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Theorem imasleval 15459
Description: The value of the image structure's ordering when the order is compatible with the mapping function. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
imasless.u  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
imasless.v  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
imasless.f  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
imasless.r  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
imasless.l  |-  .<_  =  ( le `  U )
imasleval.n  |-  N  =  ( le `  R
)
imasleval.e  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  -> 
( a N b  <-> 
c N d ) ) )
Assertion
Ref Expression
imasleval  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
)  <->  X N Y ) )
Distinct variable groups:    c, d,  .<_   
a, b, c, d, F    N, a, b, c, d    V, a, b, c, d    Y, d    ph, a,
b, c, d    X, c, d
Allowed substitution hints:    B( a, b, c, d)    R( a, b, c, d)    U( a, b, c, d)    .<_ ( a, b)    X( a, b)    Y( a, b, c)    Z( a, b, c, d)

Proof of Theorem imasleval
StepHypRef Expression
1 fveq2 5870 . . . . . . 7  |-  ( c  =  X  ->  ( F `  c )  =  ( F `  X ) )
21breq1d 4415 . . . . . 6  |-  ( c  =  X  ->  (
( F `  c
)  .<_  ( F `  d )  <->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 d ) ) )
3 breq1 4408 . . . . . 6  |-  ( c  =  X  ->  (
c N d  <->  X N
d ) )
42, 3bibi12d 323 . . . . 5  |-  ( c  =  X  ->  (
( ( F `  c )  .<_  ( F `
 d )  <->  c N
d )  <->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  d
)  <->  X N d ) ) )
54imbi2d 318 . . . 4  |-  ( c  =  X  ->  (
( ph  ->  ( ( F `  c ) 
.<_  ( F `  d
)  <->  c N d ) )  <->  ( ph  ->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `
 d )  <->  X N
d ) ) ) )
6 fveq2 5870 . . . . . . 7  |-  ( d  =  Y  ->  ( F `  d )  =  ( F `  Y ) )
76breq2d 4417 . . . . . 6  |-  ( d  =  Y  ->  (
( F `  X
)  .<_  ( F `  d )  <->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) ) )
8 breq2 4409 . . . . . 6  |-  ( d  =  Y  ->  ( X N d  <->  X N Y ) )
97, 8bibi12d 323 . . . . 5  |-  ( d  =  Y  ->  (
( ( F `  X )  .<_  ( F `
 d )  <->  X N
d )  <->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
)  <->  X N Y ) ) )
109imbi2d 318 . . . 4  |-  ( d  =  Y  ->  (
( ph  ->  ( ( F `  X ) 
.<_  ( F `  d
)  <->  X N d ) )  <->  ( ph  ->  ( ( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )  <->  X N Y ) ) ) )
11 imasless.f . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : V -onto-> B
)
12 fofn 5800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F : V -onto-> B  ->  F  Fn  V )
1311, 12syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  F  Fn  V )
1413adantr 467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  F  Fn  V )
15 fndm 5680 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  Fn  V  ->  dom  F  =  V )
1614, 15syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  dom  F  =  V )
1716rexeqdv 2996 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. a  e. 
dom  F ( a F ( F `  c )  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) )  <->  E. a  e.  V  ( a F ( F `  c )  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) ) ) )
18 fnbrfvb 5910 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  Fn  V  /\  a  e.  V )  ->  ( ( F `  a )  =  ( F `  c )  <-> 
a F ( F `
 c ) ) )
1914, 18sylan 474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  <->  a F
( F `  c
) ) )
2019anbi1d 712 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) ) )
21 ancom 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( a N b  /\  b F ( F `  d ) )  <->  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) )
22 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  b  e. 
_V
23 fvex 5880 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( F `
 d )  e. 
_V
2422, 23breldm 5042 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b F ( F `  d )  ->  b  e.  dom  F )
2524adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( b F ( F `
 d )  /\  a N b )  -> 
b  e.  dom  F
)
2625pm4.71ri 639 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( b F ( F `
 d )  /\  a N b )  <->  ( b  e.  dom  F  /\  (
b F ( F `
 d )  /\  a N b ) ) )
2721, 26bitri 253 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( a N b  /\  b F ( F `  d ) )  <->  ( b  e.  dom  F  /\  (
b F ( F `
 d )  /\  a N b ) ) )
2827exbii 1720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b ( a N b  /\  b F ( F `  d
) )  <->  E. b
( b  e.  dom  F  /\  ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b ) ) )
29 vex 3050 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  a  e. 
