Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  imasmnd2 Structured version   Unicode version

Theorem imasmnd2 16572
 Description: The image structure of a monoid is a monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasmnd.u s
imasmnd.v
imasmnd.p
imasmnd.f
imasmnd.e
imasmnd2.r
imasmnd2.1
imasmnd2.2
imasmnd2.3
imasmnd2.4
imasmnd2.5
Assertion
Ref Expression
imasmnd2
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,,,,   ,,,,,,,   ,,,   ,,   ,,,,,,,   ,,   ,,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)   (,,)   (,,,,)   (,,,,,,)   (,,,)

Proof of Theorem imasmnd2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imasmnd.u . . . 4 s
2 imasmnd.v . . . 4
3 imasmnd.f . . . 4
4 imasmnd2.r . . . 4
51, 2, 3, 4imasbas 15412 . . 3
6 eqidd 2423 . . 3
7 imasmnd.e . . . . 5
8 imasmnd.p . . . . 5
9 eqid 2422 . . . . 5
10 imasmnd2.1 . . . . . . 7
11103expb 1206 . . . . . 6
1211caovclg 6475 . . . . 5
133, 7, 1, 2, 4, 8, 9, 12imasaddf 15438 . . . 4
14 fovrn 6453 . . . 4
1513, 14syl3an1 1297 . . 3
16 forn 5813 . . . . . . . . . 10
173, 16syl 17 . . . . . . . . 9
1817eleq2d 2492 . . . . . . . 8
1917eleq2d 2492 . . . . . . . 8
2017eleq2d 2492 . . . . . . . 8
2118, 19, 203anbi123d 1335 . . . . . . 7
22 fofn 5812 . . . . . . . . 9
233, 22syl 17 . . . . . . . 8
24 fvelrnb 5928 . . . . . . . . 9
25 fvelrnb 5928 . . . . . . . . 9
26 fvelrnb 5928 . . . . . . . . 9
2724, 25, 263anbi123d 1335 . . . . . . . 8
2823, 27syl 17 . . . . . . 7
2921, 28bitr3d 258 . . . . . 6
30 3reeanv 2994 . . . . . 6
3129, 30syl6bbr 266 . . . . 5
32 imasmnd2.2 . . . . . . . . . . . 12
33 simpl 458 . . . . . . . . . . . . 13
34103adant3r3 1216 . . . . . . . . . . . . 13
35 simpr3 1013 . . . . . . . . . . . . 13
363, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 15437 . . . . . . . . . . . . 13
3733, 34, 35, 36syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12
38 simpr1 1011 . . . . . . . . . . . . 13
3912caovclg 6475 . . . . . . . . . . . . . 14
40393adantr1 1164 . . . . . . . . . . . . 13
413, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 15437 . . . . . . . . . . . . 13
4233, 38, 40, 41syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . 12
4332, 37, 423eqtr4d 2473 . . . . . . . . . . 11
443, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 15437 . . . . . . . . . . . . 13
45443adant3r3 1216 . . . . . . . . . . . 12
4645oveq1d 6320 . . . . . . . . . . 11
473, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 15437 . . . . . . . . . . . . 13
48473adant3r1 1214 . . . . . . . . . . . 12
4948oveq2d 6321 . . . . . . . . . . 11
5043, 46, 493eqtr4d 2473 . . . . . . . . . 10
51 simp1 1005 . . . . . . . . . . . . 13
52 simp2 1006 . . . . . . . . . . . . 13
5351, 52oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12
54 simp3 1007 . . . . . . . . . . . 12
5553, 54oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11
5652, 54oveq12d 6323 . . . . . . . . . . . 12
5751, 56oveq12d 6323 . . . . . . . . . . 11
5855, 57eqeq12d 2444 . . . . . . . . . 10
