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Theorem imasmnd2 16283
Description: The image structure of a monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasmnd.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasmnd.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasmnd.p  |-  .+  =  ( +g  `  R )
imasmnd.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasmnd.e  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
imasmnd2.r  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
imasmnd2.1  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x  .+  y )  e.  V
)
imasmnd2.2  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
imasmnd2.3  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
imasmnd2.4  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  x
) )
imasmnd2.5  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( x  .+  .0.  ) )  =  ( F `  x
) )
Assertion
Ref Expression
imasmnd2  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Mnd  /\  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) ) )
Distinct variable groups:    q, p, x, y,  .+    a, b, p, q, x, y, z, ph    U, a, b, p, q, x, y, z    .0. , p, q, x    B, p, q    F, a, b, p, q, x, y, z    R, p, q    V, a, b, p, q, x, y, z
Allowed substitution hints:    B( x, y, z, a, b)    .+ ( z,
a, b)    R( x, y, z, a, b)    W( x, y, z, q, p, a, b)    .0. ( y,
z, a, b)

Proof of Theorem imasmnd2
Dummy variables  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasmnd.u . . . 4  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
2 imasmnd.v . . . 4  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
3 imasmnd.f . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
4 imasmnd2.r . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  W )
51, 2, 3, 4imasbas 15128 . . 3  |-  ( ph  ->  B  =  ( Base `  U ) )
6 eqidd 2405 . . 3  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
)  =  ( +g  `  U ) )
7 imasmnd.e . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
p  e.  V  /\  q  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 p )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  q ) )  -> 
( F `  (
a  .+  b )
)  =  ( F `
 ( p  .+  q ) ) ) )
8 imasmnd.p . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  R )
9 eqid 2404 . . . . 5  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
10 imasmnd2.1 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( x  .+  y )  e.  V
)
11103expb 1200 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
1211caovclg 6450 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( p  e.  V  /\  q  e.  V ) )  -> 
( p  .+  q
)  e.  V )
133, 7, 1, 2, 4, 8, 9, 12imasaddf 15149 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( +g  `  U
) : ( B  X.  B ) --> B )
14 fovrn 6428 . . . 4  |-  ( ( ( +g  `  U
) : ( B  X.  B ) --> B  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  U ) v )  e.  B
)
1513, 14syl3an1 1265 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B  /\  v  e.  B
)  ->  ( u
( +g  `  U ) v )  e.  B
)
16 forn 5783 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : V -onto-> B  ->  ran  F  =  B )
173, 16syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ran  F  =  B )
1817eleq2d 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <-> 
u  e.  B ) )
1917eleq2d 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( v  e.  ran  F  <-> 
v  e.  B ) )
2017eleq2d 2474 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  ran  F  <-> 
w  e.  B ) )
2118, 19, 203anbi123d 1303 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) ) )
22 fofn 5782 . . . . . . . . 9  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
233, 22syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
24 fvelrnb 5898 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
25 fvelrnb 5898 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
v  e.  ran  F  <->  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v ) )
26 fvelrnb 5898 . . . . . . . . 9  |-  ( F  Fn  V  ->  (
w  e.  ran  F  <->  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
2724, 25, 263anbi123d 1303 . . . . . . . 8  |-  ( F  Fn  V  ->  (
( u  e.  ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
2823, 27syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( u  e. 
ran  F  /\  v  e.  ran  F  /\  w  e.  ran  F )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
2921, 28bitr3d 257 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) ) )
30 3reeanv 2978 . . . . . 6  |-  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  (
( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  <->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  /\  E. y  e.  V  ( F `  y )  =  v  /\  E. z  e.  V  ( F `  z )  =  w ) )
3129, 30syl6bbr 265 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  <->  E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `  x )  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w ) ) )
32 imasmnd2.2 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
)  =  ( F `
 ( x  .+  ( y  .+  z
) ) ) )
33 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  ph )
34103adant3r3 1210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( x  .+  y
)  e.  V )
35 simpr3 1007 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
z  e.  V )
363, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 15148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  .+  y )  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( ( x  .+  y ) 
.+  z ) ) )
3733, 34, 35, 36syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( F `  (
( x  .+  y
)  .+  z )
) )
38 simpr1 1005 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  ->  x  e.  V )
3912caovclg 6450 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
40393adantr1 1158 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( y  .+  z
)  e.  V )
413, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 15148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  ( y  .+  z )  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) )  =  ( F `  ( x 
.+  ( y  .+  z ) ) ) )
4233, 38, 40, 41syl3anc 1232 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 ( y  .+  z ) ) )  =  ( F `  ( x  .+  ( y 
.+  z ) ) ) )
4332, 37, 423eqtr4d 2455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 ( y  .+  z ) ) ) )
443, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 15148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  y  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  y
) )  =  ( F `  ( x 
.+  y ) ) )
45443adant3r3 1210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) )  =  ( F `  ( x  .+  y ) ) )
4645oveq1d 6295 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 ( x  .+  y ) ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) ) )
473, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 15148 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V
)  ->  ( ( F `  y )
( +g  `  U ) ( F `  z
) )  =  ( F `  ( y 
.+  z ) ) )
48473adant3r1 1208 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( F `  ( y  .+  z
) ) )
4948oveq2d 6296 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  (
y  .+  z )
) ) )
5043, 46, 493eqtr4d 2455 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) ) ) )