_V
3029, 23brco 5008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a ( F  o.  N
) ( F `  d )  <->  E. b
( a N b  /\  b F ( F `  d ) ) )
31 df-rex 2745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( E. b  e.  dom  F
( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  E. b ( b  e.  dom  F  /\  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
3228, 30, 313bitr4i 281 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a ( F  o.  N
) ( F `  d )  <->  E. b  e.  dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) )
3314ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  ->  F  Fn  V )
34 fnbrfvb 5910 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( F  Fn  V  /\  b  e.  V )  ->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  <-> 
b F ( F `
 d ) ) )
3533, 34sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  <-> 
b F ( F `
 d ) ) )
3635anbi1d 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( ( F `
 b )  =  ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
37 imasleval.e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V )  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  ->  ( (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  -> 
( a N b  <-> 
c N d ) ) )
38373expa 1209 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
a  e.  V  /\  b  e.  V )
)  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  ->  ( a N b  <->  c N
d ) ) )
3938an32s 814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  ( a  e.  V  /\  b  e.  V ) )  -> 
( ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  ->  ( a N b  <->  c N
d ) ) )
4039anassrs 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  b  e.  V )  ->  (
( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )  ->  ( a N b  <->  c N
d ) ) )
4140impl 626 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  /\  a  e.  V )  /\  b  e.  V
)  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  ( F `
 b )  =  ( F `  d
) )  ->  (
a N b  <->  c N
d ) )
4241pm5.32da 647 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  b  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( ( ( F `
 b )  =  ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4342an32s 814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( ( F `
 b )  =  ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4436, 43bitr3d 259 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  /\  b  e.  V )  ->  ( ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4544rexbidva 2900 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e.  V  ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  E. b  e.  V  ( ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
46 r19.41v 2944 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( E. b  e.  V  ( ( F `  b
)  =  ( F `
 d )  /\  c N d )  <->  ( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) )
4745, 46syl6bb 265 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e.  V  ( b F ( F `  d
)  /\  a N
b )  <->  ( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
4816rexeqdv 2996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. b  e. 
dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  E. b  e.  V  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
4948ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e. 
dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  E. b  e.  V  ( b F ( F `  d )  /\  a N b ) ) )
50 simprr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
d  e.  V )
51 eqid 2453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( F `
 d )  =  ( F `  d
)
52 fveq2 5870 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( b  =  d  ->  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
5352eqeq1d 2455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( b  =  d  ->  (
( F `  b
)  =  ( F `
 d )  <->  ( F `  d )  =  ( F `  d ) ) )
5453rspcev 3152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( d  e.  V  /\  ( F `  d )  =  ( F `  d ) )  ->  E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
5550, 51, 54sylancl 669 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d ) )
5655biantrurd 511 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( c N d  <-> 
( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
5756ad2antrr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( c N d  <-> 
( E. b  e.  V  ( F `  b )  =  ( F `  d )  /\  c N d ) ) )
5847, 49, 573bitr4d 289 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( E. b  e. 
dom  F ( b F ( F `  d )  /\  a N b )  <->  c N
d ) )
5932, 58syl5bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V
) )  /\  a  e.  V )  /\  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )  -> 
( a ( F  o.  N ) ( F `  d )  <-> 
c N d ) )
6059pm5.32da 647 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  c N
d ) ) )
6120, 60bitr3d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
c  e.  V  /\  d  e.  V )
)  /\  a  e.  V )  ->  (
( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( ( F `
 a )  =  ( F `  c
)  /\  c N
d ) ) )
6261rexbidva 2900 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. a  e.  V  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) )  <->  E. a  e.  V  ( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
6317, 62bitrd 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( E. a  e. 
dom  F ( a F ( F `  c )  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) )  <->  E. a  e.  V  ( ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
64 fvex 5880 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F `
 c )  e. 