5950, 58syl5ibcom 223 . . . . . . . . 9
60593exp2 1223 . . . . . . . 8
6160imp32 434 . . . . . . 7
6261rexlimdv 2912 . . . . . 6
6362rexlimdvva 2921 . . . . 5
6431, 63sylbid 218 . . . 4
6564imp 430 . . 3
66 fof 5810 . . . . 5
673, 66syl 17 . . . 4
68 imasmnd2.3 . . . 4
6967, 68ffvelrnd 6038 . . 3
7023, 24syl 17 . . . . . 6
7118, 70bitr3d 258 . . . . 5
72 simpl 458 . . . . . . . . 9
7368adantr 466 . . . . . . . . 9
74 simpr 462 . . . . . . . . 9
753, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 15437 . . . . . . . . 9
7672, 73, 74, 75syl3anc 1264 . . . . . . . 8
77 imasmnd2.4 . . . . . . . 8
7876, 77eqtrd 2463 . . . . . . 7
79 oveq2 6313 . . . . . . . 8
80 id 22 . . . . . . . 8
8179, 80eqeq12d 2444 . . . . . . 7
8278, 81syl5ibcom 223 . . . . . 6
8382rexlimdva 2914 . . . . 5
8471, 83sylbid 218 . . . 4
8584imp 430 . . 3
863, 7, 1, 2, 4, 8, 9imasaddval 15437 . . . . . . . . 9
8773, 86mpd3an3 1361 . . . . . . . 8
88 imasmnd2.5 . . . . . . . 8
8987, 88eqtrd 2463 . . . . . . 7
90 oveq1 6312 . . . . . . . 8
9190, 80eqeq12d 2444 . . . . . . 7
9289, 91syl5ibcom 223 . . . . . 6
9392rexlimdva 2914 . . . . 5
9471, 93sylbid 218 . . . 4
9594imp 430 . . 3
965, 6, 15, 65, 69, 85, 95ismndd 16558 . 2
975, 6, 69, 85, 95grpidd 16510 . 2
9896, 97jca 534 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1872  wrex 2772   cxp 4851   crn 4854   wfn 5596  wf 5597  wfo 5599  cfv 5601  (class class class)co 6305  cbs 15120   cplusg 15189  c0g 15337   s cimas 15401  cmnd 16534 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-rep 4536  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pow 4602  ax-pr 4660  ax-un 6597  ax-cnex 9602  ax-resscn 9603  ax-1cn 9604  ax-icn 9605  ax-addcl 9606  ax-addrcl 9607  ax-mulcl 9608  ax-mulrcl 9609  ax-mulcom 9610  ax-addass 9611  ax-mulass 9612  ax-distr 9613  ax-i2m1 9614  ax-1ne0 9615  ax-1rid 9616  ax-rnegex 9617  ax-rrecex 9618  ax-cnre 9619  ax-pre-lttri 9620  ax-pre-lttrn 9621  ax-pre-ltadd 9622  ax-pre-mulgt0 9623 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-nel 2617  df-ral 2776  df-rex 2777  df-reu 2778  df-rmo 2779  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3912  df-pw 3983  df-sn 3999  df-pr 4001  df-tp 4003  df-op 4005  df-uni 4220  df-int 4256  df-iun 4301  df-br 4424  df-opab 4483  df-mpt 4484  df-tr 4519  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7039  df-recs 7101  df-rdg 7139  df-1o 7193  df-oadd 7197  df-er 7374  df-en 7581  df-dom 7582  df-sdom 7583  df-fin 7584  df-sup 7965  df-inf 7966  df-pnf 9684  df-mnf 9685  df-xr 9686  df-ltxr 9687  df-le 9688  df-sub 9869  df-neg 9870  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15122  df-ndx 15123  df-slot 15124  df-base 15125  df-plusg 15202  df-mulr 15203  df-sca 15205  df-vsca 15206  df-ip 15207  df-tset 15208  df-ple 15209  df-ds 15211  df-0g 15339  df-imas 15406  df-mgm 16487  df-sgrp 16526  df-mnd 16536 This theorem is referenced by:  imasmnd  16573
 Copyright terms: Public domain W3C validator