 4835   ran crn 4838    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -onto->wfo 5411   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   Basecbs 13424   +g cplusg 13484   0gc0g 13678    "s cimas 13685   Mndcmnd 14639
This theorem is referenced by:  imasmnd  14688
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-4 10016  df-5 10017  df-6 10018  df-7 10019  df-8 10020  df-9 10021  df-10 10022  df-n0 10178  df-z 10239  df-dec 10339  df-uz 10445  df-fz 11000  df-struct 13426  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-0g 13682  df-imas 13689  df-mnd 14645
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