51 simp1 999 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  x )  =  u )
52 simp2 1000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  y )  =  v )
5351, 52oveq12d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  y ) )  =  ( u ( +g  `  U ) v ) )
54 simp3 1001 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  ( F `  z )  =  w )
5553, 54oveq12d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 y ) ) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( ( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U ) w ) )
5652, 54oveq12d 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  y
) ( +g  `  U
) ( F `  z ) )  =  ( v ( +g  `  U ) w ) )
5751, 56oveq12d 6298 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( ( F `
 y ) ( +g  `  U ) ( F `  z
) ) )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) )
5855, 57eqeq12d 2426 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  x
)  =  u  /\  ( F `  y )  =  v  /\  ( F `  z )  =  w )  ->  (
( ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( F `  y
) ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) )  =  ( ( F `
 x ) ( +g  `  U ) ( ( F `  y ) ( +g  `  U ) ( F `
 z ) ) )  <->  ( ( u ( +g  `  U
) v ) ( +g  `  U ) w )  =  ( u ( +g  `  U
) ( v ( +g  `  U ) w ) ) ) )
5950, 58syl5ibcom 222 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V  /\  z  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
60593exp2 1217 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( x  e.  V  ->  ( y  e.  V  ->  ( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) ) ) ) )
6160imp32 433 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( z  e.  V  ->  ( ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) ) )
6261rexlimdv 2896 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  V  /\  y  e.  V ) )  -> 
( E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
6362rexlimdvva 2905 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  E. y  e.  V  E. z  e.  V  ( ( F `
 x )  =  u  /\  ( F `
 y )  =  v  /\  ( F `
 z )  =  w )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
6431, 63sylbid 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B )  ->  (
( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U
) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U
) w ) ) ) )
6564imp 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( u  e.  B  /\  v  e.  B  /\  w  e.  B ) )  -> 
( ( u ( +g  `  U ) v ) ( +g  `  U ) w )  =  ( u ( +g  `  U ) ( v ( +g  `  U ) w ) ) )
66 fof 5780 . . . . 5  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F : V --> B )
673, 66syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  F : V --> B )
68 imasmnd2.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  .0.  e.  V )
6967, 68ffvelrnd 6012 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  e.  B )
7023, 24syl 17 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( u  e.  ran  F  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
7118, 70bitr3d 257 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  <->  E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u ) )
72 simpl 457 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ph )
7368adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  .0.  e.  V )
74 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  x  e.  V )
753, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 15148 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  .0.  e.  V  /\  x  e.  V
)  ->  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U ) ( F `  x
) )  =  ( F `  (  .0.  .+  x ) ) )
7672, 73, 74, 75syl3anc 1232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  (  .0.  .+  x ) ) )
77 imasmnd2.4 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  (  .0.  .+  x ) )  =  ( F `  x
) )
7876, 77eqtrd 2445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  x
) )
79 oveq2 6288 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u ) )
80 id 23 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  ( F `  x )  =  u )
8179, 80eqeq12d 2426 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) ( F `  x ) )  =  ( F `  x
)  <->  ( ( F `
 .0.  ) ( +g  `  U ) u )  =  u ) )
8278, 81syl5ibcom 222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  -> 
( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u ) )
8382rexlimdva 2898 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  ( ( F `
 .0.  ) ( +g  `  U ) u )  =  u ) )
8471, 83sylbid 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( ( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u ) )
8584imp 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
( F `  .0.  ) ( +g  `  U
) u )  =  u )
863, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 15148 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V  /\  .0.  e.  V
)  ->  ( ( F `  x )
( +g  `  U ) ( F `  .0.  ) )  =  ( F `  ( x 
.+  .0.  ) )
)
8773, 86mpd3an3 1329 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) )  =  ( F `  ( x 
.+  .0.  ) )
)
88 imasmnd2.5 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  ( F `  ( x  .+  .0.  ) )  =  ( F `  x
) )
8987, 88eqtrd 2445 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) )  =  ( F `  x ) )
90 oveq1 6287 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( F `  x
) ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) )  =  ( u ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) ) )
9190, 80eqeq12d 2426 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  x )  =  u  ->  (
( ( F `  x ) ( +g  `  U ) ( F `
 .0.  ) )  =  ( F `  x )  <->  ( u
( +g  `  U ) ( F `  .0.  ) )  =  u ) )
9289, 91syl5ibcom 222 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  x  e.  V )  ->  (
( F `  x
)  =  u  -> 
( u ( +g  `  U ) ( F `
 .0.  ) )  =  u ) )
9392rexlimdva 2898 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. x  e.  V  ( F `  x )  =  u  ->  ( u ( +g  `  U ) ( F `  .0.  ) )  =  u ) )
9471, 93sylbid 217 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( u  e.  B  ->  ( u ( +g  `  U ) ( F `
 .0.  ) )  =  u ) )
9594imp 429 . . 3  |-  ( (
ph  /\  u  e.  B )  ->  (
u ( +g  `  U
) ( F `  .0.  ) )  =  u )
965, 6, 15, 65, 69, 85, 95ismndd 16269 . 2  |-  ( ph  ->  U  e.  Mnd )
975, 6, 69, 85, 95grpidd 16221 . 2  |-  ( ph  ->  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) )
9896, 97jca 532 1  |-  ( ph  ->  ( U  e.  Mnd  /\  ( F `  .0.  )  =  ( 0g `  U ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   E.wrex 2757    X. cxp 4823   ran crn 4826    Fn wfn 5566   -->wf 5567   -onto->wfo 5569   ` cfv 5571  (class class class)co 6280   Basecbs 14843   +g cplusg 14911   0gc0g 15056    "s cimas 15120   Mndcmnd 16245
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-sup 7937  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-10 10645  df-n0 10839  df-z 10908  df-dec 11022  df-uz 11130  df-fz 11729  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-plusg 14924  df-mulr 14925  df-sca 14927  df-vsca 14928  df-ip 14929  df-tset 14930  df-ple 14931  df-ds 14933  df-0g 15058  df-imas 15124  df-mgm 16198  df-sgrp 16237  df-mnd 16247
This theorem is referenced by:  imasmnd  16284
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