_V
6564, 29brcnv 5020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F `  c ) `' F a  <->  a F
( F `  c
) )
6665anbi1i 702 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( F `  c
) `' F a  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) )
6729, 64breldm 5042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a F ( F `  c )  ->  a  e.  dom  F )
6867adantr 467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a F ( F `
 c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `
 d ) )  ->  a  e.  dom  F )
6968pm4.71ri 639 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( a F ( F `
 c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `
 d ) )  <-> 
( a  e.  dom  F  /\  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) ) )
7066, 69bitri 253 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F `  c
) `' F a  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( a  e. 
dom  F  /\  (
a F ( F `
 c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `
 d ) ) ) )
7170exbii 1720 . . . . . . . 8  |-  ( E. a ( ( F `
 c ) `' F a  /\  a
( F  o.  N
) ( F `  d ) )  <->  E. a
( a  e.  dom  F  /\  ( a F ( F `  c
)  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) ) )
7264, 23brco 5008 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `
 d )  <->  E. a
( ( F `  c ) `' F
a  /\  a ( F  o.  N )
( F `  d
) ) )
73 df-rex 2745 . . . . . . . 8  |-  ( E. a  e.  dom  F
( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  E. a ( a  e.  dom  F  /\  ( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) ) ) )
7471, 72, 733bitr4ri 282 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  dom  F
( a F ( F `  c )  /\  a ( F  o.  N ) ( F `  d ) )  <->  ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `  d
) )
75 r19.41v 2944 . . . . . . 7  |-  ( E. a  e.  V  ( ( F `  a
)  =  ( F `
 c )  /\  c N d )  <->  ( E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) )
7663, 74, 753bitr3g 291 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `  d
)  <->  ( E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
77 imasless.u . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  U  =  ( F 
"s  R ) )
78 imasless.v . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  V  =  ( Base `  R ) )
79 imasless.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  R  e.  Z )
80 imasleval.n . . . . . . . . 9  |-  N  =  ( le `  R
)
81 imasless.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  U )
8277, 78, 11, 79, 80, 81imasle 15436 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
.<_  =  ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) )
8382adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  .<_  =  ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) )
8483breqd 4416 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( F `  c )  .<_  ( F `
 d )  <->  ( F `  c ) ( ( F  o.  N )  o.  `' F ) ( F `  d
) ) )
85 simprl 765 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
c  e.  V )
86 eqid 2453 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 c )  =  ( F `  c
)
87 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  c  ->  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
8887eqeq1d 2455 . . . . . . . . 9  |-  ( a  =  c  ->  (
( F `  a
)  =  ( F `
 c )  <->  ( F `  c )  =  ( F `  c ) ) )
8988rspcev 3152 . . . . . . . 8  |-  ( ( c  e.  V  /\  ( F `  c )  =  ( F `  c ) )  ->  E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
9085, 86, 89sylancl 669 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  ->  E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c ) )
9190biantrurd 511 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( c N d  <-> 
( E. a  e.  V  ( F `  a )  =  ( F `  c )  /\  c N d ) ) )
9276, 84, 913bitr4d 289 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( c  e.  V  /\  d  e.  V ) )  -> 
( ( F `  c )  .<_  ( F `
 d )  <->  c N
d ) )
9392expcom 437 . . . 4  |-  ( ( c  e.  V  /\  d  e.  V )  ->  ( ph  ->  (
( F `  c
)  .<_  ( F `  d )  <->  c N
d ) ) )
945, 10, 93vtocl2ga 3117 . . 3  |-  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  ( ph  ->  (
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )  <->  X N Y ) ) )
9594com12 32 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( X  e.  V  /\  Y  e.  V )  ->  (
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )  <->  X N Y ) ) )
96953impib 1207 1  |-  ( (
ph  /\  X  e.  V  /\  Y  e.  V
)  ->  ( ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
)  <->  X N Y ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 986    = wceq 1446   E.wex 1665    e. wcel 1889   E.wrex 2740   class class class wbr 4405   `'ccnv 4836   dom cdm 4837    o. ccom 4841    Fn wfn 5580   -onto->wfo 5583   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   Basecbs 15133   lecple 15209    "s cimas 15414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-sup 7961  df-inf 7962  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-10 10683  df-n0 10877  df-z 10945  df-dec 11059  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-mulr 15216  df-sca 15218  df-vsca 15219  df-ip 15220  df-tset 15221  df-ple 15222  df-ds 15224  df-imas 15419
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