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Theorem imasleval 14813
Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasless.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasless.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasless.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasless.l  |-  .<_  =  ( le `  U )
imasleval.n  |-  N  =  ( le `  R
)
imasleval.e  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  -> 
( a N b  <-> 
c N d ) ) )
Assertion
Ref Expression
imasleval  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
)  <->  X N Y ) )
Distinct variable groups:    c, d,  .<_   
a, b, c, d, F    N, a, b, c, d    V, a, b, c, d    Y, d    ph, a,
b, c, d    X, c, d
Allowed substitution hints:    B( a, b, c, d)    R( a, b, c, d)    U( a, b, c, d)    .<_ ( a, b)    X( a, b)    Y( a, b, c)    Z( a, b, c, d)

Proof of Theorem imasleval
StepHypRef Expression
1 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( c  =  X  ->  ( F `  c )  =  ( F `  X ) )
21breq1d 4463 . . . . . 6  |-  ( c  =  X  ->  (
( F `  c
)  .<_  ( F `  d )  <->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 d ) ) )
3 breq1 4456 . . . . . 6  |-  ( c  =  X  ->  (
c N d  <->  X N
d ) )
42, 3bibi12d 321 . . . . 5  |-  ( c  =  X  ->  (
( ( F `  c )  .<_  ( F `
 d )  <->  c N
d )  <->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  d
)  <->  X N d ) ) )
54imbi2d 316 . . . 4  |-  ( c  =  X  ->  (
( ph  ->  ( ( F `  c ) 
.<_  ( F `  d
)  <->  c N d ) )  <->  ( ph  ->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `
 d )  <->  X N
d ) ) ) )
6 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( d  =  Y  ->  ( F `  d )  =  ( F `  Y ) )
76breq2d 4465 . . . . . 6  |-  ( d  =  Y  ->  (
( F `  X
)  .<_  ( F `  d )  <->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) ) )
8 breq2 4457 . . . . . 6  |-  ( d  =  Y  ->  ( X N d  <->  X N Y ) )
97, 8bibi12d 321 . . . . 5  |-  ( d  =  Y  ->  (
( ( F `  X )  .<_  ( F `
 d )  <->  X N
d )  <->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
)  <->  X N Y ) ) )
109imbi2d 316 . . . 4  |-  ( d  =  Y  ->  (
( ph  ->  ( ( F `  X ) 
.<_  ( F `  d
)  <->  X N d ) )  <->  ( ph  ->  ( ( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )  <->  X N Y ) ) ) )
11 imasless.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
12 fofn 5803 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
1311, 12syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
1413adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  F  Fn  V )
15 fndm 5686 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  V  ->  dom  F  =  V )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  dom  F  =  V )
1716rexeqdv 3070 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. a  e. 
dom  F ( a F ( F `  c )  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) )  <->  E. a  e.  V  ( a F ( F `  c )  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) ) ) )
18 fnbrfvb 5914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  V  /\  a  e.  V )  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  c )  <-> 
a F ( F `
 c ) ) )
1914, 18sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  <->  a F
( F `  c
) ) )
2019anbi1d 704 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) ) )
21 ancom 450 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a N b  /\  b F ( F `  d ) )  <->  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) )
22 vex 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  b  e. 
_V
23 fvex 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 d )  e. 
_V
2422, 23breldm 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b F ( F `  d )  ->  b  e.  dom  F )
2524adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b F ( F `
 d )  /\  a N b )  -> 
b  e.  dom  F
)
2625pm4.71ri 633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b F ( F `
 d )  /\  a N b )  <->  ( b  e.  dom  F  /\  (
b F ( F `
 d )  /\  a N b ) ) )
2721, 26bitri 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a N b  /\  b F ( F `  d ) )  <->  ( b  e.  dom  F  /\  (
b F ( F `
 d )  /\  a N b ) ) )
2827exbii 1644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b ( a N b  /\  b F ( F `  d
) )  <->  E. b
( b  e.  dom  F  /\  ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b ) ) )
29 vex 3121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  a  e. 
_V
3029, 23brco 5179 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a ( F  o.  N
) ( F `  d )  <->  E. b
( a N b  /\  b F ( F `  d ) ) )
31 df-rex 2823 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b  e.  dom  F
( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  E. b ( b  e.  dom  F  /\  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
3228, 30, 313bitr4i 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a ( F  o.  N
) ( F `  d )  <->  E. b  e.  dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) )
3314ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  ->  F  Fn  V )
34 fnbrfvb 5914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  V  /\  b  e.  V )  ->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  <-> 
b F ( F `
 d ) ) )
3533, 34sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  <-> 
b F ( F `
 d ) ) )
3635anbi1d 704 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( ( F `
 b )  =  ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
37 imasleval.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  -> 
( a N b  <-> 
c N d ) ) )
38373expa 1196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  ->  ( a N b  <->  c N
d ) ) )
3938an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  ->  ( a N b  <->  c N
d ) ) )
4039anassrs 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  b  e.  V )  ->  (
( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  ->  ( a N b  <->  c N
d ) ) )
4140impl 620 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  /\  a  e.  V )  /\  b  e.  V
)  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  ( F `
 b )  =  ( F `  d
) )  ->  (
a N b  <->  c N
d ) )
4241pm5.32da 641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  b  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( ( F `
 b )  =  ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4342an32s 802 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( ( F `
 b )  =  ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4436, 43bitr3d 255 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4544rexbidva 2975 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e.  V  ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  E. b  e.  V  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
46 r19.41v 3019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b  e.  V  ( ( F `  b
)  =  ( F `
 d )  /\  c N d )  <->  ( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) )
4745, 46syl6bb 261 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e.  V  ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4816rexeqdv 3070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. b  e. 
dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  E. b  e.  V  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e. 
dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  E. b  e.  V  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
50 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
d  e.  V )
51 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 d )  =  ( F `  d
)
52 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  d  ->  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
5352eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  d  ->  (
( F `  b
)  =  ( F `
 d )  <->  ( F `  d )  =  ( F `  d ) ) )
5453rspcev 3219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  V  /\  ( F `  d )  =  ( F `  d ) )  ->  E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
5550, 51, 54sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
5655biantrurd 508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( c N d  <-> 
( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
5756ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( c N d  <-> 
( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
5847, 49, 573bitr4d 285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e. 
dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  c N
d ) )
5932, 58syl5bb 257 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( a ( F  o.  N ) ( F `  d )  <-> 
c N d ) )
6059pm5.32da 641 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  c N
d ) ) )
6120, 60bitr3d 255 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  c N
d ) ) )
6261rexbidva 2975 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. a  e.  V  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) )  <->  E. a  e.  V  ( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
6317, 62bitrd 253 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. a  e. 
dom  F ( a F ( F `  c )  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) )  <->  E. a  e.  V  ( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
64 fvex 5882 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
6564, 29brcnv 5191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  c ) `' F a  <->  a F
( F `  c
) )
6665anbi1i 695 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  c
) `' F a  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) )
6729, 64breldm 5213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a F ( F `  c )  ->  a  e.  dom  F )
6867adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a F ( F `
 c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `
 d ) )  ->  a  e.  dom  F )
6968pm4.71ri 633 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a F ( F `
 c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `
 d ) )  <-> 
( a  e.  dom  F  /\  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) ) )
7066, 69bitri 249 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  c
) `' F a  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( a  e. 
dom  F  /\  (
a F ( F `
 c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `
 d ) ) ) )
7170exbii 1644 . . . . . . . 8  |-  ( E. a ( ( F `
 c ) `' F a  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) )  <->  E. a
( a  e.  dom  F  /\  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) ) )
7264, 23brco 5179 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `
 d )  <->  E. a
( ( F `  c ) `' F
a  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) )
73 df-rex 2823 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  dom  F
( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  E. a ( a  e.  dom  F  /\  ( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) ) ) )
7471, 72, 733bitr4ri 278 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  dom  F
( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `  d
) )
75 r19.41v 3019 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  V  ( ( F `  a
)  =  ( F `
 c )  /\  c N d )  <->  ( E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) )
7663, 74, 753bitr3g 287 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `  d
)  <->  ( E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
77 imasless.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
78 imasless.v . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
79 imasless.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
80 imasleval.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( le `  R
)
81 imasless.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  U )
8277, 78, 11, 79, 80, 81imasle 14795 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) )
8382adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  .<_  =  ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) )
8483breqd 4464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( F `  c )  .<_  ( F `
 d )  <->  ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `  d
) ) )
85 simprl 755 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
c  e.  V )
86 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 c )  =  ( F `  c
)
87 fveq2 5872 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  c  ->  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
8887eqeq1d 2469 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  c  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  <->  ( F `  c )  =  ( F `  c ) ) )
8988rspcev 3219 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  V  /\  ( F `  c )  =  ( F `  c ) )  ->  E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
9085, 86, 89sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
9190biantrurd 508 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( c N d  <-> 
( E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
9276, 84, 913bitr4d 285 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( F `  c )  .<_  ( F `
 d )  <->  c N
d ) )
9392expcom 435 . . . 4  |-  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( ph  ->  (
( F `  c
)  .<_  ( F `  d )  <->  c N
d ) ) )
945, 10, 93vtocl2ga 3184 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ph  ->  (
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )  <->  X N Y ) ) )
9594com12 31 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )  <->  X N Y ) ) )
96953impib 1194 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
)  <->  X N Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   E.wrex 2818   class class class wbr 4453   `'ccnv 5004   dom cdm 5005    o. ccom 5009    Fn wfn 5589   -onto->wfo 5592   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   lecple 14579    "s cimas 14776
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-10 10614  df-n0 10808  df-z 10877  df-dec 10989  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-mulr 14586  df-sca 14588  df-vsca 14589  df-ip 14590  df-tset 14591  df-ple 14592  df-ds 14594  df-imas 14780
This theorem is referenced by:  xpsle  14853
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